數(shù)字信號處理-原理、實現(xiàn)及應用（高西全第4版）習題答案 71

第7章FIR數(shù)字濾波器設計

7.1FIRDF的基本概念及本章重要內容

本章主要討論了線性相位FIRDF及其特點，以及FIRDF的設計方法，重點是第一類線性

相位FIR濾波器的設計方法。

有限長單位脈沖響應數(shù)字濾波器(FiniteImpulseResponseDigitalFilter,縮寫為FIRDF)

的最大優(yōu)點是可以實現(xiàn)線性相位濾波。在數(shù)字通信和圖像傳輸與處理等應用場合都要求濾波

器具有線性相位特性。由于FIRDF是全零點濾波器，所以當幅頻特性指標相同(不考慮相位

特性)時，F(xiàn)IRDF的階數(shù)比HRDF高得多。但是，在同時考慮幅頻特性指標和線性相位要求

時，IIRDF要附加復雜的相位校正網絡，也難以實現(xiàn)嚴格線性相位特性。所以，在要求線性

相位濾波的應用場合，一般都用FIRDF.

本章需要掌握的重要內容：①線性相位FIRDF的特點(條件)，這些特點就是設計線性

相位FIRDF的約束條件，②FIRDF的各種設計方法：窗函數(shù)法、頻率采樣發(fā)、等波紋最佳

一致逼近法。

7.2習題與上機題解答

7.1FIRDF的差分方程如下：

y(n)=0.1x(〃)+0.5M〃-1)+0.9x(n-2)+0.5*〃-3)+0.1x(〃-4)

求該濾波器的單位脈沖響應長度M說明長度N與差分方程階數(shù)(差分方程中的最大延遲)的關系。

解：由題知：h=Q為，所以，具有第一類線性相位。

即，h5)=h(N—l—必0<n<N-1

所以，N=5

NTN-l

由“(/0)=工/?〃把-於"，得到"⑶

〃=。jn=O

所以，長度N等于差分方程階數(shù)叫+1。

7.2設FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為

H(Z)=(14-0.9Z-14-2.2Z-2+0.9Z-3+Z^)/6

求其單位脈沖響應力5),判斷該濾波器是否具有線性相位特性，求幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)，并畫出直

接型和線性相位型結構圖。

?140?

N-l］

解：由題知1：H(z)=\h(n)z~n=-(1+0.9z-1+2.2z~2+0.9z-3+z-4)

占6

所以，單位脈沖響應為〃5)=」{1。9,2.2,0.9,1}o

6

由力5)的取值知，/?(〃)滿足45)=〃(N—1-成N=5,

所以，具有第一類線性相位特性。設其頻率響應函數(shù)為

N-\]

"(eg=/(MeM⑼二=-(1+0.9e-j<w+2.2e-j2<<>+0.9e-j3<y+e-j4<y)

?=o6

=-(ej2ft,+0.9ejrd+2.2+0.9e-j<w+e-j2(u)e-j2ft,=-(2.2+1.8cos(w+2cos2(y)e-j24w

66

由百備皿-Ngaz、2.2+1.8cos69+2cos2ty

幅度特性函數(shù)為HFTg(@)=---------------------

相位特性函數(shù)為6(0)==-2^o

2

結構如圖S7.2.1所示。

直接型結構

圖S7.2.1

73設理想低通濾波器的頻率響應函數(shù)〃式￡拉)=43+冗/2)，畫出其單位脈沖響應盡(〃)在區(qū)間［-8,8］

上的波形。

>w

解：為(用=//d(e^)ed^=—+:三2明力0:2sin(?！?)

2久J-冗2TTJ-rc,V2)2Kn

其在區(qū)間［-8,8］上的波形如圖S7.3所示。

圖S7.3包(〃)在區(qū)間L-8,8］上的波形

7.4考慮一個長度N=4的線性相位FIRDF,已知在3=0和幻=兀/2兩個頻點的幅度采樣為該(0)=1,

//g(Jt/2)=0.5,求該濾波器的單位脈沖響應h(n)o

解：因為"(0)=1,即43)對口=0非奇對稱，所以，應為第一種相位特性，又N=4為偶數(shù)，

所以，Hg(o>)=^2/?(H)COS[69(H-r)]=^2A(w)cos(O

n=0"=0

由題意得，4(0)=2力(0)+2以1)=1,所以力(0)+%⑴=；。

7F371

故2/z(0)cos—?+2/2(l)cos——

嗚22

3冗n

即24(0)cos2/7(l)cos=0.5,h(l)-h(0)=—

4

解得雙0)二=包，〃⑴二二^

88

7.5已知長度N=15的第一類線性相位FIRDF的前8個幅度采樣值為〃/空.=11'k=0A^3

S115)[。，A=4,5,6,7

求該濾波器的單位脈沖響應力(〃)。

解：由題知，。3)=-5，r=7,h(n)=h(N-\-n),M=1

M

因為//g((y)=h(r)+^^2/z(w)cos[ttJ(?—r)],

n=0

二匚八1rff.z_.x「2成/fl,A:=0,1,2,3

所以4后葉〃⑺22出)叫1rs一刀卜設二gw

解得〃(0)=-0.0498,0(1)=0.0412,/2)=0.0667,屈3)=-0.0365,

/>(4)=-0.1079,力(5)=0.0341,/6)=0.3189,A(7)=0.4667

所以力(8)=做6)=0.3189,〃(9)=〃(5)=0.0341,應10)=〃(4)=-0.1079,

〃(11)=〃(3)=-0.0365,%(12)=皿2)=0.0667,版13)=%1)=0.0412,餌14)=坂0)=-0.0498

[1,k=0,1,2,3

7.6已知長度215的第二類線性相位FIRDF的前8個幅度采樣值為4(至，=?0.4,攵=4

15,[o,女=5,6,7

求該濾波器的單位脈沖響應力(〃)。

角，：由題知，版九)=一〃(%—1一切，r=M=7

M

因為然(⑼=h(T)+^^2h(n)sin[co(n-r)l,

n=O

l,&=0,1,2,3

所以“g(幺?=6(7)+Z2〃(〃)sin=一

0.4,A:=4

115)〃=oL15J

。水=5,6,7

解得〃(0)=0.0618,〃⑴=-0.0954,4(2)=0.0693,版3)=-0.0294

/i(4)=0.1291,力(5)=-0.3131,/6)=0.3011,k(7)=l

所以〃(8)=-網6)=-0.3011,〃(9)=一〃(5)=0.3131,/7(10)=-/?(4)=-0.1291

/i(l1)=一力⑶=0.0294,〃(12)=-k(2)=-0.0693,4(13)=-方⑴=0.0954,A(14)=-/z(0)=-0.0618

7.7*分別畫出長度為9的矩形窗、漢寧窗、哈明窗和布萊克曼窗的時域波形。

解：MATLAB繪圖程序為ex707.m。

%MATLAB程序ex707.m

?142?

clearall,clc;

N=9;

R9n=boxcar(N);

hn=hanning(N);

hm=hamming(N);

hblm=blackman(N);

n=0:8;

subplot(2,2,1),stem(n,R9n,7);titleC(a)矩形窗函數(shù)波形(N=9)');

xlabel('n');yIabeI('w(n)')wxis([0,N+3,0,1.3])；

subplot(2,2,2),stem(n,hn,,.*);title('(b)漢寧窗函數(shù)波形(N=9)');

xlajbel('n,);ylabel(,w(n),);axis([0,N4-3,0,1.3]);

subpk>t(2,2,3),stem(n,hm,'.');title('(c)哈明窗函數(shù)波形(N=9)');

xlabel(,n,);yIabel(,w(n)');axis([0,N+3,0,1.3]);

subplot(2,2,4),stem(n,hblm,'.,);title(,(<l)布萊克曼窗函數(shù)波形(N=9)");

xlabel('n');yIabel('w(n)');axis([0,N+3,0,1.3])；

四種窗函數(shù)的時域波形如圖S7.7所示。

(b)漢寧窗函數(shù)波形(N=9)

n

⑹哈明窗函數(shù)波形(N=9)(d)布萊克曼窗函數(shù)波形(N=9)

1

01-----------------=-----------------

0510

nn

0S7.7

7.8*分別畫出長度為9的矩形窗、漢寧窗、哈明窗和布萊克曼窗的幅頻特性(dB)曲線，觀察它們的

各種參數(shù)(主瓣寬度，旁瓣峰值幅度)的差別“

解：MATLAB繪圖程序為ex708。

%ex708.m

clearall,clc;

N=9;

R9n=boxcar(N);

hn=hanning(N);

hm=hamming(N);

hblm=blackman(N);

fh=abs(fft(R9n,1024));

fh=20*log10((fh)/max(fh));

k=0:1023;

wk=2*k/1024;

subplot221,plot(wk,fh);gridon;

titleC(a)矩形窗損耗函數(shù)曲線);axis([0,2,-80,0]);

xlabel('\omegaAp丁);ylabel('幅度/dB');

fh=abs(fft(hn,1024));

fh=20*log10((fh)/max(fh));

k=0:1023;

wk=2*k/1024;

subplot222,plot(wk,fh);gridon;

titleC(b)漢寧窗損耗函數(shù)曲線');％axis([02-80,0]);

xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度/dB");

flh=abs(fft(hm,l024));

fh=20*logi0((fh)/max(fh));

k=0:1023;

wk=2*k/1024;

subplot223,plot(wk.,fh);gridon;

titleC(c)哈明窗損耗函數(shù)曲線);axis([0,2,-80Q]);

xlabel(r\oniegaApi,);ylabel(,i|iMCS/dB,);

fh=abs(fft(hblm,1024));

fh=20*log10((fh)/max(fh));

k=0:1023;

wk=2*k/1024;

subplot224,plot(wk,fh);gridon;

titleC(c)布萊克曼窗損耗函數(shù)曲線');axis([0,2,-80,0]);

xlabel('\omegaApi');ylabel('幅度/dB');

四種窗函數(shù)的幅頻特性(dB)曲線如圖S7.8所示。請讀者觀察它們的各種參數(shù)(主瓣寬度，旁瓣峰值

幅度)的差別。

⑶旃形Si損臨的數(shù)曲線

0.811.2

Wx

⑹蛤叫匿投幃函數(shù)曲線

-20

-4O

?

?

9

圖S7.8.1

?144?

7.9對下面的每一種濾波器指標，選擇滿足FIRDF設計要求的窗函數(shù)類型和長度。

(1)阻帶衰減20dB,過渡帶寬度1kHz,采樣頻率12kHz；

(2)阻帶衰減50dB,過渡帶寬度2kHz,采樣頻率5kHz：

(3)阻帶衰減50dB,過渡帶寬度500Hz,采樣頻率5kHz。

解：(1)由表7.2.2知，q=20dB,可選矩形窗或者三角窗AB=如"=竺"=；°

Fs126

若選矩形窗，—N=11；若選三角窗，—N=37。

N6N6

所以，選矩形窗，y=iio

(2)《=50dB,可選哈明窗或者布萊克曼窗△⑶二爺^二生建二竺。

若選哈明窗，2如=色，N=9；若選布萊克曼窗，12四=如，N=14。

N5N5

所以選哈明窗，N=9。

(3)%=50dB,可選哈明窗或者布萊克曼窗A3=交笠=空空=三。

尺55

若選哈明窗，—N=33；若選布萊克曼窗，—,N=55。

N5N5

所以，選哈明窗N=33。

7.10分別用矩形窗和升余弦窗設計一個線性相位低通FIRDF,逼近理想低通濾波器乂(小”)，要求過

渡帶寬度不超過必8rad。已知名『心呼外

0,4V|6?|<71

(1)求出所設計的單位脈沖響應力5)的表達式，確定a與〃伽)的長度N的關系式：

(2)對N=31,eve=?r/4rad,用MATLAB畫出FIRDF的損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線。

nj(yjjfaaiian

解：(1)hd(n)=—f/7d(e-)e^d^=—Pe-ed(u=

2nJ-JC2irJ-?ycn(n-a)

加矩形窗，

sin砥九(九一a)]y-1

氏/、//、D/、sin[砥兀("-a)]---------;---0<n<N—l,a=----

h(n)=%㈤?RM")=----7---：---RN(〃)=〈兀5-a)2

兀5-a)

其他〃

加升余弦窗,

叫"5可割*r1N—1

0<n<N-l,a=----

2

0,其他，z

因為Ag2,所以若為矩形窗，"29N=15；若為升余弦窗，里2N=50o

6N8N8

(2)因為N=31,所以應選擇矩形窗。畫圖程序見MATLAB仿真程序ex710。

%ex710

clearall,clc;

N=31;wc=l/4;n=0:30;

hn=firl(N-l,wc,boxcar(N));

fh=ffi(hn,1024);

fh=20*log10(abs(fh));

subplot211,wk=0:1023;

wk=2*wk/1024;

plot(wk,fh);grid;

subplot212,phase=fftshift(unwrap(angle(fh)));

plot(wk,phase/pi);gridon;

7.11用窗函數(shù)法設計一個線性相位低通FIRDF,要求通帶截止頻率為44rad,過渡帶寬度為8n/51rad,

阻帶最小衰減為45dB。選擇合適的窗函數(shù)及其長度，求出人(〃)，并用MATLAB畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特

性曲線。

1

0.8

06

0.4

0.2

0

00.20.40.60,811.21.41.61.82

圖S7.10.1

解：為5)=—「“式?一皿把通氣0=」-f"e-切氣物，10=sin?、(〃-a)],a=竺]

因為&=45dB,所以，應選哈明窗。

AD8兀m16.6九8兀z八

51N51

.r廠/-sin—(M-21)R

h(n)=h(〃)?a)(n)=--------------------0.54-0.46cos-------=-------------?0.54-0.46cos

AdK(n-a)l,y-lj]7t(/7-21)

畫圖程序見MATLAB仿真程序ex711o

%ex711

clearall,clc;

N=43;wc=l/4;n=0:42;

hn=firl(N-1,wc,hamming(N));

fh=fft(hn,1024);

fh=20*log10(abs(fh));

wk=0:1023;

?146?

wk=2*wk/1024;

subplot211,plot(wk,fh);grid;

subplot212,phase=fftshift(unwrap(angle(fh)));

plot(wk,phase/pi);grid;

xlabel('w/pi');ylabel('相位/pi');

w/pi

圖S7.11.1

7.12要求用數(shù)字低通濾波器對模擬信號進行濾波，要求如下：通帶截止頻率為10kHz,阻帶截止頻率

為22kHz,阻帶最小衰減為75dB,采樣頻率為50kHz。用窗函數(shù)法設計數(shù)字低通濾波器，選擇合適的窗函

數(shù)及其長度，求出〃6),并用MATLAB畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線。

解：typ=2ju/p/^=2TTX10/50=y

聯(lián)/兀箸些上=嗎

4=2a=2x22/50=q=75dB，48=

25525

所以，應選凱賽窗.

由主教材中式(7.2.20)得，/?=0.112(as-8.7)=7.4256

q-875-8

由式(7.2.21)得,M=s=19.4445

2.285A^~2.285xl2n/25

4+&P_16n

所以，N=20,

~~2~-^5-

16,、

sin——n(n-a)

力(〃)=〃式〃)?卬5)=——工^------?

n(n-a)

N-1

其中，。==一=9.5,vv(”)是長度為20(萬=7.4256)的凱賽窗。

畫圖程序見仿真ex712o

%ex712

clearall,clc;

wp=0.4*pi;ws=(22*pi)/25;rs=75;

DB=ws-wp;

beta=O.112*(rs-8.7);

M=ceil((rs-8)/(2285木DB));

wc=((wp+ws)⑵/pi;

hn=firl(M,wc,kaiser(M-t-l,beta));

fh=fft(hn,1024);

fh=20*log10(abs(f