湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

瀏陽市2024年上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測試卷八年級數(shù)學(xué)一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）一、單選題1.下列各式是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【詳解】解：A．不最簡二次根式；B．不是最簡二次根式；C．不是最簡二次根式；D．是最簡二次根式．故選：D．2.如圖，點M（﹣3，4）到原點的距離是（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的幾何意義，及兩點間的距離公式便可解答．【詳解】解：∵點M的坐標(biāo)為（﹣3，4），∴點M離原點的距離是=5．故選：C．【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握設(shè)有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為AB=．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進(jìn)行判斷．【詳解】A、，所以A選項錯誤；B、與不能合并，所以B選項錯誤；C、，所以C選項正確；D、，所以D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．4.如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小宇同學(xué)在池塘的一側(cè)選取一點O，測得的中點分別是點D、E，且米，則A、B兩點的距離是（）A.9米 B.18米 C.36米 D.54米【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，根據(jù)D、E是、的中點，即是的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．【詳解】解：∵D、E是、的中點，即是的中位線，∴，∴（米）．故選：C．5.如圖，平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又，∴．故選：D．6.如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）A.過點D作與交于點CB.在下方作與交于點C，使C.在上截取，使，連接D.以點D為圓心，長為半徑畫弧，與交于點C，連接【答案】D【解析】【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了平行四邊形的判定．根據(jù)基本作圖和平行四邊形的判定方法對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以A選項不符合題意；B．由作法得，由得，則，所以，則四邊形是平行四邊形，所以B選項不符合題意；C．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以C選項不符合題意；D．由作法得，而，則四邊形不一定是平行四邊形，所以D選項符合題意．故選：D．7.如圖，在四邊形中，為直角，，，對角線、相交于點O，，，則四邊形的面積為（）A60 B.30 C.90 D.96【答案】A【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，先證明四邊形是矩形，再利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求得即可．證明四邊形是矩形是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵為直角，∴四邊形是矩形，∵，，∴，則，∴四邊形的面積為．故選：A．8.如圖，中，，，，線段的兩個端點、分別在邊，上滑動，且，若點、分別是、的中點，則的最小值為（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，明確、、在同一直線上時，取最小值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，，由當(dāng)、、在同一直線上時，取最小值，即可求得的最小值為2．【詳解】解：如圖，連接、，，，，，，點、分別是、的中點，，，當(dāng)、、在同一直線上時，取最小值，的最小值為：．故選：A．9.如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊上，且，下列說法不正確是（）A.若，那么四邊形是矩形B.若平分，那么四邊形是菱形C.若且，那么四邊形是菱形D.若，那么四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，解答即可，本題考查了矩形，菱形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵∴四邊形是平行四邊形，A.若，那么四邊形是矩形，正確，不符合題意；B.若平分，那么四邊形是菱形，正確，不符合題意；C.若且，那么四邊形是菱形，正確，不符合題意；D.若，不能得出四邊形是矩形，錯誤，符合題意；故選D．10.如圖，在矩形紙片中，，將其折疊，使點D與點B重合，折痕為．則的長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)可知，，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，可求，則，如圖，作于，則四邊形是矩形，，，由勾股定理得，，計算求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵矩形，∴，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，如圖，作于，則四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得，，故選：D．【點睛】本題考查了矩形與折疊，等角對等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握矩形與折疊，等角對等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.二次根式有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零，據(jù)此得到，即可求出答案．【詳解】解：∵次根式有意義，∴，解得，故答案為：．12.已知菱形的兩條對角線分別是4和6，則其面積是________．【答案】12【解析】【分析】此題考查了菱形面積的求解方法：①底乘以高，②對角線積的一半．根據(jù)菱形面積的求解方法求解即可．【詳解】∵菱形的兩條對角線分別是4和6，∴其面積是．故答案為：12．13.若x，y為實數(shù)，且，則__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的非負(fù)性以及二次根式有意義的條件，根據(jù)，得出，再分別計算，即可作答．【詳解】解：∵，且∴∴解得∴故答案為：14.古今中外的不少學(xué)者對三角形面積的計算做出了諸多思考，尤其值得一提的是古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶均提出了類似的計算辦法：若三角形三邊長分別為a、b、c，記，則三角形的面積為，因此后人將他們的發(fā)現(xiàn)合稱為海倫-秦九韶公式，請你利用海倫-秦九韶公式計算以下的面積為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的意義，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)公式代值計算即可．【詳解】解：由題意得，，∴，故答案為：．15.如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是3，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么的值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，以及完全平方式，由題意可得，，，進(jìn)而可得，再根據(jù)即可求解，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，，，由可得，，∴，∴，∴，∴，負(fù)值舍去，故答案為：．16.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則＝_____°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）.【答案】45【解析】【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD為等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案為：45．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的減法計算，二次根式乘法計算：（1）先化簡二次根式，再計算二次根式減法即可；（2）根據(jù)二次根式乘法計算法則求解即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.如圖，在中，，D為邊上一點，以為鄰邊作平行四邊形，連接．（1）求證：；（2）若點D是中點，說明四邊形是矩形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合等邊對等角，得到，利用證明即可；（2）根據(jù)三線合一，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得到四邊形為平行四邊形，，即可得證．【小問1詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴．【小問2詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，點中點，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形為矩形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識點，掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請你用所學(xué)知識解答這個問題．【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由題意得，x2+52=（x+1）2，解得：x=12，x+1=13，米，米，答：水池里水的深度是4米，蘆葦長為米【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.先化簡，再求值：，其中．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）______的解答過程是錯誤的（填“小亮”或“小芳”）；（2）錯誤的解答過程原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：______（請用符號語言表達(dá)）；（3）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）小亮（2）（或）（3）；2030【解析】【分析】此題考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）由m的值可知，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到化簡結(jié)果，再把字母的值代入計算即可．【小問1詳解】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，小亮的解答過程是錯誤的；故答案為：小亮【小問2詳解】小亮錯誤的解答過程原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)：（或），故答案為：（或）【小問3詳解】原式，，，原式．21.如圖，每個小正方形的邊長都是1，，，，均在網(wǎng)格的格點上．（1）判斷是否為直角：______．（填寫“是”或“不是”）（2）直接寫出四邊形的面積為______．（3）找到格點，并畫出四邊形（一個即可），使得其面積與四邊形面積相等．【答案】（1）不是（2）14（3）見解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理分別求出的長，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點，再利用等高模型畫出圖形即可．【小問1詳解】解：，，，，不是直角，故答案為：不是．【小問2詳解】解：四邊形的面積為，故答案為：14．【小問3詳解】解：如圖，點和四邊形即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于常考題型．22.如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作，與的延長線相交于點F，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)滿足什么條件時，四邊形是菱形？請說明理由．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)滿足條件時,四邊形是菱形，理由見解析【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.（1）由，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由為中點，得到，利用得到與全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，再由，等量代換得到，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；（2）由，為中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到由鄰邊相等的平行四邊為菱形，即可得證.【小問1詳解】證明：∵為的中點，為中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；【小問2詳解】當(dāng)滿足條件時，四邊形是菱形，理由為：由（1）可得四邊形平行四邊形；，是的中點，，∵四邊形為平行四邊形，，∴四邊形為菱形.23.如圖，矩形的對角線，交于點，延長到點，使，延長到點，使，連接，，．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，則菱形的面積為______．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形判定、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得出，由菱形的性質(zhì)得出，，、的長，然后由菱形的面積公式即可得出結(jié)果．【小問1詳解】證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；【小問2詳解】解：四邊形是矩形，，四邊形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，．故答案為：．24.如圖，四邊形是正方形，點E是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點F，求證．（提示：取的中點G，連接）【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．取中點，連接，得出，，進(jìn)而得到△BHE為等腰直角三角形即可得出的值，再利用補(bǔ)角的性質(zhì)得出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，最后根據(jù)性質(zhì)判定和全等即可得出答案．【詳解】證明：取中點，連接又為的中點，四邊形是正方形∴，∴為等腰直角三角形∴，又∵，∴，∴又交正方形外角的平分線于點F∴，在和中∴∴．25.若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”，這個四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．（1）下列四邊形一定是巧妙四邊形的是；（填序號點①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．初步應(yīng)用（2）在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝；深入研究（3）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°．求證：梯形ABCD是絕妙四邊形．（4）在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請直接寫出∠BCD的度數(shù)．【答案】（1）③④；（2）140°或80°或160°；（3）見解析；（4）∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°【解析】【分析】（1）由巧妙四邊形的定義，即可得到菱形和正方形是巧妙四邊形；（2）根據(jù)絕妙四邊形的定義可知：兩條對角線都是巧分線，分情況畫圖進(jìn)行計算可得結(jié)論；（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別證明兩條對角線分成的三角形是等腰三角形即可；（4）根據(jù)AC是四邊形ABCD的巧分線，可知：△ACD和△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形時分三種情況畫圖進(jìn)行討論可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵菱形的四條邊相等，∴連接對角線能得到兩個等腰三角形，∴菱形是巧妙四邊形；正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四邊形；故答案是：③④；（2）分三種情況，①當(dāng)AC＝AD＝AB時，如圖1，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝∠DAC＝40°，∵AC＝AD＝AB，∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝＝70°，∴∠BCD＝2∠ACD＝140°；②當(dāng)AD＝CD，AB＝BC時，如圖2，∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝80°；③在四邊形ABCD中，AC＝CD＝BC，如圖3，∴∠CAD＝∠ADC＝40°∴∠ACD＝∠AC