浙江省紹興一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

浙江省紹興一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.12．積分（）A. B.C. D.3．已知直線與直線垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣14．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分5．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，6．經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.7．已知平面的一個(gè)法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.8．若直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-89．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知的頂點(diǎn)，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.10．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成6等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，則（）A.20 B.C.36 D.3012．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_________14．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長(zhǎng)______15．如圖，正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點(diǎn)，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）16．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號(hào)是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答①過(guò)（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問(wèn)題：已知直線過(guò)點(diǎn)M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點(diǎn)A、B，求弦AB的長(zhǎng)18．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求在上的最小值.19．（12分）等比數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前n項(xiàng)和．若，求m的值20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為；（2）求一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.21．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.22．（10分）已知圓：，定點(diǎn)，Q為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在半徑CQ上，且，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H與AB垂直的直線與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線AB的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C2、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B3、D【解析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線與直線垂直，所以，解得或.故選：D.4、B【解析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.5、D【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.6、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.7、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設(shè)x軸與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，故選：C8、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算作答.【詳解】將直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A9、D【解析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線，然后求出線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，線段所在直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因?yàn)椋缘耐庑?、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考走查直線的方程，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出歐拉線，屬于中檔題.10、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B11、D【解析】由橢圓的對(duì)稱性可知，，代入計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接由橢圓的對(duì)稱性可知，，所以.故選：D.12、B【解析】①③可以通過(guò)分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，所以④錯(cuò)誤；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題意，根據(jù)約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，作出其平行直線，并將其在可行域內(nèi)平行上下移動(dòng)，當(dāng)移到頂點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小，即.14、【解析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長(zhǎng)【詳解】二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長(zhǎng)故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，是中檔題15、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因?yàn)?，所以直線與GF所成角為.設(shè)，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：16、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來(lái)即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測(cè)的3袋牛奶編號(hào)為：331、572、455、068.故答案為：068.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)可依次根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】選條件①：∵直線過(guò)點(diǎn)(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴18、（1）；（2）.【解析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；(2）根據(jù)極值點(diǎn)求出的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴∴∴在處的切線為，即；【小問(wèn)2詳解】∵，由題可知，∴，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∵，，∴.19、（1）或；（2）5.【解析】（1）設(shè)的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公比為q，由題設(shè)得由已知得，解得（舍去），或故或【小問(wèn)2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因?yàn)?，所以此方程沒(méi)有正整數(shù)解綜上，20、（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再結(jié)合解方程即可得答案；、（3）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進(jìn)而與拋物線聯(lián)立方程并消去得，再結(jié)合韋達(dá)定理得，進(jìn)而得答案.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)為，離心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)闈u近線方程為，所以，因?yàn)樗?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)3詳解】解：由題知拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)拋物線焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，所以，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以，解得.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21、（1）圓C與圓M相交，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)則方程為，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因?yàn)椋詧AC與圓M相交，【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.22、（1）（2）或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點(diǎn)P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓