專題15一次函數的應用與綜合篇(原卷版+解析)

專題15一次函數的應用與綜合知識回顧知識回顧一次函數的圖像與性質：的取值的取值所在象限隨的變化情況大致圖像（圖像交于軸正半軸）一二三象限隨增大而增大（圖像交于軸負半軸）一三四象限（圖像交于軸正半軸）一二四象限隨減小而減?。▓D像交于軸負半軸）二三四象限一次函數與軸的交點坐標公式為：；與軸的交點坐標公式為：。一次函數的平移：①左右平移，自變量上進行加減。左加右減。即若向左移動了個單位，則平移后的函數解析式為：；若向右移動了個單位，則平移后的函數解析式為：。②上下平移，解析式整體后面進行加減。上加下減。即若向上移動了個單位，則平移后的函數解析式為：；若向下移動了個單位，則平移后的函數解析式為：。一次函數的對稱變換：①若一次函數關于軸對稱，則自變量不變，函數值變?yōu)橄喾磾?。即關于軸的函數解析式為：，即。②若一次函數關于軸對稱，則函數值不變，自變量變成相反數。即關于軸的函數解析式為：，即。③若一次函數關于原點對稱，則自變量與函數值均變成相反數。即關于原點的函數解析式為：，即。待定系數法求函數解析式：具體步驟：①設函數解析式——。②找點——經過函數圖像上的點。③帶入——將找到的點的坐標帶入函數解析式中得到方程（或方程組）。④解——解③中得到的方程（或方程組），求出的值。⑤反帶入——將求出的的值帶入函數解析式中得到函數解析式。一次函數與一元一次方程：①若一次函數的圖像經過點，則一元一次方程的解為。②若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則一元一次方程的解為。一次函數與二元一次方程組：若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則二元一次方程組的解為。一次函數與不等式：①若一次函數的圖像經過點，則不等式的解集取點上方所在圖像所對應的自變量范圍；不等式的解集取點下方所在圖像所對應的自變量范圍。②若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則不等式的解集取函數的圖像在圖像上方的部分所對應的自變量的范圍；不等式的解集取函數的圖像在圖像下方的部分所對應的自變量的范圍。這兩部分都是以兩個函數的交點為分界點存在。分段函數：在一次函數的實際應用中，最常見為分段函數。分段函數是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。關鍵點：①分段函數各段的函數解析式。②各個拐點的實際意義。③函數交點的實際意義。一次函數的綜合：（1）一次函數與幾何圖形的面積問題首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數的優(yōu)化問題通常一次函數的最值問題首先由不等式找到的取值范圍，進而利用一次函數的增減性在前面范圍內的前提下求出最值。（3）用函數圖象解決實際問題從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題。微專題微專題1．物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．x025y151925（1）求y與x的函數關系式；（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．2．如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關于y軸的對稱點為A′，經過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設為y＝kx+b．（1）求點A′的坐標；（2）確定直線A′B對應的函數表達式．3．在“看圖說故事”活動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關于x的函數表達式；（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．4．6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和時間x（h）的部分數據及函數圖象如下：x（h）…1112131415161718…y（cm）…18913710380101133202260…（1）數學活動：①根據表中數據，通過描點、連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．②觀察函數圖象，當x＝4時，y的值為多少？當y的值最大時，x的值為多少？（2）數學思考：請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．（3）數學應用：根據研究，當潮水高度超過260cm時，貨輪能夠安全進出該港口．請問當天什么時間段適合貨輪進出此港口？5．某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．6．當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關于“一次函數圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整．（1）如圖1，將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．7．為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？（2）若水果店購進這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？8．探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數性質．（1）繪制函數圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據表中的數值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象；（2）探究函數性質請寫出函數y＝﹣|x|的一條性質：；（3）運用函數圖象及性質①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．9．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．10．定義：對于一次函數y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數y1、y2的“組合函數”．（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數y＝5x+2是否為函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，并說明理由；（2）設函數y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點P．①若m+n＞1，點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數y1、y2的“組合函數”圖象經過點P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．11．某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/kg、12元/kg，這兩種蘋果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．（1）寫出圖中點B表示的實際意義；（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；（3）若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時，它們的利潤和為1500元，求a的值．12．為了振興鄉(xiāng)村經濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品、某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數關系式；（2）若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的函數關系式，并為該經銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經銷商決定對兩種產品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．13．已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數關系如圖所示．（1）m＝，n＝；（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數關系式；（3）當乙車到達A地時，求甲車距A地的路程．14．為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關于x的函數關系式；（2）兩圖象交于點A，求點A坐標；（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．15．在平面直角坐標系中，P（a，b）是第一象限內一點，給出如下定義：k1＝和k2＝兩個值中的最大值叫做點P的“傾斜系數”k．（1）求點P（6，2）的“傾斜系數”k的值；（2）①若點P（a，b）的“傾斜系數”k＝2，請寫出a和b的數量關系，并說明理由；②若點P（a，b）的“傾斜系數”k＝2，且a+b＝3，求OP的長；（3）如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：y＝x運動，P（a，b）是正方形ABCD上任意一點，且點P的“傾斜系數”k＜，請直接寫出a的取值范圍．16．在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數圖象．請解答下列問題：（1）填空：甲的速度為米/分鐘，乙的速度為米/分鐘；（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．專題15一次函數的應用與綜合知識回顧知識回顧一次函數的圖像與性質：的取值的取值所在象限隨的變化情況大致圖像（圖像交于軸正半軸）一二三象限隨增大而增大（圖像交于軸負半軸）一三四象限（圖像交于軸正半軸）一二四象限隨減小而減?。▓D像交于軸負半軸）二三四象限一次函數與軸的交點坐標公式為：；與軸的交點坐標公式為：。一次函數的平移：①左右平移，自變量上進行加減。左加右減。即若向左移動了個單位，則平移后的函數解析式為：；若向右移動了個單位，則平移后的函數解析式為：。②上下平移，解析式整體后面進行加減。上加下減。即若向上移動了個單位，則平移后的函數解析式為：；若向下移動了個單位，則平移后的函數解析式為：。一次函數的對稱變換：①若一次函數關于軸對稱，則自變量不變，函數值變?yōu)橄喾磾怠＜搓P于軸的函數解析式為：，即。②若一次函數關于軸對稱，則函數值不變，自變量變成相反數。即關于軸的函數解析式為：，即。③若一次函數關于原點對稱，則自變量與函數值均變成相反數。即關于原點的函數解析式為：，即。待定系數法求函數解析式：具體步驟：①設函數解析式——。②找點——經過函數圖像上的點。③帶入——將找到的點的坐標帶入函數解析式中得到方程（或方程組）。④解——解③中得到的方程（或方程組），求出的值。⑤反帶入——將求出的的值帶入函數解析式中得到函數解析式。一次函數與一元一次方程：①若一次函數的圖像經過點，則一元一次方程的解為。②若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則一元一次方程的解為。一次函數與二元一次方程組：若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則二元一次方程組的解為。一次函數與不等式：①若一次函數的圖像經過點，則不等式的解集取點上方所在圖像所對應的自變量范圍；不等式的解集取點下方所在圖像所對應的自變量范圍。②若一次函數的圖像與一次函數的圖像的交點坐標為，則不等式的解集取函數的圖像在圖像上方的部分所對應的自變量的范圍；不等式的解集取函數的圖像在圖像下方的部分所對應的自變量的范圍。這兩部分都是以兩個函數的交點為分界點存在。分段函數：在一次函數的實際應用中，最常見為分段函數。分段函數是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。關鍵點：①分段函數各段的函數解析式。②各個拐點的實際意義。③函數交點的實際意義。一次函數的綜合：（1）一次函數與幾何圖形的面積問題首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數的優(yōu)化問題通常一次函數的最值問題首先由不等式找到的取值范圍，進而利用一次函數的增減性在前面范圍內的前提下求出最值。（3）用函數圖象解決實際問題從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題。微專題微專題1．物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）滿足函數關系y＝kx+15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．x025y151925（1）求y與x的函數關系式；（2）當彈簧長度為20cm時，求所掛物體的質量．【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；（2）把y＝20代入y＝2x+15中，計算即可得出答案．【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，得19＝2k+15，解得：k＝2，所以y與x的函數關系式為y＝2x+15（x≥0）；（2）把y＝20代入y＝2x+15中，得20＝2x+15，解得：x＝2.5．所掛物體的質量為2.5kg．2．如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關于y軸的對稱點為A′，經過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設為y＝kx+b．（1）求點A′的坐標；（2）確定直線A′B對應的函數表達式．【分析】（1）利用直線解析式求得點A坐標，利用關于y軸的對稱點的坐標的特征解答即可；（2）利用待定系數法解答即可．【解答】解：（1）令y＝0，則x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵點A關于y軸的對稱點為A′，∴A′（2，0）．（2）設直線A′B的函數表達式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線A′B對應的函數表達式為y＝﹣x+2．3．在“看圖說故事”活動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關于x的函數表達式；（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．【分析】（1）根據圖象可以直接看到小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為：路程÷時間；（2）是分段函數，利用待定系數法可求；（3）小明離家2km時，有兩個時間，第一個時間是小明從家跑步去體育場的過程中存在離家2km，利用路程÷速度可得此時間，第二個時間利用BC段解析式可求得．【解答】解：（1）小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為＝km/min；故答案為：2.5，；（2）如圖，B（30，2.5），C（45，1.5），設BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴BC的解析式為：y＝﹣x+4.5，∴當15≤x≤45時，y關于x的函數表達式為：y＝；（3）當y＝2時，﹣x+4.5＝2，∴x＝，2＝12，∴當小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或min．4．6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和時間x（h）的部分數據及函數圖象如下：x（h）…1112131415161718…y（cm）…18913710380101133202260…（1）數學活動：①根據表中數據，通過描點、連線（光滑曲線）的方式補全該函數的圖象．②觀察函數圖象，當x＝4時，y的值為多少？當y的值最大時，x的值為多少？（2）數學思考：請結合函數圖象，寫出該函數的兩條性質或結論．（3）數學應用：根據研究，當潮水高度超過260cm時，貨輪能夠安全進出該港口．請問當天什么時間段適合貨輪進出此港口？【分析】（1）①先描點，然后畫出函數圖象；②利用數形結合思想分析求解；（2）結合函數圖象增減性及最值進行分析說明；（3）結合函數圖象確定關鍵點，從而求得取值范圍．【解答】解：（1）①如圖：②通過觀察函數圖象，當x＝4時，y＝200，當y值最大時，x＝21；（2）該函數的兩條性質如下（答案不唯一）：①當2≤x≤7時，y隨x的增大而增大；②當x＝14時，y有最小值為80；（3）由圖象，當y＝260時，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴當5＜x＜10或18＜x＜23時，y＞260，即當5＜x＜10或18＜x＜23時，貨輪進出此港口．5．某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【分析】（1）設某商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，根據條件建立二元一次方程組求出其解即可；（2）設某商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據條件的數量關系建立不等式組求出其解即可；（3）設總利潤為W元，根據總利潤＝兩種商品的利潤之和列出函數解析式，再根據函數的性質求值即可．【解答】解：（1）設該商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，由題意，得，解得，∴該商店購進A種紀念品每件需50元，購進B種紀念品每件需100元；（2）設該商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據題意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且為正整數，∴y可取得的正整數值是20，21，22，23，24，25，與y相對應的x可取得的正整數值是160，158，156，154，152，150，∴共有6種進貨方案；（3）設總利潤為W元，則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W隨y的增大而減小，∴當y＝20時，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴當購進A種紀念品160件，B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．6．當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關于“一次函數圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整．（1）如圖1，將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．【分析】（1）根據“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結論；（2）根據“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結論；（3）根據（1）（2）題得出結論即可．【解答】解：（1）∵將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，∴相當于將它向右平移了1個單位長度，故答案為：1；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，∴相當于將它向左平移了個單位長度；故答案為：左；；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向右（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向左（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式m＝n|k|．故答案為：右；左；m＝n|k|（或：當k＞0時，m＝nk，當k＜0時，m＝﹣nk）．7．為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，甲水果的進價比乙水果的進價低20%，水果店用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？（2）若水果店購進這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）設乙種水果的進價為x元，則甲種水果的進價為（1﹣20%）x元，由題意：用1000元購進甲種水果比用1200元購進乙種水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果（150﹣m）千克，利潤為w元，由題意得w＝﹣m+450，再由甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），然后由一次函數的性質即可得出結論．【解答】解：（1）設乙種水果的進價為x元，則甲種水果的進價為（1﹣20%）x元，由題意得：，解得：x＝5，經檢驗：x＝5是原方程的解，且符合題意，則5×（1﹣20%）＝4，答：甲種水果的進價為4元，則乙種水果的進價為5元；（2）設購進甲種水果m千克，則乙種水果（150﹣m）千克，利潤為w元，由題意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，則w隨m的增大而減小，∴當m＝100時，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，則150﹣m＝50，答：購進甲種水果100千克，乙種水果50千克才能獲得最大利潤，最大利潤為350元．8．探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數性質．（1）繪制函數圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據表中的數值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象；（2）探究函數性質請寫出函數y＝﹣|x|的一條性質：；（3）運用函數圖象及性質①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．【分析】（1）①把x＝2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點，連線即可；（2）觀察函數圖象，可得函數性質；（3）①由函數圖象可得答案；②觀察函數圖象即得答案．【解答】解：（1）①列表：當x＝2時，a＝﹣|2|＝1，故答案為：1；②描點，③連線如下：（2）觀察函數圖象可得：y＝﹣|x|的圖象關于y軸對稱，故答案為：y＝﹣|x|的圖象關于y軸對稱（答案不唯一）；（3）①觀察函數圖象可得：當y＝5時，x＝1或x＝﹣1，∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，故答案為：x＝1或x＝﹣1；②觀察函數圖象可得，當x≤﹣2或x≥2時，y≤1，∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，故答案為：x≤﹣2或x≥2．9．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．【分析】（1）設每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據題意列出關于x、y的二元一次方程組，求解即可；（2）設種植A種花卉的數量為m盆，則種植B種花卉的數量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費用為w元，由題意：這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，列出一元一次不等式，解得m≤200，再由題意得w＝﹣30m+24000，然后由一次函數的性質即可得出結論．【解答】解：（1）設每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據題意，得：，解得：，答：每盆A種花卉種植費用為30元，每盆B種花卉種植費用為60元；（2）設種植A種花卉的數量為m盆，則種植B種花卉的數量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費用為w元，根據題意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，解得：m≤200，w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，∵﹣30＜0，∴w隨m的增大而減小，當m＝200時，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用為18000元．10．定義：對于一次函數y1＝ax+b、y2＝cx+d，我們稱函數y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數y1、y2的“組合函數”．（1）若m＝3，n＝1，試判斷函數y＝5x+2是否為函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，并說明理由；（2）設函數y1＝x﹣p﹣2與y2＝﹣x+3p的圖象相交于點P．①若m+n＞1，點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數y1、y2的“組合函數”圖象經過點P．是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”；（2）①由得P（2p+1，p﹣1），當x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根據點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；②由函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．【解答】解：（1）函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”，理由如下：∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），∴函數y＝5x+2是函數y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“組合函數”；（2）①由得，∴P（2p+1，p﹣1），∵y1、y2的“組合函數”為y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），∴x＝2p+1時，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），∵點P在函數y1、y2的“組合函數”圖象的上方，∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，∵m+n＞1，∴1﹣m﹣n＜0，∴p﹣1＜0，∴p＜1；②存在m＝時，對于不等于1的任意實數p，都有“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0），理由如下：由①知，P（2p+1，p﹣1），∵函數y1、y2的“組合函數”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）圖象經過點P，∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，∵p≠1，∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，變形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，∴當3﹣4m＝0，即m＝時，x﹣＝0，∴x＝3，∴m＝時，“組合函數”圖象與x軸交點Q的位置不變，Q（3，0）．11．某水果店購進甲、乙兩種蘋果的進價分別為8元/kg、12元/kg，這兩種蘋果的銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．（1）寫出圖中點B表示的實際意義；（2）分別求甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；（3）若不計損耗等因素，當甲、乙兩種蘋果的銷售量均為akg時，它們的利潤和為1500元，求a的值．【分析】（1）根據圖形即可得出結論；（2）用待定那個系數法分別求出甲、乙兩種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式即可；（3）分0≤a≤30和30＜a≤120兩種情況列方程求解即可．【解答】解：（1）圖中點B表示的實際意義為當銷量為60kg時，甲、乙兩種蘋果的銷售額均為1200元；（2）設甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為y甲＝kx（k≠0），把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，解得k＝20，∴甲種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為y甲＝20x（0≤x≤120）；當0≤x≤30時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為y乙＝k′x（k′≠0），把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，解得：k′＝25，∴y乙＝25x；當30≤x≤120時，設乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為y乙＝mx+n（m≠0），則，解得：，∴y乙＝15x+300，綜上，乙種蘋果銷售額y（單位：元）與銷售量x（單位：kg）之間的函數解析式為y乙＝；（3）①當0≤a≤30時，根據題意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，解得：a＝60＞30，不合題意；②當30＜a≤120時，根據題意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，解得：a＝80，綜上，a的值為80．12．為了振興鄉(xiāng)村經濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品、某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數關系式；（2）若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的函數關系式，并為該經銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經銷商決定對兩種產品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．【分析】（1）分當0≤x≤2000時，當x＞2000時，利用待定系數法求解即可；（2）根據題意可知，分當1600≤x≤2000時，當2000＜x≤4000時，分別列出w與x的函數關系式，根據一次函數的性質可得出結論；（3）根據題意可知，降價后，w與x的關系式，并根據利潤不低于15000，可得出a的取值范圍．【解答】解：（1）當0≤x≤2000時，設y＝k′x，根據題意可得，2000k′＝30000，解得k′＝15，∴y＝15x；當x＞2000時，設y＝kx+b，根據題意可得，，解得，∴y＝13x+4000．∴y＝．（2）根據題意可知，購進甲種產品（6000﹣x）千克，∵1600≤x≤4000，當1600≤x≤2000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）?x＝﹣x+24000，∵﹣1＜0，∴當x＝1600時，w的最大值為﹣1×1600+24000＝22400（元）；當2000＜x≤4000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，∵1＞0，∴當x＝4000時，w的最大值為4000+20000＝24000（元），綜上，w＝；當購進甲產品2000千克，乙產品4000千克時，利潤最大為24000元．（3）根據題意可知，降價后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，當x＝4000時，w取得最大值，∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．∴a的最大值為0.9．13．已知A、B兩地之間有一條長440千米的高速公路．甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，沿此公路相向而行，甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇，再以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地；乙車勻速行駛至A地，兩車到達各自的目的地后停止，兩車距A地的路程y（千米）與各自的行駛時間x（時）之間的函數關系如圖所示．（1）m＝，n＝；（2）求兩車相遇后，甲車距A地的路程y與x之間的函數關系式；（3）當乙車到達A地時，求甲車距A地的路程．【分析】（1）由甲車先以100千米/時的速度勻速行駛200千米后與乙車相遇可求出m＝2，根據以另一速度繼續(xù)勻速行駛4小時到達B地知n＝6；（2）用待定系數法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用時間，即可求得甲車距A地的路程為300千米．【解答】解：（1）由題意知：m＝200÷100＝2，n＝m+4＝2+4＝6，故答案為：2，6；（2）設y＝kx+b，將（2，200），（6，440）代入得：，解得，∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；（3）乙車的速度為（440﹣200）÷2＝120（千米/小時），∴乙車到達A地所需時間為440÷120＝（小時），當x＝時，y＝60×+80＝300，∴甲車距A地的路程為300千米．14．為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關于x的函數關系式；（2）兩圖象交于點A，求點A坐標；（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．【分析】（1）根據題意和題目中的數據，可以分別寫出y甲，y乙關于x的函數關系式；（2）根據（1）中的結果和題意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相應的y的值，即可得到點A的坐標．（3）根據函數圖象和（2）中點A的坐標，可以寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．【解答】解：（1）由題意可得，y甲＝0.85x，當0≤x≤300時，y乙＝x，當x＞300時，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，則y乙＝；（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，將x＝600代入