用數(shù)學(xué)的眼光三角形外角和的探究

用數(shù)學(xué)的眼光刻畫世界

——三角形外角和的探究晚上散步時，張大爺繞著一個三角形花壇走了一圈，可以看出，他在每一個拐彎處都轉(zhuǎn)了一個角度。當(dāng)張大爺回到原來的位置時，他一共轉(zhuǎn)了多少度？張大爺CHUANGYISHOUHUI180°學(xué)生迅速給出答案

那，對不對呢？顯然，把轉(zhuǎn)過的角度當(dāng)做三角形的內(nèi)角了。用幾何畫板演示一下大家認(rèn)識到，當(dāng)一個人沿著三角形走時，在每個頂點處轉(zhuǎn)過的角，指的是三角形的一條邊的延長線與另一條邊所成的角是三角形的外角你覺得三角形的外角和是多少度？你是怎么得到的？看誰想的方法多？常規(guī)做法方法一

利用每個外角和其相鄰的的內(nèi)角互補，這樣可以得到三個平角。外角和等于三個平角減去一個內(nèi)角和?！?+∠4=180°，∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=180°×3-180°=360°將外角問題轉(zhuǎn)化為內(nèi)角問題

方法二:∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2，∠4+∠5+∠6=2∠1+2∠2+2∠3=360°利用平行轉(zhuǎn)化角方法三:過點B作BM∥AC，∴∠1=∠4，∠3=∠MBC，∵∠4+∠2+∠MBC=360°，∴三角形外角是360°利用平行線將角轉(zhuǎn)換位置，拼成周角。將∠1拆分成∠4和∠5，運用平行線的性質(zhì)，將∠4轉(zhuǎn)移到C處，與∠3拼成一個平角。將∠5轉(zhuǎn)移到點B處，與∠2拼成一個平角。方法四利用平行，轉(zhuǎn)化為兩個平角的和。

方法五：過邊上任意一點做平行過AC邊上一點E作兩條平行線，將∠1、∠2、∠3都轉(zhuǎn)移到點E處。過點E作DE∥AB，EF∥BC，∵∠1=∠4，∠2=∠5=∠DEF,∠3=∠6?！唷?+∠2+∠3=360°方法六：三角形外一點作平行在三角形的外部取點D，過點D作DM∥AB,DN∥BC,DP∥AC,∴∠1=∠4=∠PDM，∠2=∠5=∠6，∠3=∠7=∠8∴∠1+∠2+∠3=360°過三角形內(nèi)部一點O作三邊平行線，應(yīng)用兩直線平行同位角相等。

把∠1平移兩次到點O處，同理將∠2和∠3也平移到點O處，從而證明。方法七：在三角形內(nèi)部找一點作平行過A、B、C作三條互相平行的直線，將∠2拆分成∠4和∠5，由平行可將∠4轉(zhuǎn)移到點A處，同樣將∠3拆成∠6和∠7，將∠6轉(zhuǎn)移到點A處，∠1、∠4和∠6拼成一個平角?！?的對頂角和∠5組成平行線間的同旁內(nèi)角，又一個180°，從而證明。方法八：分別過三個頂點作平行線再換個角度思考方法九:外角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角在△ADE中，∠1+∠4+∠5=180°，在△BEF中，∠2+∠6+∠7=180°，在△DCF中，∠3+∠8+∠9=180°，在△DEF中，∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°前