專題17圓-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學一輪復習考點幫(上海專用)(原卷版+解析)

專題17圓圓的有關(guān)基礎概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓軸題；圓周角定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的連心線的性質(zhì)。一、圓的有關(guān)概念垂徑定理一、與圓有關(guān)的概念圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓．這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以0點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．確定圓的條件：圓心；半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大?。a充知識：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓．弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦．弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。訟、B為端點的弧記作AB，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。倚木喔拍睿簭膱A心到弦的距離叫做弦心距．圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角．圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．點與圓的位置有三種：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部d>r?點P在⊙點在圓上點在圓周上d=r?點P在⊙點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r?點P在⊙三點定圓的方法：1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點O為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓有無數(shù)個．2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點O作為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個．3）經(jīng)過三點時：情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．定理：不在同一直線上的三點確定一個圓．二、垂徑定理QUOTE（12弦長）2對稱性圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線圓是中心對稱圖形。垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；常見輔助線做法（考點）：過圓心，作垂線，連半徑，造RT△2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．一、單選題1．下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知OA=4，以O為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．53．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm4．下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點的直線必過圓心5．如圖，在中，于點D，AD的長為3cm，則弦AB的長為（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于點M，若OM：OA=3：5，則弦AC的長度（

）．A． B． C．3 D．或7．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以點B為圓心，3為半徑作⊙B，則點C與⊙B的位置關(guān)系是（）A．點C在⊙B內(nèi) B．點C在⊙B上 C．點C在⊙B外 D．無法確定8．如圖，AB為⊙O的弦，點C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．二、填空題9．平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___確定一個圓．（填“能”或“不能”）10．下列說法正確的是_______（填序號）．①半徑不等的圓叫做同心圓；

②優(yōu)弧一定大于劣??；

③不同的圓中不可能有相等的弦；

④直徑是同一個圓中最長的弦．11．，是半徑為3的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是________．12．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中B點坐標為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為________．13．如圖，，在射線AC上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點，則線段的長是__________cm．14．如圖，在矩形中，，以頂點為圓心作半徑為的圓．若要求另外三個頂點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則的取值范圍是_______．15．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等一、單選題1．下列說法中，正確的是（

）A．等弦所對的弧相等 B．等弧所對的弦相等C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等2．如圖，在一個圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF3．在中，AB，CD為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則弧AB=2弧CD；④若，則.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，點C、D是的三等分點，半徑OC、OD分別與弦AB交于點E、F，下列說法錯誤的是(

)A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DBC．EC＝FD D．∠DFB＝75°5．如圖，C、D為半圓上三等分點，則下列說法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折與△COD重合．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且點C為弧BAD的中點，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°二、填空題7．120°的圓心角是360°的_______分之一，它所對的弧是相應圓周長的________分之一．8．如圖，已知點C是⊙O的直徑AB上的一點，過點C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．9．已知，如圖以AB為直徑的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于點D，點E在⊙O上，若∠DEB=25°，則∠C=_______．10．如圖，在平行四邊形ABCO中，∠C＝60°，點A，B在⊙O上，點D在優(yōu)弧上，DA＝DB，則∠AOD的度數(shù)為_______．三、解答題11．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D，AC＝BD，求證：（1）OC＝OD：（2）．12．如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點A，C分別在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，點M是弧AC的中點．（1）求證：MB＝MD；（2）過O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半徑是2，求MD的長．13．如圖，過的直徑上兩點，分別作弦，．求證：（1）；（2）．14．已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為弧BC的中點．（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；（2）如圖②，過點D作DE⊥AB交⊙O于點E，直徑EF交AC于點G，若G為AC的中點，⊙O的半徑為2，求AC的長．15．已知的直徑，弦與弦交于點E．且，垂足為點F．（1）如圖1，如果，求弦的長；（2）如圖2，如果E為弦的中點，求．四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點d>r?直線l與⊙O相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點d=r?直線l與⊙O相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線d<r?直線l與⊙O切線的性質(zhì)及判定切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2、圓和圓的位置關(guān)系圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設⊙O1、⊙O2的半徑分別為位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．d>R+r?外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．d=R+r?相交兩個圓有兩個公共點．R?r<d<R+r?內(nèi)切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部．d=R?r?內(nèi)含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．0≤d<R?r?【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．定理1：相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點。一、單選題1．（2023春·上海·九年級專題練習）已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長為5，若圓上的點滿足，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內(nèi)含 D．相切或內(nèi)含2．（2022春·上海青浦·九年級?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長分別為6與2，圓心距為4，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交3．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點A與點B，如果⊙O的半徑為6cm，線段，線段，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切4．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在直角坐標系中，點P的坐標是(2，)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（

）A．圓P與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點B．圓P與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點C．圓P與x軸、y軸都有兩個公共點D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點5．（2022春·上海閔行·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點在邊BC上，，的半徑長為3，與相交，且點在外，那么的半徑長的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在四邊形中，，，，，（如圖）．點O是邊上一點，如果以O為圓心，為半徑的圓與邊有交點，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題7．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谀┮阎c兩圓外切，，的半徑為3，那么的半徑為______．8．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在Rt中，，，分別以點為圓心畫圓，如果點在上，與相交，且點在外，那么的半徑長的取值范圍是________．9．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知，、之間的距離是5cm，圓心O到直線的距離是2cm，如果圓O與直線、有三個公共點，那么圓O的半徑為______cm．10．（2022春·上海·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點O在邊上，且，以點O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個公共點，那么半徑r取值范圍是______.11．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，直線AB，CD相交于點O，，圓P的半徑為1cm，動點P在直線AB上從點O左側(cè)且距離O點6cm處，以1cm/s的速度向右運動，當圓P與直線CD相切時，圓心P的運動時間為_____s．12．（2021·上海閔行·九年級期末）如圖，在中，，，，點P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是___________．13．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是__．三、解答題14．（2023春·上海·九年級專題練習）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于點T，經(jīng)過點T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于點A和點B．(1)求證：O1AO2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的長．15．（2022春·上海·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D，⊙O1與⊙O2相交于點A和點B，AC∥O1O2，交⊙O1于點C，⊙O1的半徑為5，⊙O2的半徑為，AB=6．求：(1)弦AC的長度；(2)四邊形ACO1O2的面積．16．（2022春·九年級單元測試）如圖，半徑為1的⊙O與過點O的⊙P相交，點A是⊙O與⊙P的一個公共點，點B是直線AP與⊙O的不同于點A的另一交點，聯(lián)結(jié)OA，OB，OP．(1)當點B在線段AP上時，①求證：∠AOB＝∠APO；②如果點B是線段AP的中點，求△AOP的面積；(2)設點C是⊙P與⊙O的不同于點A的另一公共點，聯(lián)結(jié)PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，請用含α的代數(shù)式表示β．五、正多邊形和圓正多邊形和圓正多邊形正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：畫圓內(nèi)接正多邊形方法：量角器（作法操作復雜，但作圖較準確）量角器+圓規(guī)（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）圓規(guī)+直尺（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）一、填空題1．（2023春·上海·九年級專題練習）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．2．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．3．（2021·上海·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長為_____．4．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．5．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.6．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是___．7．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．8．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，下列正多邊形都滿足BA1=CB1，在正三角形中，我們可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五邊形中，可推得：∠AOB1=108°，依此類推在正八邊形中，AOB1=____°，在正n(n≥3)邊形中，∠AOB1=____°．二、解答題（圓內(nèi)接四邊形練）9．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┤鐖D，與交于D，E兩點，是直徑且長為12，．(1)證明：；(2)若，求的長度．10．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）已知，如圖，是的直徑，弦于點E，G是上一點，與的延長線交于點F，設半徑為R．(1)若，，求：①______（用R的代數(shù)式表示）；②的半徑長．(2)求證：．一、解答題1．（2021·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點（不與點A、B重合），過點A作ADOC交半圓于點D，E是直徑AB上一點，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．（1）求證：CE＝CD；（2）如果，延長EC與弦AD的延長線交于點F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．2．（2020·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．3．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知：如圖，⊙O與⊙P相切于點A，如果過點A的直線BC交⊙O于點B，交⊙P點，OD⊥AB于點，PE⊥AC于點E．（1）求的值：（2）如果⊙O和⊙P的半徑比為3:5，求的值．4．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谀┮阎喝鐖D，是的直徑，是上一點，，垂足為點，是的中點，與相交于點，，．(1)求的長；(2)求的值．5．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知為的直徑，A、B為上兩點，點C為劣弧中點，連接，且．(1)求證：；(2)F、G分別為線段上兩點，滿足，連接，取中點H，連接，請猜測與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點分別是和的中點，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，當時，求證：四邊形為矩形．7．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如圖1，求證：等于；(2)如圖2，點F在直徑AB上，DF交AC于點E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長．8．（2020·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點，AD＝1，BC＝5，設⊙O的半徑長為r．（1）聯(lián)結(jié)OF，當OF∥BC時，求⊙O的半徑長；（2）過點O作OH⊥EF，垂足為點H，設OH＝y(tǒng)，試用r的代數(shù)式表示y；（3）設點G為DC的中點，聯(lián)結(jié)OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說明理由．9．（2022春·上海金山·九年級?？茧A段練習）如圖，為半圓的直徑，，過作的垂線，點為直線上一點，連接交半圓于點，以為圓心，為半徑作圓弧交于點（不與重合）．(1)如圖2，連接、交于點，若為重心時，求的值；(2)如圖2，設，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)延長交于點，延長交射線于點，①設與線段交于點，連接，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，請求出度數(shù)；若變化，請至少給出兩種不同情況下所對應的度數(shù)；②若與相似，求的長．專題17圓圓的有關(guān)基礎概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓軸題；圓周角定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的連心線的性質(zhì)。一、圓的有關(guān)概念垂徑定理一、與圓有關(guān)的概念圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓．這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以0點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．確定圓的條件：圓心；半徑，其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大?。a充知識：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓．弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦．弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．以A、B為端點的弧記作AB，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距．圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角．圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．點與圓的位置有三種：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部d>r?點P在⊙點在圓上點在圓周上d=r?點P在⊙點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<r?點P在⊙三點定圓的方法：1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點O為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓有無數(shù)個．2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點O作為圓心，以OA的長為半徑，即可作出過點A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個．3）經(jīng)過三點時：情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．定理：不在同一直線上的三點確定一個圓．二、垂徑定理QUOTE（12弦長）2對稱性圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線圓是中心對稱圖形。垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普摚浩椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?，并且平分弦所對的兩條弧；常見輔助線做法（考點）：過圓心，作垂線，連半徑，造RT△2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．一、單選題1．下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)等弧的定義、弦的定義、弧的定義、分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；（2）直徑是圓中最長的弦，故（2）錯誤，（4）正確；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；正確的只有一個，故選：A．【點睛】本題考查了圓的有關(guān)定義，能夠了解圓的有關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．2．已知OA=4，以O為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點A與⊙O的位置關(guān)系確定點到圓心的距離與圓的半徑大小即可．【解析】∵已知OA＝4，以O為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，∴點A到圓心的距離應該小于圓的半徑，∴圓的半徑應該大于4．故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點與圓心的距離及半徑的大小關(guān)系，難度不大．3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦為10cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求OM．【解析】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，如圖所示．直徑ED⊥AB于點M，則ED=10cm，AB=8cm，由垂徑定理知：點M為AB中點，∴AM=4cm，∵半徑OA=5cm，∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，∴OM=3cm．故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，連接半徑是解答此題的關(guān)鍵．4．下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點的直線必過圓心【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項排查即可．【解析】解：A.

同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項錯誤；C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯誤；D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以D選項錯誤.故選A.【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識點．靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，于點D，AD的長為3cm，則弦AB的長為（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD=BD=3cm即可．【解析】解：∵AB為非直徑的弦，，∴AD=BD=3cm，∴AB=AD+BD=6cm．故選B．【點睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．6．已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于點M，若OM：OA=3：5，則弦AC的長度（

）．A． B． C．3 D．或【答案】D【分析】分兩種情形：當點M在線段OA上或點M在線段AO的延長線上時，分別求解即可．【解析】解：如圖1，∵AB=10，弦CD⊥AB于點M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=8，∴CM==4，∴AC==4；如圖2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于點M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=2，∴CM==4，∴AC==2，綜上所述：弦AC的長為4或2．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理．解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進行計算．7．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以點B為圓心，3為半徑作⊙B，則點C與⊙B的位置關(guān)系是（）A．點C在⊙B內(nèi) B．點C在⊙B上 C．點C在⊙B外 D．無法確定【答案】C【分析】欲求點C與⊙B的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出BC，再與半徑3進行比較．若d＜r，則點在圓內(nèi)；若d＝r，則點在圓上；若d＞r，則點在圓外．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴，有勾股定理得：，即，解得：，∵以點B為圓心，3為半徑作⊙B，∴r＜d，∴點C在⊙B外．故選：C．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，含角的直角三角形，勾股定理，熟練掌握直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半，點與圓的位置關(guān)系的判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AB為⊙O的弦，點C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】過點O作OE⊥AB于點E，連接OA，OD，根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3，從而得到CE=1，然后設OE=x，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，即可求解．【解析】解：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，連接OA，OD，∴，∵AC＝4，BC＝2，∴BA=6，∴AE=BE=3，∴CE=1，設OE=x，∴，∵CD⊥OC，∴，∴或（舍去）．故選：C【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．平面直角坐標系內(nèi)的三個點A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___確定一個圓．（填“能”或“不能”）【答案】不能【分析】根據(jù)三個點的坐標特征得到它們共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們不能確定一個圓．【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x軸，而點A（1，-3）與C、B共線，∴點A、B、C共線，∴三個點A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能確定一個圓．故答案為：不能．【點睛】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．10．下列說法正確的是_______（填序號）．①半徑不等的圓叫做同心圓；

②優(yōu)弧一定大于劣?。?/p>

③不同的圓中不可能有相等的弦；

④直徑是同一個圓中最長的弦．【答案】④【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】解：①半徑不等的圓叫做同心圓，錯誤；②優(yōu)弧一定大于劣弧，錯誤；③不同的圓中不可能有相等的弦，錯誤；④直徑是同一個圓中最長的弦，正確．故答案為：④．【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念，難度較小11．，是半徑為3的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)直徑是圓的最長的弦，即可求解．【解析】解：∵的半徑為3，∴的直徑為6，∴的最長弦為6，∵，是上兩個不同的點，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，理解直徑是圓的最長的弦是解題的關(guān)鍵．12．如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A，B，C，其中B點坐標為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標為________．【答案】（2，0）【解析】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，所以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，0），故答案為：（2,0）．13．如圖，，在射線AC上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點，則線段的長是__________cm．【答案】6【分析】過點作于，連，根據(jù)垂徑定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到，再利用勾股定理計算出，由得到答案．【解析】解：過點作于，連，如圖則，在中，，，則，在中，，，則，則．故答案為6．【點睛】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在矩形中，，以頂點為圓心作半徑為的圓．若要求另外三個頂點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則的取值范圍是_______．【答案】1＜r＜【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進行判斷．當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．【解析】解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1，則BD=，由圖可知1＜r＜，故答案為：1＜r＜．【點睛】此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關(guān)系．15．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是_________________．【答案】【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值時，點E的位置，再利用折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理求解即可得．【解析】由題意，有以下兩個臨界位置：（1）如圖，當被折的圓弧與直徑AB相切時，折痕CD的長度最短，此時點與圓心O重合，連接OD，由折疊的性質(zhì)得：，，在中，，由垂徑定理得：；（2）當CD和直徑AB重合時，折痕CD的長度最長，此時，又要使被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點，；綜上，折痕CD的長度取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，正確找出兩個臨界位置是解題關(guān)鍵．三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等一、單選題1．下列說法中，正確的是（

）A．等弦所對的弧相等 B．等弧所對的弦相等C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等【答案】B【分析】根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系判斷，注意條件．【解析】A中，等弦所對應的弧可以相等也可以互補構(gòu)成新圓；B中，等弧所對應的弦相等，故選BC中，圓心角相等所對應的弦可能互補；D中，弦相等，圓心角可能互補；故選B【點睛】本題考查了圓心角，弧，弦之間的觀，此類試題屬于難度較大的試題，其中，弦和圓心角等一些基本知識容易混淆，從而很難把握．2．如圖，在一個圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF【答案】D【分析】在弧EF上取一點M，使，推出，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB＝FM，CD＝EM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出FM＋EM＞FE即可．【解析】如圖，在弧EF上取一點M，使，則，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，F(xiàn)M+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識點的理解和掌握，能正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．3．在中，AB，CD為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則弧AB=2弧CD；④若，則.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解答即可.【解析】①若，則，正確；②若，則，故不正確；③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正確；④若，則，錯誤.故選A.【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).4．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，點C、D是的三等分點，半徑OC、OD分別與弦AB交于點E、F，下列說法錯誤的是(

)A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DBC．EC＝FD D．∠DFB＝75°【答案】A【解析】試題分析：利用點C，D是的三等分點，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度數(shù)，利用外角求出∠BFD的度數(shù)，通過證△AOE≌△BOF，得出OE=OF，則EC＝FD.連接AC，在△ACE中，求證AE=AC，則可證CD=AE=BF，再根據(jù)CD>EF得AE、EF、FB關(guān)系.解：∵點C，D是的三等分點，∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，∴選項B正確；∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，故選項D正確.∴∠AEO=∠BFO，在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOE≌△BOF，∴OE=OF，∴EC＝FD,故選項C正確.在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，同理BF=BD，又∵AC=CD=BD，∴CD=AE=BF，∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，∴EF<CD,∴CD=AE=BF>EF，故A錯誤.故選A．5．如圖，C、D為半圓上三等分點，則下列說法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折與△COD重合．正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)“在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等”仔細找出等量關(guān)系即可．【解析】∵C、D為半圓上三等分點，∴，故①正確，∵在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正確，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等邊三角形，∴△AOD沿OD翻折與△COD重合．故④正確，∴正確的說法有：①②③④共4個，故選A．【點睛】本題考查了圓心角、弧和弦的關(guān)系，利用了在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等和平角的概念求解．6．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且點C為弧BAD的中點，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出∠BOD，再根據(jù)點C為弧BAD的中點，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【解析】∵∠AOD＝100°，∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，∵點C為弧BAD的中點∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°∵OC=OB∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°故選B．【點睛】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系．二、填空題7．120°的圓心角是360°的_______分之一，它所對的弧是相應圓周長的________分之一．【答案】

三

三【分析】根據(jù)題意可知由于圓周角為360°，則圓心角是120°的圓心角所對弧長是圓周長的120°÷360°=，所以所對的弧長是相應的圓的周長的，據(jù)此解答即可．【解析】解：120°÷360°=，它所對的弧是相應圓周長的，答：120°的圓心角是360°的三分之一，它所對的弧是相應圓周長的三分之一．故答案為：三；三．【點睛】本題考查圓的弧長和圓心角，注意掌握在同一個圓中，扇形的圓心角與360度的比等于弧長與圓的周長的比．8．如圖，已知點C是⊙O的直徑AB上的一點，過點C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．【答案】105°．【分析】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD=35°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解析】解：連接OD、OE，∵的度數(shù)為35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，∴的度數(shù)是105°．故答案為105°．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．9．已知，如圖以AB為直徑的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于點D，點E在⊙O上，若∠DEB=25°，則∠C=_______．【答案】65°【解析】試題分析：因為，所以∠DEB=∠DAB=25°，因為BC⊥AB，所以∠ABC=90°，所以∠C+∠DAB=90°，所以∠C=90°-∠DAB=90°-25°=65°．考點：1．圓周角定理及其推論、2．直角三角形的性質(zhì)．10．如圖，在平行四邊形ABCO中，∠C＝60°，點A，B在⊙O上，點D在優(yōu)弧上，DA＝DB，則∠AOD的度數(shù)為_______．【答案】150°【分析】連接OB，先由平行四邊形的性質(zhì)得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBA＝∠OAB＝60°，則∠AOB＝60°，然后證，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．【解析】解：連接OB，如圖所示：∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴∠OAB＝∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵DA＝DB，∴，∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，故答案為：150°．【點睛】此題考查了平行四邊形以及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形以及圓的有關(guān)性質(zhì)．三、解答題11．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D，AC＝BD，求證：（1）OC＝OD：（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）證明：連接OA，OB，證明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBD．在△OAC與△OBD中，∵，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴OC＝OD．（2）∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴．【點睛】此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，相等的圓心角所對的弧相等的性質(zhì)，正確引出輔助線證明△OAC≌△OBD是解題的關(guān)鍵．12．如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點A，C分別在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，點M是弧AC的中點．（1）求證：MB＝MD；（2）過O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半徑是2，求MD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系得出即可；（2）根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出ME，進而求出MB即可．【解析】證明：（1）∵AB＝CD，∴，又∵點M是弧AC的中點，∴，∴，即：，∴MB＝MD；（2）過O作OE⊥MB于E，則ME＝BE，連接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半徑OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．【點睛】本題考查圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理、勾股定理等知識，掌握垂徑定理、勾股定理是正確計算的前提．13．如圖，過的直徑上兩點，分別作弦，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）連接OC、OF，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代換得到∠BFC=∠ACF．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AMC=∠ANE．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）如圖，連接．，．．（2），．．又．．在和中，．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為弧BC的中點．（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；（2）如圖②，過點D作DE⊥AB交⊙O于點E，直徑EF交AC于點G，若G為AC的中點，⊙O的半徑為2，求AC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，由為的中點，得，則，由等腰三角形的性質(zhì)得，推出，即可得出結(jié)論；（2）由垂徑定理得，由平行線的性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，，易證是等腰直角三角形，得，再由，即可得出結(jié)果．【解析】（1）證明：為的中點，，∴，，∴，∴，；（2）解：為中點，，由（1）得：，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．已知的直徑，弦與弦交于點E．且，垂足為點F．（1）如圖1，如果，求弦的長；（2）如圖2，如果E為弦的中點，求【答案】（1）；（2）【分析】(1)連接OC，由垂徑定理、等弦得到等弧，根據(jù)同圓中弧與圓心角的關(guān)系可求出∠，通過解直角三角形求出，利用垂徑定理求出；(2)連接BC，根據(jù)AB為直徑，得到，再得到，證明，求得是的中位線，設，則根據(jù)，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．【解析】如圖，連接OC，又，即，，則；如圖2，連接，為直徑，，，，又是的中位線，設，則解得：，則【點睛】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理，還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，熟悉并靈活運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定相離直線與圓沒有公共點d>r?直線l與⊙O相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點d=r?直線l與⊙O相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線d<r?直線l與⊙O切線的性質(zhì)及判定切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2、圓和圓的位置關(guān)系圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設⊙O1、⊙O2的半徑分別為位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．d>R+r?外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．d=R+r?相交兩個圓有兩個公共點．R?r<d<R+r?內(nèi)切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部．d=R?r?內(nèi)含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．0≤d<R?r?【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．定理1：相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點。一、單選題1．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長為5，若圓上的點滿足，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內(nèi)含 D．相切或內(nèi)含【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，分類討論．【解析】解：如圖所示：當兩圓外切時，切點能滿足，當兩圓相交時，交點能滿足，當兩圓內(nèi)切時，切點能滿足，當兩圓相離時，圓上的點不能滿足，所以，兩圓相交或相切，故選：A．【點睛】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．2．（2022春·上海青浦·九年級?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長分別為6與2，圓心距為4，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系．設兩圓的半徑分別為R和r，且，圓心距為d：外離，則；外切，則；相交，則；內(nèi)切，則；內(nèi)含，則．【解析】解：∵兩圓半徑之差圓心距，∴兩個圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：B．【點睛】本題考查了由兩圓位置關(guān)系的知識點，利用了兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑的差求解．3．（2023春·上海·九年級專題練習）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點A與點B，如果⊙O的半徑為6cm，線段，線段，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進行判斷，即當圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．【解析】解：∵⊙O的半徑為10cm，線段，線段，∴點A在以O為圓心，10cm長為半徑的圓上，點B在以O圓心，6cm長為半徑的⊙O上當時，如左圖所示，由知，直線AB與⊙O相切；當AB與OB不垂直時，如右圖所示，過點O作于點D，則，所以直線AB與⊙O相交；∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系．4．（2023春·上海·九年級專題練習）在直角坐標系中，點P的坐標是(2，)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（

）A．圓P與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點B．圓P與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點C．圓P與x軸、y軸都有兩個公共點D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點【答案】B【分析】點P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．【解析】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，2=2，＜2，∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，∴該圓與x軸的交點有2個，與y軸的交點有1個．故選：B．【點睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷．若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d＞r，直線和圓相離，沒有交點；②d=r，直線和圓相切，有一個交點；③d＜r，直線和圓相交，有兩個交點．5．（2022春·上海閔行·九年級校考期中）如圖，在中，，，，點在邊BC上，，的半徑長為3，與相交，且點在外，那么的半徑長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到，由點在外，于是得到，即可得到結(jié)論．【解析】解：連接AD，∵，，，∴∵的半徑長為3，與相交，∴，∵，∴，∵點在外，∴，∴的半徑長的取值范圍是，故選：B．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，設點到圓心的距離為d，則當時，點在圓上；當時，點在圓外；當時，點在圓內(nèi)．6．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在四邊形中，，，，，（如圖）．點O是邊上一點，如果以O為圓心，為半徑的圓與邊有交點，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別畫出半徑最小和最大時的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列方程求解即可．【解析】解：如圖1，過點D作于H，則，，，在中，，當與相切時，此時與線段有一個公共點，此時半徑最小，設，則，在中，，∴，由得，，解得；如圖2，當以為半徑的過點B時，半徑最大，過點O作于F，設，則，在中，，∴，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，即的最大半徑為，所以當以O為圓心，為半徑的圓與邊有交點，那么的取值范圍為，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直角梯形以及直角三角形的邊角關(guān)系，畫出半徑最小和最大時的圖形是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谀┮阎c兩圓外切，，的半徑為3，那么的半徑為______．【答案】2【分析】由兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑的和，即可求得結(jié)果．【解析】與兩圓外切，,，故答案為：2．【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系：兩圓外切時兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，掌握這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在Rt中，，，分別以點為圓心畫圓，如果點在上，與相交，且點在外，那么的半徑長的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，根據(jù)點和圓的位置關(guān)系求出的半徑，再求出的半徑的取值范圍即可．【解析】解：在Rt中，，，由勾股定理得：，點在上，的半徑是6，設交于，則，∵與相交，∴，點在外，，的半徑小于10，即的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了點與圓以及圓與圓的位置關(guān)系，求出斜邊的長是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·上海·九年級專題練習）已知，、之間的距離是5cm，圓心O到直線的距離是2cm，如果圓O與直線、有三個公共點，那么圓O的半徑為______cm．【答案】3或7【分析】根據(jù)題意可以畫出相應的圖形，從而可以解答本題．【解析】解：設圓的半徑為rcm如圖一所示，r-5=2，得r=7cm，如圖二所示，r+2=5，得r=3cm，故答案為：3或7．【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2022春·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，在中，，，，點O在邊上，且，以點O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個公共點，那么半徑r取值范圍是______.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于點D，以O為圓心作圓，結(jié)合圖形可知：的時候，交點為4個．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于點D，以O為圓心作圓，如圖：∵，，∴，∴，即解得：，結(jié)合圖形可知：當半徑等于3的時候，交點為3個，當半徑等于5的時候，交點為A、E、F3個，當?shù)臅r候，交點為4個，∴半徑r取值范圍是．故答案為：【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形，結(jié)合圖形分析求解．11．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，直線AB，CD相交于點O，，圓P的半徑為1cm，動點P在直線AB上從點O左側(cè)且距離O點6cm處，以1cm/s的速度向右運動，當圓P與直線CD相切時，圓心P的運動時間為_____s．【答案】4或8##8或4【分析】求得當⊙P位于點O的左邊與CD相切時t的值和⊙P位于點O的右邊與CD相切時t的值即可．【解析】解：當點P在射線OA時⊙P與CD相切，如圖1，過P作PE⊥CD于E∴PE＝1cm，∵∠AOC＝30°∴OP＝2PE＝2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6﹣2）cm后與CD相切∴⊙P移動所用的時間＝＝4（秒）；當點P在射線OB時⊙P與CD相切，如圖2，過P作PE⊥CD于E∴PF＝1cm∵∠AOC＝∠DOB＝30°∴OP＝2PF＝2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了（6+2）cm后與CD相切，∴⊙P移動所用的時間＝＝8（秒）∴當⊙P的運動時間為4或8秒時，⊙P與直線CD相切．故答案為：4或8．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，含30°的直角三角形，解題的關(guān)鍵在于分點P在射線OA和點P在射線OB兩種情況進行計算．12．（2021·上海閔行·九年級期末）如圖，在中，，，，點P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4，然后找出與邊BC、AB相切的臨界點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：在中，，，，由勾股定理，則，當與邊BC相切時，則點C恰好為切點，此時；當與邊AB相切時，如圖，作PD⊥AB，∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°，∴△ABC∽△APD，∴，∴，∴，∴；∴線段PC長的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是__．【答案】或【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．【解析】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，∴，當時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，設，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．三、解答題14．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于點T，經(jīng)過點T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于點A和點B．(1)求證：O1AO2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，欲證明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合平行線截線段成比例得到，通過計算求得AT的值．【解析】（1）證明：聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，又∵⊙O1與⊙O2外切于點T，∴O1O2經(jīng)過點T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1AO2B；（2）∵O1AO2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，平行線分線段成比例，平行線的判定，掌握圓與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上海·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D，⊙O1與⊙O2相交于點A和點B，AC∥O1O2，交⊙O1于點C，⊙O1的半徑為5，⊙O2的半徑為，AB=6．求：(1)弦AC的長度；(2)四邊形ACO1O2的面積．【答案】(1)8(2)21【分析】（1）連接，過作于點D，設AB與交于點E，由圓的對稱性可得AE的長，由勾股定理可求得，從而可得AD的長，由垂徑定理即可得AC的長；（2）由勾股定理可求得，從而可得的長，則可分別求得、的面積，則可求得四邊形ACO1O2的面積．（1）解：連接，過作于點D，設AB與交于點E，如圖由圓的對稱性知：，在中，由勾股定理得：∵，AC∥O1O2∴∵∴∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形，且AD=CD∴，∴AC=2AD=8（2）解：在中，由勾股定理得：∴∴，∴四邊形ACO1O2的面積為：【點睛】本題考查了圓的對稱性，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握并正確運用是關(guān)鍵．16．（2022春·九年級單元測試）如圖，半徑為1的⊙O與過點O的⊙P相交，點A是⊙O與⊙P的一個公共點，點B是直線AP與⊙O的不同于點A的另一交點，聯(lián)結(jié)OA，OB，OP．(1)當點B在線段AP上時，①求證：∠AOB＝∠APO；②如果點B是線段AP的中點，求△AOP的面積；(2)設點C是⊙P與⊙O的不同于點A的另一公共點，聯(lián)結(jié)PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，請用含α的代數(shù)式表示β．【答案】(1)①見解析；②(2)β＝60°﹣【分析】（1）①利用圓的半徑相等可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，則∠AOB＝∠APO；②首先利用△AOB∽△APO，得，可得AP的長，作AH⊥PO于點H，設OH＝x，則PH＝﹣x，利用勾股定理列方程求出OH的長，從而得出AH，即可求得面積；（2）連接OC，AC，利用圓心角與圓周角的關(guān)系得∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，再利用SSS說明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，從而解決問題．【解析】（1）①證明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴，∴OA2＝AB?AP＝1，∵點B是線段AP的中點，∴AP＝，作AH⊥PO于點H，設OH＝x，則PH＝﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（）2﹣（）2，解得x＝，∴OH＝，由勾股定理得，AH＝＝，∴△AOP的面積為＝；（2）解：如圖，連接OC，AC，∵∠AOB＝∠APO，∴∠AOB＝β，∴∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣．【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，圓心角與圓周角的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，求出大圓半徑是解題的關(guān)鍵．五、正多邊形和圓正多邊形和圓正多邊形正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：畫圓內(nèi)接正多邊形方法：量角器（作法操作復雜，但作圖較準確）量角器+圓規(guī)（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）圓規(guī)+直尺（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）一、填空題1．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)圓的半徑為3，過圓心作于點，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形，連接，得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理，求出；得的面積，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的面積等于6個的面積，即可．【解析】如圖：連接，∴是等腰三角形∵正多邊形的中心角為：∴是等邊三角形過圓心作于點∴∵∴∴在直角三角形中，∴∴∴∴正六邊形的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正多邊形中心角的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)．2．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．【答案】12【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計算即可得到n的值．【解析】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AC，AB分別為⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．【點睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．3．（2021·上?！そy(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長為_____．【答案】【分析】連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點D，根據(jù)AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，從而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的長即可．【解析】解：連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點D，∵AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCD＝∠OBC＝30°，∵OC＝6，∴CD＝＝3，∴BC＝2CD＝6，故答案為：6．【點睛】考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是求得∠BOC的度數(shù)．4．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．【答案】【分析】求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BM、CM，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)計算即可．【解析】解：∵正六邊形ABCDEF的頂點B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN∵∠ABC+∠CBM=180°∴∠CBM=60°∵AB=4∴BC=4∴CM=BCsin∠CBM=2MB=BCcos∠CBM=2∴AM=AB+MB=6∴MN=AM=6∴CN=MN-CM=6-2故答案為：6-2．【點睛】本題考查的是正多邊形的有關(guān)計算，掌握正多邊形的性質(zhì)、內(nèi)角的計算公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.【答案】4【分析】解：如圖，連接CE，由得，由六邊形是正六邊形證明，從而得的面積為的面積的4倍即可求解．【解析】解：如圖，連接CE，，，六邊形是正六邊形，AB=AF=EF=BC，，，，，，四邊形BCEF是平行四邊形，，的面積為1，，的面積為，故答案為4．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑的長為1，如果用它的面積來近似估計的面積，那么的面積約是___．【答案】【分析】設為正十二邊形的邊，連接，過作于，由正十二邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，求出的面積，即可得出答案．【解析】解：設為正十二邊形的邊，連接，過作于，如圖所示：，的面積正十二邊形的面積，的面積正十二邊形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正十二邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握正十二邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．【答案】1【分析】此題應根據(jù)題意先找到圓心位置，再根據(jù)圓心位置求出不在圓上的頂點到該圓圓心的距離即可．【解析】根據(jù)題意作圖可分兩種情況：1如圖：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圓O上，∴BP=（垂徑定理），又，∴OP===；因為ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情況不符合題意，舍去；2，如圖，同理可得OP=，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，綜上所述，這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是1．故答案是：1．【點睛】此題是新型概念的題型，實際是求點到圓心的距離的知識點，難度偏難．8．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}