江西省宜春市宜豐縣二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江西省宜春市宜豐縣二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)太陽(yáng)光線垂直于平面，在陽(yáng)光下任意轉(zhuǎn)動(dòng)棱長(zhǎng)為一個(gè)單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.2．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④3．集合，，則（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.45．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.7．雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.C.4 D.28．已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或9．設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.10．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.11．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______14．已知，，則以AB為直徑的圓的方程為___________.15．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，則使得成立的x的取值范圍是_________.16．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)的選法數(shù)可以用表示為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）我們知道：當(dāng)是圓O：上一點(diǎn)，則圓O的過點(diǎn)的切線方程為；當(dāng)是圓O：外一點(diǎn)，過作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程.請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3，且與直線相切，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）某校為了了解在校學(xué)生的支出情況，組織學(xué)生調(diào)查了該校2014年至2020年學(xué)生的人均月支出y(單位：百元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中連續(xù)的兩年里，兩年人均月支出都超過4百元的概率；（2）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（3）利用（2）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該校2022年的人均月支出.附：最小二乘估計(jì)公式：，22．（10分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí)，是投影面與平面AB'C平行，三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形，其對(duì)角線為，即投影面上三條對(duì)角線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C2、A【解析】對(duì)于①，由三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)分析，對(duì)于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對(duì)于③，利用余弦定理分析，對(duì)于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對(duì)于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是的中點(diǎn)，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題3、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【詳解】解不等式得：，則有，解不等式，解得或，則有或，所以為.故選：A.4、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D5、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.6、D【解析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,B,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線夾角的向量求法求解【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用及向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，而雙曲線中，，所以其實(shí)軸長(zhǎng)為故選：A8、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m＝±4，當(dāng)m=4時(shí),圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A9、B【解析】根據(jù)橢圓的定義寫出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點(diǎn)，則有，又，所以，故選：B.10、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C11、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值12、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.14、【解析】求圓心及半徑即可.【詳解】由已知可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為：.故答案為：15、【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可得到答案；【詳解】，令，，單調(diào)遞減，且，，x的取值范圍是，故答案為：16、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長(zhǎng)，∴選法數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡(jiǎn)，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對(duì)化簡(jiǎn)，再由題意可得從而可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.故.【小問2詳解】因?yàn)椋?因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.18、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長(zhǎng)；(3)根據(jù)題意求出AB經(jīng)過的定點(diǎn)Q，當(dāng)CQ垂直于AB時(shí)，AB最短.【小問1詳解】由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長(zhǎng)；【小問3詳解】設(shè)，則，又直線方程為：，故直線過定點(diǎn)Q，設(shè)圓心C到直線距離為，則，故當(dāng)最大時(shí)，最短，而，故與垂直時(shí)最大，此時(shí)，，∴線段長(zhǎng)度的最小值4.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合當(dāng)時(shí)，探求數(shù)列的性質(zhì)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.小問1詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，解得，于是得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理以及，即可求解.【小問1詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)，其中一條漸近線，則；對(duì)雙曲線，令，解得，則，解得，故雙曲線方程為：.小問2詳解】根據(jù)（1）中所求可知，假設(shè)存在軸上的點(diǎn)滿足題意，若直線的斜率不為零，則設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，則，即，此時(shí)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則，則，即，即，則，此時(shí)滿足題意；若直線的斜率為零，且過點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意.綜上所述，存在軸上的一點(diǎn)滿足.【點(diǎn)睛】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點(diǎn)滿足條件的問題；解決問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬綜合中檔題.21、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）應(yīng)用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行計(jì)算求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用代入法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】2014年至2020年中連續(xù)的兩年有、、、、、共6種組合，其中只有不滿足連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元，所以連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元的概率為；【小問2詳解】由已知數(shù)據(jù)分別求出公式中的