新人教A版必修一 均值不等式及其應(yīng)用 教案

均值不等式及其應(yīng)用

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

均值不等式及其應(yīng)用C了解均值不等式的幾何解釋?zhuān)莆站？?/p>

值定理，能熟練利用均值不等式比較

大小及求最值.易錯(cuò)的地方是常常忽

略取等條件。

均值不等式的含義B理解均值不等式，了解其證明過(guò)少考

程。

均值不等式的應(yīng)用C能熟練應(yīng)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的少考

最大(小)值問(wèn)題。

均值不等式的實(shí)際應(yīng)用C能熟練應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際應(yīng)少考

用問(wèn)題.

知識(shí)提要

均值不等式及其應(yīng)用

均值不等式及其應(yīng)用的知識(shí)主要包含：均值不等式的含義和均值不等式的應(yīng)用及實(shí)際應(yīng)用.均

值不等式是指:若a">0,則

2,-a4-Vab4-ba+b2(a2+ah+b2)a2+b2a2+b2

1.1323(a+b)、2a+b

萬(wàn)十萬(wàn)'

其中自稱(chēng)為調(diào)和平均數(shù)，病稱(chēng)為幾何平均數(shù)，出警稱(chēng)為希羅平均數(shù)，蜉稱(chēng)為代數(shù)平均數(shù),

-a"FTb32

曾學(xué)稱(chēng)為形心平均數(shù)，叵稱(chēng)為平方平均數(shù)，號(hào)稱(chēng)為反調(diào)和平均數(shù).

3(a+D)72a+b

其中常用的是：

2,—a+ba2+b2

T~14加《一^―4~2~,

a+bN

想要利用均值不等式求代數(shù)式的最值，就必須構(gòu)造出積為定值的若干式子的和的形式或者和為

定值的若干式子的積的形式.在利用均值不等式的時(shí)候，還需要注意考慮等號(hào)取到的條件，對(duì)

式子進(jìn)行系數(shù)的調(diào)整.

均值不等式的含義

?均值定理如果a,beR+,那么等》正兀當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.對(duì)任意兩個(gè)正

實(shí)數(shù)a,b,數(shù)歲叫做a,b的算術(shù)平均值，數(shù)叫做a,b的幾何平均值.均值不等式可

以表達(dá)為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值.均值不等式也稱(chēng)為基本

不等式.兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積

有最大值.

均值不等式的應(yīng)用

基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，如求函數(shù)最值，證明不等式，比較大小，求取值范圍，解決實(shí)際

問(wèn)題等.其中，求最值是其最重要的應(yīng)用.利用均值不等式求最值時(shí)應(yīng)注意“一正，二定，三

相等“，三者缺一不可.

均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

?利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

①正確理解題意，設(shè)出變量，一般可以把要求最大(小)值的變量定為函數(shù)；

②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；

③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

④正確寫(xiě)出答案.

精選例題

均值不等式及其應(yīng)用

1.已知％>0,則/(%)=x+1的最小值為

【答案】2魚(yú)

【分析】因?yàn)闊o(wú)>0,所以無(wú)+：》2%.|=2魚(yú),當(dāng)且僅當(dāng)x=魚(yú)時(shí)取等號(hào).

2。已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2久+2〃=1,則％+y的最大值是.

【答案】-2

3.函數(shù)〃無(wú))=笠(無(wú)〉2)的最小值為，止匕時(shí)光=

【答案】24；4

【分析】設(shè)t=x—2,則t>0,且久=t+2,

3(t+2)2

所以y=——-——

3(t2+4t+4)

=5

=3(t+g+4)

>3(2"+4)=24,

當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即t=2,x=4時(shí)，式中等號(hào)成立，

因此，函數(shù)y=三0>2)的最小值為24,此時(shí)x=4.

4o已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=20,則觀=lg%+Igy的最大值為

【答案】2

5o函數(shù)/'(x)=疊(％>0)的最大值為,此時(shí).

【答案】=2

【分析】因?yàn)闊o(wú)>0,

所以/(X)=z%'=-J-?

產(chǎn)+工+4X+-+1

因?yàn)閤+￡》4,

所以0<一，《"

當(dāng)且僅當(dāng)X=3即x=2時(shí)，式中等號(hào)成立.

X

因此函數(shù)f(%)=益￡/%>0)的最大值為2，此時(shí)％=2.

6O已知％>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,％,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值

是.

【答案】4

7。已知x,y，z均為正數(shù)，則若等的最大值是--------

【答案】y

xy+2yzxy+2yz

222

x+y+zx2+ly2+iy2+z2

/xy+2yz

【分析】4"得2y+~店4"

=V5

一2

X1+x

8.已知％iw%2,設(shè)yi=^\y2=%2藍(lán)%1,則％i%2與yi、2的大小關(guān)系為

【答案】%1%2<7172

9.已知:％,y均為正，％+y=l,貝拉+：的最小值為

【答案】3

【分析】因?yàn)椋?y均為正，%+y=1,

所以土+工=13='+〃+1>2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=；時(shí)，等號(hào)成立.

yxyxyx2

10o函數(shù)f(%)=2x--(%>1)最小值是

【答案】8

llo設(shè)a>0,b>0.

(1)若工+^=1,求a+b的最小值;

ab

【解】解法一：因?yàn)楣?1=1,a>0,b>0,

ab____

所以a+b=(a+b)xl=(a+b)G+；)=3+^+，>3+21-^-，—=3+2V2.

\abJbayba

當(dāng)且僅當(dāng)巴=空叱=&a時(shí)取等號(hào).

ba

所以a+b的最小值是3+2V2,

止匕時(shí)a=l+>/^,b=2+V2.

解法二：因?yàn)槿?：=1,a>0,b>0,

ab

所以b+2a=ab,

顯然a>1,

所以/)="=2+=-,

a—1a-1

所以a+b=a+2H---=(a-1)H-----F3>2^2+3,

當(dāng)且僅當(dāng)a-1==-即a=1+魚(yú)時(shí)取等號(hào).

a-1

所以a+b的最小值是3+2vL

此時(shí)a=1+V2,力=2+V2.

(2)若ab=a+b+3,求ab的取值范圍.

【解】解法一：因?yàn)閍>0,b>0,

所以。+b>2Vab,

所以ab=a+b+3>2^ab+3,

所以—2?ab—3》0,

得碗^>3,ab=>9,

所以ab的取值范圍是[9,+8).

解法二：因?yàn)閍b=a+b+3,

所以aHl,b=史三

a-l

因?yàn)閍>0,b>0,

所以a>1,

所以ab=更”2.

a-l

設(shè)1=a-1,貝Ijt>0,

a(a+3)=(t+D("4)=產(chǎn)+5t+4=±+'5'4+5=9

a-ltt丁t丁/

所以ab的取值范圍是[9,+oo).

12?已知x<一2,求函數(shù)y=次翳上■的最值.

而_2%2+4%+1_2(%+2)2-4(%+2)+1

2(%+2)H---4.

用牛'―x+2~x+2

由％V—2,得％+2V0,即一(%+2)>0f

所以2(%+2)+圭=一[-2(%+2)+_J]<-2/2(%+2)1-=-2V2.

XTZL—\X~r￡JJAl)

當(dāng)且僅當(dāng)-2(x+2)=即％=-竽時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)x=—等時(shí)，函數(shù)有最大值—4-2V2.

13?某工廠擬建一座平面圖為矩形，面積為200m2,高度一定的三段污水處理池(如圖)，

由于受地形限制，其長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m,如果池的外壁的建造費(fèi)單價(jià)為400元/m,池中

兩道隔墻的建造費(fèi)單價(jià)為248元/m,池底的建造費(fèi)單價(jià)為80元/m2,試設(shè)計(jì)水池的長(zhǎng)x和寬

y(%>y),使總造價(jià)最低，并求出這個(gè)最低造價(jià).

［解】設(shè)污水池長(zhǎng)為％m,則寬為詈m,

且0<%416,0<一416,兩道隔墻與寬邊平行時(shí)，造價(jià)較省，

設(shè)總價(jià)為QQ),則x

Q(x)=400(2x+2x等+248x2x^+80x200

=800(%+當(dāng))+16000》1600X--+16000

\XJyX

=44800,

當(dāng)且僅當(dāng)x=?(光〉0),即％=18時(shí)取等號(hào)，

所以44800不總最小值，

又因?yàn)?<x416,0<—<16,

所以12.5<%<16,而Q(x)在［12.5,16］上單調(diào)遞減，

所以Q(x)>(2(16)=800(16+答)+16000=45000(元)，

故水池長(zhǎng)為16m,寬為12.5m時(shí)，其總造價(jià)最低，最低造價(jià)為45000元.

14.某產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100噸，平均分若干批生產(chǎn)，設(shè)每批生產(chǎn)需要投入固

定費(fèi)用75元,而每批生產(chǎn)直接消耗的費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比，已知每批生產(chǎn)10噸時(shí)，直

接消耗的費(fèi)用為300元(不包括固定費(fèi)用).

(1)求此產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用(固定費(fèi)用和直接消耗的費(fèi)用)與每批生產(chǎn)量的函數(shù)

關(guān)系式；

【解】設(shè)每批生產(chǎn)量為無(wú)噸，總費(fèi)用為y元，由題意可算出正比例系數(shù)卜=黑=3,所以

100100,““

y=------75H---------3產(chǎn)

xx

7500(100

+300%(0V%4100,-----GN

x

(2)求出平均分多少批生產(chǎn)時(shí)總費(fèi)用最小，并求出此時(shí)的最小總費(fèi)用.

【解】因?yàn)?/p>

75007500

y=---------F300%>2--------300%=3000,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?300x,即x=5時(shí)，ymin=3000,此時(shí)應(yīng)分20批.

所以，城均分20批時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為3000元.

15.如圖，樹(shù)頂4距地面7.7m,樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面4.7m,人眼C離地面1.7m.問(wèn):人離此樹(shù)多遠(yuǎn)

時(shí)，看樹(shù)冠48這一段的的視角最大？（精確到0.01m）

【解】設(shè)人離此樹(shù)dm,從點(diǎn)C看4B的仰角分別為a、氏

所以tan（a-/?）=匕11…叫=耳=斗《備=直.

'1+tanatan^1+—^d+—2V184

dzd

當(dāng)d=邪寸，即d=3V2?4.24m時(shí)，視角最大.

a

16.如圖所示，在某公園的一塊綠地上劃出一個(gè)矩形區(qū)域，在這個(gè)矩形區(qū)域的中央修建兩個(gè)相

同的矩形的池塘，每個(gè)面積都為200米,，池塘前方要留4米寬的走道，其余各方均為2米寬的

走道，問(wèn)每個(gè)池塘的長(zhǎng)寬各為多少米時(shí)（記池塘的長(zhǎng)為x米），這個(gè)矩形區(qū)域占地面積最少?并求出

這個(gè)最小值.

【解】設(shè)池塘的長(zhǎng)為》（光〉0）米,則池塘的寬為雪米，令矩形區(qū)域的面積為y平方米,

則有

y=(2%+6)(—+6)

=4[109+3(%+^)]

>4(109+3X20)

=676.

當(dāng)且僅當(dāng)尤=手，即為=10時(shí)，ymin=676,這時(shí)子=20.

答:池塘的長(zhǎng)和曾分別為10米，20米,矩形區(qū)域的囁最小為676平方米.

17.如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制)的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)

為％m,寬為ym.

(1)若菜園面積為72m2,則％,y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小?

【解】由已知可得盯=72,而籬笆總長(zhǎng)為久+2”

v%+2y>2不2xy=24,

當(dāng)且僅當(dāng)％=2y,即％=12,y=6時(shí)等號(hào)成立.

???菜園的長(zhǎng)%為12m,寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小.

(2)若使用的籬笆總長(zhǎng)度為30m,求5+楙的最小值.

【解】由已知得x+2y=30,

???P+-)?(x+2y)=5+^+—>5+2怪?竺=9,

\xyjxyA/xy

,,xlyN10,

當(dāng)且僅當(dāng)％=y,即％=10,y=10時(shí)等號(hào)成立.

-十三的最小值是。.

xy10

18.某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2000平方米的

樓房，經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為%(%)10)層，那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48%(單

位:元).

(1)寫(xiě)出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)式的函數(shù)關(guān)系式.

【解】依題意得y=(560+48%)4--21-6-0-X-1-0-00-0=56L0”+,48%+.-1-0-8-00(%>10,%eN*).

2000%x

（2）該樓房應(yīng)建造多少層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？

（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)甩平均購(gòu)地費(fèi)用=舞普

【解】因?yàn)閤〉0,

所以48x+丑期>2V48x10800=1440,

X

當(dāng)且僅當(dāng)48x=等，即x=15時(shí)取到“=”，

此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最少值為560+1440=2000（元）.

所以當(dāng)該樓房建造15層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2000元.

19o某工廠有舊墻一面長(zhǎng)14m,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126m2的廠

房，條件是：①建1m新墻的費(fèi)用為a元；②修1m舊墻的費(fèi)用是與元；③拆去1m舊墻用所得

到的材料建1m新墻的費(fèi)用為5元，經(jīng)討論有兩種方案：①利用舊墻的一段％m（光<14）為矩形

的廠房的一面邊長(zhǎng)；②矩形廠房的一面邊長(zhǎng)為無(wú)》14,問(wèn)如何利用舊墻，即尤為多少時(shí)建墻費(fèi)

用最??？

【解】設(shè)利用舊墻一面的邊長(zhǎng)為無(wú)m,則矩形另一邊長(zhǎng)為匕m.

X

方案①：x<14時(shí)，總費(fèi)用：

丫=4%+2（14-%）+42%+丫-14）=7a（^-+--1J,

可求得y最小值為35a.當(dāng)且僅當(dāng)％=12時(shí)，ymin=35a.

方案②：x>14時(shí)，總費(fèi)用

7/126\/126\21

y=—CL2.CL\x------7I=2dIxH-----）——CL,

2\xJ\xJ2

又因?yàn)椤?。?》+子在［14,+8）上為增函數(shù)，所以當(dāng)x=14時(shí)，ymin=35.5a.

20.鑒于近年來(lái)羊皮手套的銷(xiāo)售逐漸升溫，2013年某羊皮手套生產(chǎn)廠計(jì)劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，

對(duì)生產(chǎn)的手套加強(qiáng)促銷(xiāo).在一年內(nèi)，據(jù)測(cè)算銷(xiāo)售量S（萬(wàn)雙）與廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系是

5=5--.已知羊皮手套的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)雙羊皮手套仍需要再投入25萬(wàn)

X

元.（年銷(xiāo)售收入=年生產(chǎn)成本的120%+年廣告費(fèi)的50%）

（1）將羊皮手套的年利潤(rùn)L（萬(wàn)元）表示為年廣告費(fèi)無(wú)（萬(wàn)元）的函數(shù);（年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-

年生產(chǎn)成本-年廣告費(fèi)）

【解】由題意，得羊皮手套的年生產(chǎn)成本為25S+6萬(wàn)元，

則年銷(xiāo)售收入為（25S+6）x120%+比x50%萬(wàn)元，

年利潤(rùn)為L(zhǎng)=（25S+6）X120%+%X50%-（25S+6）-x=|（25S+6）-p

又S=5-

X

所以乙=5（5_9+（_3=牛一〃一30>0）.

（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬(wàn)元時(shí)，該廠的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？（結(jié)果保留兩位

小數(shù)）（參數(shù)數(shù)據(jù)：6=1.732,逐=2.236,遙=2.449）

【解】由⑴，得

_13110x

L2

=26.2-2V5

=26.2—2x2.236

=21.728?21.73.

當(dāng)且僅當(dāng)/=］時(shí)，即%=2遍=2x2.23624.47時(shí)，L有最大值21.73.

因此，事年戶(hù)告費(fèi)投入約為4.47萬(wàn)元時(shí)，此廠的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)約為21.73萬(wàn)元.

均值不等式的含義

lo若點(diǎn)（a,b）在直線x+3y=1上，則2a+8b的最小值為.

【答案】2V2.

2o若x>0,y>0,x+y=2,則xy的最大值為.

【答案】1

3。若|x+y|=4,貝hy的最大值是.

【答案】4

【分析】％〉《（等）=（1）=4-

4.已知a,b為正常數(shù)，x,y為正實(shí)數(shù)，且2+2=1,貝!|x+y的最小值為_(kāi)_____

xy

【答案】a+b+2而

5.已知％>0,y>0,且（=1,則％+y的最小值為.

【答案】16

【分析】

,、/19、

X+y=（%+y）仁+]

y9%

=10+-+—

xy

當(dāng)且僅當(dāng)白￡,且打：1，即》=4/=12時(shí)，x+y的最小值為16.

6.已知4(3,0),8(0,4),動(dòng)點(diǎn)P@y)在線段AB上移動(dòng)，則燈的最大值等于

【答案】3

【分析】線段4B的方程為7+5=1(04X43).

34

孫=12?歷《12?(券j=3.

當(dāng)且僅當(dāng)工=廿=工，即無(wú)=三,y=2時(shí)取等號(hào).

3422

70若正數(shù)％,y滿(mǎn)足2%+y=l,貝！J%y的最大值為.

【答案】3

8.已知a,bGR+且!+'=L則a+。的最小值為.

【答案】9

9.已知m=a+-二(。>2),n=(；)(%<0),則m,n之間的大小關(guān)系是一

Q-2\2/

【答案】m>n

10o已知函數(shù)f(%)=合(尢>0),則函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(2,)

(1)已知。，b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+/?2+c2>aZ?+be4-ca;

【解】因?yàn)閍,b,c互不相等，

所以M+ft2>2ab,b2+c2>2bc,a24-c2>2ac,

所以2(小+爐+c2)>2(ab+be+ac),

即a2+b2+c2>ab+be+ac.

(2)若a,力，c均為正數(shù)，求證:M+b3+c3>3abc.

【解】因?yàn)?M+ft3)—(a2b.|_0爐)=a2(a—b)—b2(a—b)=(a—b)2(a+b)>0,

所以〃+b3>a2b+ah2.

同理可證力3+c3>b2c+he2,a3+c3>a2c+ac2,

所以

2(a3+b3+c3)>(a2b+be2)+(ah2+ac2)+(b2c+a2c)

=&(a2+c2)+a(62+c2)+c(a2+b2)

>b?2ac+a?2bc4-c-lab

=6abe,

所以蘇+b3+c3>3abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

12o某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢(qián)，

正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米造價(jià)45元，屋頂每平方米造價(jià)20元，試計(jì)

算：

(1)倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是多少？

【解】設(shè)鐵柵長(zhǎng)為%米，一側(cè)磚墻長(zhǎng)為y米，則S=%y,由題意得

40%+2x45y+20xy=3200,

應(yīng)用基本不等式，得‘

3200>2j40xx90y+20xy,

當(dāng)且僅當(dāng)40%=90y時(shí)取等號(hào).即S+6V54160,亦即(即+16)(巡一10)<0..?.遮《

2

10nS4100.因此S的最大允許值是100米.

2

答:倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是100米.

(2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？

【解】當(dāng)?shù)?二黑y則％=15米,即鐵柵的長(zhǎng)為15米時(shí)S達(dá)到最大.

答：鐵柵設(shè)計(jì)為15米時(shí)最大，實(shí)際投資不超過(guò)預(yù)算.

13.已知0V%<5求函數(shù)y=%(1一3%)的最大值.

【解】v0<x<|,

???1—3%>0.

y=x(l-3x)=|[3x-(l-3x)]<|『+(;—3霜]=..

當(dāng)且僅當(dāng)3%=1-3%,即第=；時(shí)，取等號(hào).

6

.??當(dāng)》=對(duì)，函數(shù)取得最大值白

o12

14?某種汽車(chē)的購(gòu)車(chē)費(fèi)用是10萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬(wàn)元，年維

修費(fèi)用第一年是0.2萬(wàn)元，以后逐年遞增0.2萬(wàn)元，問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最

小?最小值是多少？

【解】設(shè)這種汽車(chē)使用x年時(shí)，它的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則

10+0.9x+(0.2+0.4+0.6H----HO.2x)

y------------------------------------------------

X

O,9X(O2+O2X)X

__1_O_+_____+_____2

X

_0.1x2+x+10

X

—0.1%H------F1>3.

x

當(dāng)且僅當(dāng)0.1光=4，即X=10時(shí)Vmin=3.

因此，使用10年前，年平均費(fèi)用最小，最小值是3萬(wàn)元.

15.如圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的長(zhǎng)方形羊圈4間，一面可利用原有的墻壁，其余各

面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為36m,每間羊圈的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？

【解】設(shè)每間羊圈的長(zhǎng)、寬分別為%,y,則有4x+6y=36,即2%+3y=18.

設(shè)S=xy,

18=2x+3y>2,2%?3y=2j6%y,

???xy<y,即S<y.

上式當(dāng)且僅當(dāng)2%=3y時(shí)，等號(hào)成立.

?9

得

此時(shí),M3=18,

y=3.

答：當(dāng)每間羊圈的長(zhǎng)，寬分別為］m,3m時(shí)面積最大.

16.若關(guān)于%的方程>+(4+a)3x+4=0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】法一:

因?yàn)?/p>

/+444

—（4+。）=丁=3'+京》2產(chǎn)4=4,

3%

當(dāng)且僅當(dāng)3,=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以a+44—4,解得a4—8.

法二：令法=t(t>0),則方程變成產(chǎn)+(4+>。+4=0.

原方程有解即此方程有正根，又兩根之積為4,所以有

(—(a+4)>0

t(a+4)2-16>0;

解得a<—8.

17.已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足a+8=1.

(1)求ab的取值范圍；

【解】???a>0,匕>0,.,.由與2》得。<ab<

(2)求ab+盛的最小值.

【解】設(shè)函數(shù)-%)=無(wú)+；(0<%《?

設(shè)0<%]〈冷《丁

fOi)-y(x2)=(xr+")一生+J

=(%1,%2)+(￡,￡)

i」?！?(1一白).

,，

0<%】<%?4~5?X]%?V0，%1%2〈V0，

■1-。1-冷)(1一點(diǎn))>0.

??-/1(■)>/■(無(wú)2).

即f(%)在(0用上是減函數(shù)，因此，當(dāng)％=｝時(shí)，/⑺取得最小值4+；*

-e-ab+々的最小值為1.

ab4

18o過(guò)點(diǎn)P(2,l)作直線1分別交x軸、y軸的正半軸于4,8兩點(diǎn).當(dāng)A40B的面積最小時(shí)，求直線

1的方程.

【解】設(shè)I的方程為工+[=1(a>0,b>0)，則4(a,0),5(0,b),S=^ab.又因?yàn)?/p>

abAA0B

1過(guò)點(diǎn)p,所以三+1=1,于是由

ab

212

1=-+r>2

ab、ab

可得ab》8,因此SMOB>4,當(dāng)且僅當(dāng)"；即a=4,b=2時(shí)，等號(hào)成立.

此時(shí)1的方程為3+：=l."''

19.已知a>0,求函數(shù)y=5要H的最小值.

Vxz+a

【解】當(dāng)0Va《l時(shí)，y==A//+1+》2+及?=2，

VX+avxz+a7Vxz+a

當(dāng)且僅當(dāng)A/%2+a=:,即％=±11—q,取“=".所以ymin=2；

Vxz+a

當(dāng)時(shí)，7x2+」=不成立.而此時(shí)y=［罩2在［0,+8)上為增函數(shù)，所以

Vx2+aVxz+a

X=0時(shí)，7min=鬻

20.已知函數(shù)f(x)=x(l+%)2.

(1)求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【解】由/(%)=%3+2%2+工，得

/'(%)=3x2+4%+1

=(%+1)(3%+1).

令r(%)=o,解得

1

%=-i,%2=一§?

當(dāng)％變化時(shí)，/(%)、r(%)的變化情況如下：’

xST)-1—)(]，+8)

「(無(wú))+0-0+

遞增極大值遞減極小值遞增

由此J(x)的增區(qū)間是(一8,—1)和(一|,+8),減區(qū)間是(一1,—1)；

人比)的極大值、極小值分別是八―1)=0、=

(2)設(shè)g(%)=ax2.若對(duì)于任意久G(0,+8),f(%)>g(%)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解】由題意，得

x3+2x2+%>ax2

對(duì)任意的％G(0,+8)恒成立，等價(jià)于

1

a4—F%+2

x

對(duì)任意的％e(0,+8)恒成立.

由x〉o及均值不等式，得

1

—xF%+2>4,

于是，只需a44即可滿(mǎn)足題意.

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,4].

均值不等式的應(yīng)用

1.已知等比數(shù)列Q｝的首項(xiàng)為2,公比為3,前n項(xiàng)和為5n.若抽3停￡1?(541n+1)]=9,則打、

的最小值是.

【答案】I

n

【分析】因即二？7"】，Sn=3-1,由log3La“（S47n+1）］=9得到log3（3nT-34M）=

9,所以3皿+九T=3）所以4血+n=10,所以

14/I4\、4n4m\1

—I—=—4---（4m4-n）?16+1+——+——-—

nm\nmJmn/10

25_5

當(dāng)且僅當(dāng)zn=n=2時(shí)取等號(hào).故工+±的最小值為之

nm2

2.給出下列函數(shù):①y='+（（％H0）；②y=Igx+logx10（x>0,且%。1）；③y=sinx+

高（0V%41）；④丫=專(zhuān)基;⑤y=］（"+*）（%>2），其中有最小值2的函數(shù)序號(hào)

是.

【答案】③⑤

【分析】①只有當(dāng)%>0時(shí),y=%+|>2,而％<。時(shí),y=%+：<-2；

@y=Igx+logx10=Igx+而lg%可以是負(fù)數(shù)，同①；

③因?yàn)?<%<p

所以0<sinx<1,

所以y=sinx+——>2,當(dāng)且僅當(dāng)sin%=1時(shí)取等號(hào)；

sinx

GX2+3X2+2+1/.1

④y=7x^+2=y/x^+2=7x+?2+^272,

而不所以應(yīng)用均值不等式只能得到7^不1+鼻>2,等號(hào)取不到；

VX2+2

⑤因?yàn)閤>2,

所以、=總+專(zhuān)）=沿一2+2+2）對(duì)義4=2,

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=工即久=3時(shí)取號(hào).

3.已知x、y都是正數(shù)，如果%y=15,則％4-y的最小值是，如果％+y=15,則%y的最

大值是.

【答案】2底;竽

4

【分析】（l）x+y>=2VT5,即x+y的最小值是271萬(wàn)，

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=71下時(shí)取最小值；

⑵孫《代a=（圻2=竽，即孫的最大值是哈

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=T時(shí)%y取最大值.

4?已知4(1,一2),B(a,—1),C(—b,O)三點(diǎn)共線，其中a>0,b>0,則a與b的關(guān)系式

為二+：的最小值是

ab

【答案】2a+b=1；8.

rx-y<2,

5o已知正數(shù)a、匕滿(mǎn)足之+々=1,實(shí)數(shù)比、y滿(mǎn)足］x+2y>5,z=a無(wú)+by,則當(dāng)3a+4b取最小

5JQ/八

aSbV—2<0,

值時(shí)z的最大值為.

【答案】5

6.較大小:lg9?Igll1(填“>”，或"=").

【答案】<

7o對(duì)任意實(shí)數(shù)x>l,y>；,不等式p4三+絲】亙成立，則實(shí)數(shù)p的最大值為

22y—lX—1

【答案】8

【分析】令a=2y—l,b^x-1,則念+*=殳盧+史/，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求生盧+

喈的最小值，又

b

(b+l)2(a+l)2(a+l)(b+1)

+-b>2xVHF

ab+(a+b)+1

VaF

>2x(2+2)

=8,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1,即l=2,y=1時(shí)取等號(hào).

8。已知不等式(x+y)G+3》9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為

【答案】4

90已知實(shí)數(shù)x,y,實(shí)數(shù)a>l,b>1,且/=〃=2,

⑴若ab=4,貝吐+已=；

(2M2+b=8,則三+工的最大值_______.

xy

【答案】2；4

10.已知實(shí)數(shù)a,b>0,a,b的等差中項(xiàng)為±設(shè)?n=a+二九=b+[,則m+n的最小值

2ab

為.

【答案】5

(1)已知0<x<*求x(4—3%)的最大值.

【解】由0<x<，所以x>0,4-3x>0,利用均值不等式x(4-3%)=|-3x(4-3無(wú))<

1?(汽士丫=/當(dāng)且僅當(dāng)3尤=4-3久即x=取等號(hào)).

所以比(4-3%)的最大值為*

(2)點(diǎn)(x,y)在直線x+2y=3上移動(dòng)，求*+4丫的最小值.

【解】由2》+4.》272*=2陰=4四,所以2工+4》的最小值為4魚(yú).

(1)已知％,yGR+,且4%+y—=0,求％+y的最小值；

【解】由已知得*2=1,

Xy

貝反+y=(%+y)G+；)=5+?+￡>5+4=9.

因此，％+y的最小值是9,當(dāng)且僅當(dāng)?=多即％=3,y=6時(shí)取到.

(2)已知％,yGR+,且4%+y—%y=0,求%y的最小值.

【解】由已知得*2=1,

xy

因?yàn)楣?->2B，所以1》2團(tuán).

xyxyxy

得孫>16,所以%y的最小值是16,

當(dāng)且僅當(dāng);%即比=2,”8時(shí)取到.

13.已知a>0,b>0,a+b=4,求(a++('+*)的最小值?

【解】由a+b=4,知

2

=4.

根據(jù)^!》(等)1得m

L+3)處5y

(4+jf_25

所以，當(dāng)且僅當(dāng)a+工=力+工，且a=力即a=力=2時(shí)，

ab

(a+的最小值是

14o已知：x,y,z>0,%+y+z=l,求工+3+?的最小值.

xyz

1,4,9x+y+z,.x+y+z,八x+y+z

-+-+-=--—+4?---+9——--

xyzxyz

【解】=1+4+9+e+巧+仁+巧+(竺+巧

\xyJ\xzJ\yz/

>14+2V4+2V9+2V36=36,

當(dāng)且僅當(dāng)％=7=|,即％=y=z=:時(shí)取到等號(hào).

Z3632

故2+-+2的最小值為36.

xyz

2__________

15o設(shè)％eR+且％2+y=1,求%Jl+y2的最大值.

【解】因?yàn)?>0,所以可知

xj]+y2=y/2?/Q+缶尤卜+(;+引]

<

2

又/+G+9=(/+3+；|,故

3V2

Xy/1+y2<丁

因此,xJTT了的最大值為學(xué).

16o已知函數(shù)f(無(wú))=m-|x-3|(meR),且不等式f(x+2)>0的解集為[0,2].

(1)求zn的值；

【解】因?yàn)閒(x+2)=m一|x—l|,

所以不等式f(x+2)》0,等價(jià)于Ix-1|<m,

由不等式Ix-1|<m有解，得m》0,

且其解集為{xII-租《x&l+m,%CR},

又已知不等式+2)》。的解集為[0,2],

所以=j所以吁1.

LI—m=u,

(2)若a>0,b>0,且工+3=m,求證：a+/?>9.

ab

【解】由(1)得—I■工=1,因?yàn)閍>0力>0,

ab____

所以a+b=(a+b)(L+J)=5+：+，>5+2--=5+2x2=9,

\abjba'ba

當(dāng)且僅當(dāng)”=2,即a=3,b=6時(shí)取等號(hào)，

ba

所以不等式a+b>9成立.

(1)已知％,y￡R+，且4%+y—%y=0,求％+y的最小值;

【解】由已知得*2=1,

xy

則%+y=(%+y)G+；)=5+7+￡>5+4=9.

因此％+y的最小值是9,當(dāng)且僅當(dāng)白拳即％=3,y=6時(shí)取到.

(2)已知招yWR+，且4x+y—%y=0,求%y的最小值.

【解】由已知得工+3=1,

Xy

因?yàn)?3》2匕

xyxy

所以1》2J所以%y》16,

故％+y的最小值是16,當(dāng)且僅當(dāng):=；,即％=2,y=8時(shí)取到.

18o設(shè)a,b,cE(0,+8)且a+b+c=1,求證:&-1)@-1)(一)》8.

【解】因?yàn)閍,b,c￡(0,+8)且a+力+c=1,

所以工一1=^±￡一1=山》亞〉0.

aaaa

同理可得三—1》亞>0,i-l>—>0,

bbcc

所以弓_1)&_1)(5_1)》平*率*等=8.

即(!-1)&-1)(：1)=8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=決寸等號(hào)成立.

19o設(shè)a,瓦c￡R+，求證：；+三+4十——I——?

十2a2b2ca+bb+cc+a

【解】因?yàn)?a+b)&+J>4,

所以工+工>4,同&+工》3,工+工>3.

2a2ba+b2b2cb+c2c2aa+c

所以工+工+工》工+工+工.

2a2b2ca+bb+cc+a

20o已知a、b為正數(shù),a+5=1,求工+：的最小值.

ab

【解】工+2=州+%理=5+2+”》5+2所=9,當(dāng)且僅當(dāng)2=空，即。=

ababababab

觸=|時(shí)，"="成立，即a=[,b=|時(shí)，，.有最小值9.

均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

1.當(dāng)％G（0,1）時(shí),1g%+logx10G

【答案】（—8,-2]

【分析】因?yàn)椋ァ辏?,1）,

所以]g%<0,logx10<0,

所以一lg%>0,-logx10>0,-Igx+（-logx10）>2V（-lgx）■（-logx10）=2,

當(dāng)且僅當(dāng)lg%=logxlO,即無(wú)時(shí)，等號(hào)成立，所以lg%+logxlOC（-00,-2].

2。為了促銷(xiāo)，甲、乙兩個(gè)商家分別對(duì)同一商品降價(jià)銷(xiāo)售，甲連續(xù)兩次降價(jià)率分別為B、P2,乙

兩次降價(jià)率都是空（PlHP2）,則這兩個(gè)商家降價(jià)幅度大的是.

【答案】甲

2

【分析】只需證（1一。1）（1一22）<1-

3。某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y