數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊 6.62柱、錐、臺的體積 課件

6.6.2柱、錐、臺的體積課標(biāo)闡釋

1.掌握柱體、錐體、臺體的體積計算公式及其三種幾何體體積計算公式的內(nèi)在聯(lián)系.(邏輯推理)2.會利用柱體、錐體、臺體的體積計算公式求有關(guān)幾何體的體積,并掌握求幾何體體積的基本技巧.(數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點撥有一次,愛迪生把一只燈泡交給他的助手阿普頓,讓他計算一下這只燈泡的容積是多少.阿普頓是普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系高才生,又在德國深造了一年,數(shù)學(xué)素養(yǎng)相當(dāng)不錯.他拿著這只梨形的燈泡,打量了好半天,又特地找來皮尺,上下量了尺寸,畫出了各種示意圖,還列出了一道又一道的算式.一個鐘頭過去了,愛迪生著急了,跑來問他算出來了沒有.“正算到一半.”阿普頓慌忙回答,豆大的汗珠從他的額角上滾了下來.愛迪生十分詫異,走近一看,在阿普頓的面前,好幾張白紙上寫滿了密密麻麻的算式.愛迪生微笑著說:“何必這么復(fù)雜呢?”阿普頓又重新調(diào)整思路,一會兒他飛快地跑進實驗室,不到1分鐘,沒有經(jīng)過任何運算,就把燈泡的容積準(zhǔn)確地求出來了.大家能猜出阿普頓使用的巧妙方法嗎?阿普頓的這種處理方法對大家有何幫助?激趣誘思知識點撥柱體、錐體、臺體的體積公式

激趣誘思知識點撥名稱體積(V)公式備

注臺體棱臺S上,S下分別為棱臺上、下底面的面積h為棱臺的高圓臺r,r'分別為圓臺上、下底面的半徑h為圓臺的高,S上,S下分別為圓臺上、下底面的面積激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微思考1把一張長為6、寬為4的矩形紙片卷成一個圓柱形,使其對邊恰好重合,所圍圓柱的底面半徑是多少?所得圓柱體積是多少?微思考2求三棱錐的體積時有何技巧?提示因為三棱錐的任何一個面都可以作為它的底面,因此求三棱錐的體積時可以更換三棱錐的頂點和底面,尋求底面積與高易求的三棱錐.激趣誘思知識點撥微思考3臺體可以還原為錐體,那么臺體的體積可以怎樣求?提示臺體是由錐體用平行于底面的平面截得的空間幾何體,所以它的體積也可以轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.求解過程如下:如圖所示,設(shè)臺體(棱臺或圓臺)上、下底面面積分別是S',S,高是h,設(shè)截得臺體時去掉的錐體的高是x,則截得這個臺體的錐體的高是h+x,激趣誘思知識點撥微練習(xí)1若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的體積為

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激趣誘思知識點撥微練習(xí)2已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則其體積為

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探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測柱體體積的計算例1正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2,且與該側(cè)面的底邊所成的角為45°,則此三棱柱的體積為(

)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案A探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

1.求柱體的體積關(guān)鍵是求其底面面積和高,底面面積利用平面圖形面積的求法,常轉(zhuǎn)化為三角形及四邊形,高常與側(cè)棱、斜高及其在底面的正投影組成直角三角形,進而求解.2.一個幾何體在空間中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以將其中的一個側(cè)面放在水平面上,但在求其體積時,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1已知一個圓柱的底面直徑和母線長均為4,則該圓柱的體積為(

)A.2π B.4π C.8π D.16π解析V圓柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π.答案D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測錐體體積的計算例2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.截面A1DB將正方體分成兩部分,其體積分別為V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求點A到平面A1BD的距離d.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究若本例中的正方體改為長方體,則對應(yīng)截面將該幾何體分成兩部分的體積之比是否會發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論.解不妨設(shè)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面將長方體分為兩個幾何體,其中較小部分是一個三棱錐A1-ABD,底面△ABD是兩直角邊分別為a,b的直角三角形,其面積探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測臺體體積的計算例3圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°,那么該圓臺的表面積和體積分別是多少?(結(jié)果中保留π)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解如圖所示,設(shè)圓臺的上底面周長為c,因為扇環(huán)的圓心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面積=S側(cè)+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).故圓臺的表面積為1

100π

cm2.設(shè)圓臺的高為h,上底面半徑r1=10

cm,下底面半徑r2=20

cm,探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.已知圓錐的母線長為8,底面圓的周長為6π,則它的體積是(

)答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測2.如圖,在正方體中,S為平面A,B,C,D上一點,則四棱錐S-ABCD的體積占正方體體積的(

)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測3.棱臺的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則該棱臺的體積是