專題11相似三角形的綜合問題(重點突圍)(原卷版+解析)

專題11相似三角形的綜合問題【中考考向導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一(雙)A字型相似】 1【考向二(雙)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋轉相似】 24【考向五K字型相似】 37【直擊中考】【考向一(雙)A字型相似】例題：（2022·上海·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【變式訓練】1．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝__________．2．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．3．（2021秋·山東濟寧·九年級校考階段練習）中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數(shù)關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，點D在邊上，且．（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【考向二(雙)8字型相似】例題：（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點E、F，DF交對角線AC于點M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．2．（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．3．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點，，，，，求CD的長．4．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．5．（2022·廣東佛山·?？既＃┤鐖D1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【考向三母子型相似】例題：（2022秋·全國·八年級專題練習）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【變式訓練】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，中，點在上，，若，，則線段的長為___________．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，為邊上的高，的平分線分別交，于點，．(1)求證：；(2)若，，求的面積，(3)若，請直接寫出的值為______．4．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖：在矩形ABCD中，，，動點Р以的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動的時間為t秒．（1）______m，______m，_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【考向四旋轉相似】例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級?？计谥校┤鐖D1，在中，，點分別是邊的中點，連接．將繞點逆時針方向旋轉，記旋轉角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當時，＝______；②當時，＝______；(2)拓展探究試判斷當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當繞點逆時針旋轉至三點在同一條直線上時，求線段的長．【變式訓練】1．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，點D，E分別是的中點．把繞點B旋轉一定角度，連結．(1)如圖2，當線段在內(nèi)部時，求證：．(2)當點D落在直線上時，請畫出圖形，并求的長．(3)當面積最大時，請畫出圖形，并求出此時的面積．2．（2022·山東棗莊·?？寄M預測）如圖1，在等腰直角三角形中，，．點是的中點，以為邊作正方形，連接，．將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為（）．(1)如圖2，在旋轉過程中，①判斷與是否全等，并說明理由；②當時，與交于點，求的長．(2)如圖3，延長交直線于點．求證：；3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）（1）【方法嘗試】如圖1，矩形是矩形以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉所得的圖形，分別是它們的對角線．則與數(shù)量關系_______，位置關系________；（2）【類比遷移】如圖2，在和中，．將繞點A在平面內(nèi)逆時針旋轉，設旋轉角為α（），連接．請判斷線段和的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，在中，，過點A作，在射線上取一點D，連接，使得，請求線段的最大值．4．（2023秋·河南南陽·九年級?？计谀┤鐖D，將繞點逆時針旋轉后，與構成位似圖形，我們稱與互為“旋轉位似圖形”．(1)知識理解：兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形（填“是”或“不是”“旋轉位似圖形”；如圖1，與互為“旋轉位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；(2)知識運用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉位似圖形”；(3)拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點為中點，點是上一點，是延長線上一點，點在線段上，且與互為“旋轉位似圖形”，若，，求出和的值．【考向五K字型相似】例題：（2022·山東濟南·山東師范大學第二附屬中學校考模擬預測）如圖，在中，點D、E分別是邊、上的點，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若．①如圖2，當時，求的長；②如圖3，當時，直接寫出的長是______．【變式訓練】1．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習）（1）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，求證：；（2）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，，，，求的值；（3）如圖，中，點在邊上，且，，，點在邊上，連接，，，求的值．2．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖1，在中，，點P為斜邊上一點，過點P作射線，分別交、于點D，E．(1)問題產(chǎn)生∶若P為中點，當時，

；(2)問題延伸：在（1）的情況下，將若∠DPE繞著點P旋轉到圖2的位置，的值是否會發(fā)生改變？如果不變，請證明；如果改變，請說明理由；(3)問題解決：如圖3，連接，若與相似，求的值．3．（2022·山東濟南·?？既＃┮阎狝BC中，∠ABC＝90°，點D、E分別在邊BC、邊AC上，連接DE，DF⊥DE，點F、點C在直線DE同側，連接FC，且．(1)點D與點B重合時，①如圖1，k＝1時，AE和FC的數(shù)量關系是，位置關系是；②如圖2，k＝2時，猜想AE和FC的關系，并說明理由；(2)BD＝2CD時，①如圖3，k＝1時，若AE＝2，＝6，求FC的長度；②如圖4，k＝2時，點M、N分別為EF和AC的中點，若AB＝10，直接寫出MN的最小值．專題11相似三角形的綜合問題【中考考向導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一(雙)A字型相似】 1【考向二(雙)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋轉相似】 24【考向五K字型相似】 37【直擊中考】【考向一(雙)A字型相似】例題：（2022·上海·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝__________．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例求出答案．2．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【答案】見詳解【分析】先證明，即有，再結合，即可證明．【詳解】∵、分別是、邊上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵．3．（2021秋·山東濟寧·九年級?？茧A段練習）中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數(shù)關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20t-4t2，再結合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出結論．【詳解】（1）解：由運動知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，，即；∴秒或秒（2）由題意得，，則，因此的面積為；（3）分兩種情況：①當時，，即，解得；②當時，，即，解得．因此或時，以點、、為頂點的三角形與相似．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，點D在邊上，且．（1）求證：；（2）點E在邊上，連接交于點F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【答案】（1）見解析；（2）＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關系建立等式，運用等量代換得出，證得；（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關系證得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出＝60°；（3）借助輔助線AO⊥CE，構造直角三角形，并結合平行線構造△BFE∽△BDH，建立相應的等量關系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，解題的關鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構造特殊三角形的能力．【考向二(雙)8字型相似】例題：（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點E、F，DF交對角線AC于點M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【分析】（1）通過已知條件，易證△ADF≌△CDE，即可求得；（2）根據(jù)＝，易求得BE和BF，根據(jù)已知條件可得＝＝，證明△AMF∽△CMD，，再證明△ABC～△MEC,即可求出ME．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,

∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【點睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質(zhì)，熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題．2．（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．3．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點，，，，，求CD的長．【答案】1.5【分析】由，可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，，即可求出CD的長．【詳解】解：∵AD與BC交于O點，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例列式．4．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）證明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝CM；（2）證明△AND∽△BMD，由相似三角形的性質(zhì)得出，設AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，則可得出答案；（3）延長ME，AN相交于點H，證明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，證得HN＝MN，過點E作EG⊥BM于點G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACN＝∠CBM，又∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBM（AAS），∴AN＝CM；（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，∴△AND∽△BMD，∴，設AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，∵AN2+CN2＝AC2，∴x2+（2x）2＝12，∴x＝，∴CM＝，CN＝，∴MN＝，∴DM＝＝；（3）解：延長ME，AN相交于點H，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，∴AN∥BM，∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，∴△AHE≌△BME（AAS），∴AH＝BM，又∵BM＝CN，CM＝AN，∴CN＝AH，∴MN＝HN，∴∠HMN＝45°，∴∠EMB＝45°，過點E作EG⊥BM于點G，∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，∴sin∠EBG＝＝k，又∵AC＝BC＝1，∴AB＝，∴BE＝，∴EG＝k，∴EM＝EG＝k＝k．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2022·廣東佛山·?？既＃┤鐖D1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點作，交的延長線于點．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)，或，【分析】（1）由題意：，證明即可解決問題．（2）延長交于點．證明，可得，，由，可得．（3）因為與相似，，所以中必有一個內(nèi)角為因為是銳角，推出．接下來分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延長交于點．，，平分，，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個內(nèi)角為是銳角，．①當時，，，，，此時．②當時，，，與相似，，此時．綜上所述，，．，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．【考向三母子型相似】例題：（2022秋·全國·八年級專題練習）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當在上時，，對應邊成比例即可求長度；不可能在上．（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當時，，，，即是邊上的高，當時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解“理想點”的定義．【變式訓練】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，中，點在上，，若，，則線段的長為___________．【答案】【分析】延長到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關系①構造等腰和②構造等腰是解題關鍵．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結論．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關鍵．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，為邊上的高，的平分線分別交，于點，．(1)求證：；(2)若，，求的面積，(3)若，請直接寫出的值為______．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用同角的余角相等可得，再由角平分線的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)定理可證，推出，設，則，在中，利用勾股定理，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得；（3）由和推出，得到，再根據(jù)一元二次方程的解法求解即可得．【詳解】（1）證明：，為邊上的高，，，，是的平分線，，在和中，，．（2）解：在中，，如圖，過點作于，是的平分線，，，在和中，，，，，設，則，在中，，即，解得，，，∴，即，解得，即的面積為．（3）解：如上圖，在和中，，∴，在和中，，，，即，解得或（不符題意，舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應用、一元二次方程的應用等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．4．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖：在矩形ABCD中，，，動點Р以的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動的時間為t秒．（1）______m，______m，_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1），，；（2）或；（3）四邊形ABQP與CPQ的面積不相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計算得，結合題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結合（1）的結論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；（3）過點P作，交BC于點M，通過證明，根據(jù)相似比的性質(zhì)，推導得，根據(jù)題意列一元二次方程，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）∵矩形ABCD中，，∴m∵動點Р以的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，∴，∴故答案為：，，；（2）根據(jù)（1）的結論，得，，，∵∴當，或時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似當時，得∴∴；當時，得∴∴；（3）如圖，過點P作，交BC于點M∵，∴∴∴∴∵四邊形ABQP與CPQ的面積相等,四邊形ABQP面積∴∴∴∵∴無解，即四邊形ABQP與CPQ的面積不相等．【點睛】本題考查了代數(shù)式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握相似三角形、一元二次方程判別式的性質(zhì)，從而完成求解．【考向四旋轉相似】例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級?？计谥校┤鐖D1，在中，，點分別是邊的中點，連接．將繞點逆時針方向旋轉，記旋轉角為．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當時，＝______；②當時，＝______；(2)拓展探究試判斷當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當繞點逆時針旋轉至三點在同一條直線上時，求線段的長．【答案】(1)①；②(2)當時，，大小沒有變化，證明見解析(3)線段的長為或【分析】（1）①先利用勾股定理可得，再根據(jù)線段中點的定義可得，由此即可得；②先畫出圖形，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)線段和差分別求出的長，由此即可得；（2）根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；（3）分①點在的延長線上和②點在線段上，利用勾股定理求出，從而可得的長，再根據(jù)求解即可得．【詳解】（1）解：①當時，在中，，，點分別是邊的中點，，，，故答案為：；②如圖1，點分別是邊的中點，，，，，如圖，當時，由旋轉的性質(zhì)得：的大小不變，仍等于，長度不變，仍等于2，的長度不變，仍等于，，，，，故答案為：．（2）解：當時，，大小沒有變化，證明如下：由旋轉的性質(zhì)得：，，又，，．（3）解：①如圖，當點在的延長線上時，在中，，，，，；②如圖，當點在線段上時，在中，，，，，；綜上，線段的長為或．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，點D，E分別是的中點．把繞點B旋轉一定角度，連結．(1)如圖2，當線段在內(nèi)部時，求證：．(2)當點D落在直線上時，請畫出圖形，并求的長．(3)當面積最大時，請畫出圖形，并求出此時的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析；(3)見解析，【分析】（1）根據(jù)點D，E分別是的中點，得到，再根據(jù)旋轉，得到，即可得證；（2）勾股定理定理求出的長，中位線定理得到，進而得到，根據(jù)旋轉，得到，推出，利用勾股定理求出的長；（3）設點E到的距離為h，判斷出h最大，的面積最大，過點D作于H，證明，利用對應邊對應成比例，求出的長，利用進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵點D，E分別是的中點，∴∴，

由旋轉知，，∴；（2）解：如圖，∵，∴，由（1）圖∵點D，E分別是的中點，∴，∴，∵點D落在上，∴，由（1）知，，∴，在中，，根據(jù)勾股定理得，；（3）解：如圖，設點E到的距離為h，則，要的面積最大，則h最大，即時，此時，h最大，∵，∴，∴，由旋轉知，，∴，過點D作于H，∴，∴，∴，∴，∴，在題干圖1中，∵點D，E分別是的中點，∴，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理．本題的綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是根據(jù)題意，正確的畫出圖形．2．（2022·山東棗莊·校考模擬預測）如圖1，在等腰直角三角形中，，．點是的中點，以為邊作正方形，連接，．將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為（）．(1)如圖2，在旋轉過程中，①判斷與是否全等，并說明理由；②當時，與交于點，求的長．(2)如圖3，延長交直線于點．求證：；【答案】(1)①，理由見解析；②(2)證明見解析【分析】（1）①根據(jù)“邊角邊”，證明即可；②過點作于，根據(jù)①中，，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)，得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，計算即可得出答案；（2）設交于，根據(jù)（1），得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關系，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)垂線的定義，即可得出結論．【詳解】（1）解：①如圖2中，結論：．理由：∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴．②如圖2中，過點作于．∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）證明：如圖3中，設交于．∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質(zhì)定理．3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考二模）（1）【方法嘗試】如圖1，矩形是矩形以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉所得的圖形，分別是它們的對角線．則與數(shù)量關系_______，位置關系________；（2）【類比遷移】如圖2，在和中，．將繞點A在平面內(nèi)逆時針旋轉，設旋轉角為α（），連接．請判斷線段和的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，在中，，過點A作，在射線上取一點D，連接，使得，請求線段的最大值．【答案】（1）；（2），，理由見解析；（3）．【分析】（1）延長交于點H．由旋轉的性質(zhì)可得出，．從而即可求出，即；（2）延長交于點Q，交于點O，易證，又可求，即證明，得出，．進而可求出，即，；（3）過點A作，使得，取的中點R，連接．由平行線的性質(zhì)可證，從而可證．再根據(jù)，即得出，從而可證，得出．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出．再根據(jù)勾股定理可求出，最后由三角形三邊關系即得出，從而得出，即得出的最大值．【詳解】解：（1）如圖，延長交于點H．由旋轉的性質(zhì)可得：，．又∵，∴，即．故答案為：，；（2），，理由如下，延長交于點Q，交于點O，如圖2．∵，∴．∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，；（3）如圖，過點A作，使得，取的中點R，連接．∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵點R為中點，，∴．∵，∴．∵,∴，∴最大值為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關系的應用等知識．熟練掌握旋轉的性質(zhì)和三角形相似的判定定理，并正確的作出輔助線是解題關鍵．4．（2023秋·河南南陽·九年級校考期末）如圖，將繞點逆時針旋轉后，與構成位似圖形，我們稱與互為“旋轉位似圖形”．(1)知識理解：兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形（填“是”或“不是”“旋轉位似圖形”；如圖1，與互為“旋轉位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；(2)知識運用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉位似圖形”；(3)拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點為中點，點是上一點，是延長線上一點，點在線段上，且與互為“旋轉位似圖形”，若，，求出和的值．【答案】(1)是；①；②(2)見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)旋轉位似圖形的定義；旋轉位似圖形的性質(zhì)，得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，即可；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可；（2）如圖，根據(jù)，，，得，；根據(jù)對頂角相等，得，；再根據(jù)，即可；（3）連接，根據(jù)勾股定理，求出，過作于，由，；根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出，再根據(jù)勾股定理，即可求出的長．【詳解】（1）兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形，把其中一個三角形繞公共頂點旋轉后構成位似圖形，故它們互為“旋轉位似圖形”，故答案為：是；①∵與互為“旋轉位似圖形”∴，∵，∴∴∵∴；②∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案為：是；①；②．（2）如圖：∵，，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴和互為“旋轉位似圖形”．（3）連接∵為等腰直角三角形，點為中點，∴，，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴；過作于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．綜上所述：，．【點睛】本題考查相似三角形，勾股定理的知識，解題的關鍵是理解旋轉位似圖形的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)．【考向五K字型相似】例題：（2022·山東濟南·山東師范大學第二附屬中學?？寄M預測）如圖，在中，點D、E分別是邊、上的點，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若．①如圖2，當時，求的長；②如圖3，當時，直接寫出的長是______．【答案】(1)見解析(2)①；②???????【分析】（1）證明，即可得證；（2）①如圖，作的垂直平分線交于F，連接，證明，利用全等三角形的性質(zhì)和，進行求解即可；②延長到，使，求出，作于，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)，求出的長，進而得到的余弦，作中垂線交于，于，證明，利用相似三角形的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴=，∴；（2）解：①如圖2，作的垂直平分線交于F，連接，∴，∴，∵，∴，???????又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②???????如圖：延長到，使，則，∴，∵，∴，∴，作于，則，∴，在中，由勾股定理得：，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，作中垂線交于，于，設，則，，∵，，∴，∴，，解得，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識．通過添加輔助線，證明三角形全等和相似是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習）（1）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，求證：；（2）如圖，點在線段上，點在直線的同側，，，，，求的值；（3）如圖，中，點在邊上，且，，，點在邊上，連接，，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）要證，可證，根據(jù)可得，即可證得；（2）根據(jù)，，可得到，從而求出相應的線段長度，得到的值；（3）根據(jù)，可得到，可求出的長，再根據(jù)已知條件證得即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，，∴，∵，∴，∴．(2)解：如解圖，與交于點，∵，，∴，∴，即，解得，∴，，設，∴，∴，∴，∴，設，∴，∴，解得，∴；（3）解：如解圖，∵，，∴，∴，∴，解得，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形得性質(zhì)和判定，根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出相關的線段長度，最后一問以EC為腰作等腰三角形為解題關鍵．2．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖1，在中，，點P為斜邊上一點，過點P作射線，分別交、于點D，E．(1)問題產(chǎn)生∶若P為中點，當時，

；(2)問題延伸：