2025屆陜西省商洛市丹鳳縣丹鳳中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2025屆陜西省商洛市丹鳳縣丹鳳中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值2．點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①滿(mǎn)足的點(diǎn)有且只有個(gè)；②滿(mǎn)足的點(diǎn)有且只有個(gè)；③滿(mǎn)足平面的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段.則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.4．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.906．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.8．如下圖，邊長(zhǎng)為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為19．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（）A6 B.4C. D.10．已知圓，若存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.11．在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線(xiàn)②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓③若點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線(xiàn)CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)A.1 B.2C.3 D.412．點(diǎn)A是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的最小距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列中，，，設(shè)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過(guò)的最大的整數(shù)14．寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式____________，使它同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①，②，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)答案即可）15．一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長(zhǎng)為的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為.16．已知橢圓()中，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為_(kāi)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，已知雙曲線(xiàn)，過(guò)向雙曲線(xiàn)作兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，且.（1）證明：直線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.20．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線(xiàn)，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）如圖，直角梯形AEFB與菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M為AD中點(diǎn).（1）證明：直線(xiàn)面DEF；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：2、C【解析】對(duì)于①，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行的性質(zhì)可知點(diǎn)即為點(diǎn)，因此可判斷①正確；對(duì)于②，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，進(jìn)而判定②的正誤；對(duì)于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面，因此可判斷此時(shí)一定落在上，由此可判斷③的正誤.【詳解】如圖：對(duì)于①，在正方體中，,若異于，則過(guò)點(diǎn)至少有兩條直線(xiàn)和平行，這是不可能的，因此底面內(nèi)（包括邊界）滿(mǎn)足的點(diǎn)有且只有個(gè)，即為點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，正方體中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直線(xiàn)一定落在平面內(nèi)，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，一定落在上，這樣的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，,平面,則平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，此時(shí)一定落在上，即點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段，故③正確，故選：C.3、C【解析】首先求出，再令即可求解.【詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出正確選項(xiàng).【詳解】∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(4，)，∴.故選：D.5、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B6、D【解析】計(jì)算，然后等價(jià)于在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后計(jì)算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，考查計(jì)算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，在中，利用余弦定理求得是關(guān)鍵，屬于中檔題.8、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,B,C；對(duì)D，算出平面MON的法向量，進(jìn)而求出向量在該法向量方向上投影的絕對(duì)值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.對(duì)A，，則，則A正確；對(duì)B，，則，則B正確；對(duì)C，，則C正確；對(duì)D，設(shè)平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯(cuò)誤.故選：D.9、A【解析】由兩條直線(xiàn)垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.10、D【解析】根據(jù)圓的割線(xiàn)定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線(xiàn)定理可知：，顯然有，或，因?yàn)椋?，于是有，因?yàn)椋?，而，或，所以，故選：D11、C【解析】根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對(duì)每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿(mǎn)足，又，，，可得對(duì)角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長(zhǎng)為，故②正確點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線(xiàn)段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線(xiàn)的距離）與到直線(xiàn)CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個(gè)故選:C12、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)，則找出曲線(xiàn)上某點(diǎn)的斜率與直線(xiàn)的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：解得：故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）2021【解析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；(3)先求出，再求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，則，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，，所以不超過(guò)的最大的整數(shù)是202114、(答案合理即可)【解析】當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足條件①②，證明如下：因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).15、【解析】判斷棱錐是正六棱錐，利用體積求出棱錐的高，然后求出斜高，即可求解側(cè)面積∵一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∴棱錐是正六棱錐，設(shè)棱錐的高為h，則棱錐斜高為該六棱錐的側(cè)面積為考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積16、【解析】根據(jù)成等比數(shù)列，可得，再根據(jù)的關(guān)系可得，然后結(jié)合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的計(jì)算以及等比數(shù)列定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線(xiàn)較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線(xiàn)面角的向量公式即可計(jì)算得出18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)出切線(xiàn)方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式進(jìn)行表達(dá)出A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)即為結(jié)果；（2）再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，則，化簡(jiǎn)得.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，故切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，得，則，故，則，即.【小問(wèn)2詳解】同理可得，又與均過(guò)，所以.故，，，又因?yàn)?，所以，則，，故，故.【點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)中證明角度相關(guān)的問(wèn)題，往往需要轉(zhuǎn)化為斜率或向量進(jìn)行求解.19、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無(wú)極大值.（2）【解析】（1）由當(dāng)，得到，求導(dǎo)，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極小值是，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋闯闪?設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.20、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在直線(xiàn)，使得的面積為，當(dāng)軸時(shí)，不合題意，設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線(xiàn)：或使得的面積為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，連接BD，可得，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算與平面的法向量的數(shù)量積為0即可得證；（2）分別計(jì)算出平面和平面的法向量，然后利用向量夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，連接BD，則等邊三角形，所以，以為原點(diǎn)，為軸，豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?，則有，取，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫云矫?；【小?wèn)2詳解】解：分別設(shè)為平面和平面的法向量，因?yàn)?，則有，取，因，則有，取，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.22、（1）；（2）2.【解析】（1）由離心率，得到，再由點(diǎn)在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到