2024年吉林省長(zhǎng)春市某校九年級(jí)6月中考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年吉林省長(zhǎng)春市第一0八學(xué)校九年級(jí)6月中考模擬數(shù)學(xué)試題

2024.6.3

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.若。=屈，則表示實(shí)數(shù)°的點(diǎn)會(huì)落在數(shù)軸的（）

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

2.若a<6,則下列不等式一定成立的是（）

A.a—3>b—3B.a?<b?C.2—Q>2—bD.ac2<be1

3.數(shù)學(xué)無(wú)處不在，如圖是一個(gè)螺栓的示意圖，它的左視圖是（

正面

（第3題）

A.C.且

4.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（）

（第4題）

A.8B.10C.13D.15

5.如圖，含45°角的三角板4BC的直角頂點(diǎn)C在直尺的邊上，斜邊48與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)D,

E,直角邊3C與直尺的邊。尸交于點(diǎn)尸，若NBEF=80。,則NZCD的度數(shù)為（）

（第5題）

A.55°B.45°C.35°D.30°

6.如圖，為了測(cè)量河兩岸4,3兩點(diǎn)間的距離，在河的岸與垂直的方向上取一點(diǎn)C,測(cè)得ZC=200米,

ZACB=a,則Z5=（）

（第6題）

A.200?tana米B.200-sina米C.200-cosa米D.米

tana

7.如圖，已知NZ08,用直尺、圓規(guī)作NN08的角平分線，作法如下:

（第7題）

①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交。/于點(diǎn)”，交。5于點(diǎn)N；

②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于工〃乂的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NN08內(nèi)部交于點(diǎn)C.

2

③畫射線。C,0c即為所求.

以上作圖過(guò)程及結(jié)論證明中沒有體現(xiàn)的數(shù)學(xué)道理是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線B.SASC.SSSD.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

8.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)們利用自制密度計(jì)測(cè)量液體的密度.密度計(jì)懸浮在不同的液體中時(shí)，浸在液體中的

高度h（cm）是液體的密度p（g/cn?）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（p>0）.下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)液體密度/21g/cm3時(shí)，浸在液體中的高度〃220cm

B.當(dāng)液體密度2=2g/cn?時(shí)，浸在液體中的高度力=40cm

C.當(dāng)浸在液體中的高度0<//W25cm時(shí)，該液體的密度2》0.8g/cm3

D.當(dāng)液體的密度0＜「Wlg/cm3時(shí)，浸在液體中的高度〃W20cm

二、填空題（每題3分，共18分）

9.計(jì)算：（-4蘆4、0,252024=.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程--2x+〃z=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則他的取值范圍是.

11.將拋物線^=/+4%+1先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的函數(shù)

表達(dá)式為.

12.如圖，正五邊形N3CDE的邊長(zhǎng)為2,以頂點(diǎn)/為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，圖中陰影部分的面積為

13.如圖，在直角三角形N2C紙片上剪出如圖所示的正方體的展開圖，直角三角形的兩直角邊與正方體展

開圖左下角正方形的邊重合，斜邊恰好經(jīng)過(guò)兩個(gè)正方形的頂點(diǎn).已知BC=12cm,則這個(gè)展開圖中正方形

的邊長(zhǎng)是cm.

（第13題）

14.如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊上，BE=1,NZX4M=45°,點(diǎn)尸在射線上，且

AF=41,過(guò)點(diǎn)廠作AD的平行線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,CF與AD相交于點(diǎn)G,連接EC、EG、EF,下

列結(jié)論：①AEFH咨ACEB；②AECF是等腰直角三角形；③AAEG的面積為2.5；④

EG=DG+BE；其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

（第14題）

三、解答題（共78分）

15.（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：fl—-—十二，其中x=-2.

Vx+1Jx+1

16.（6分）準(zhǔn)備三張紙片，兩張紙片上各畫一個(gè)三角形，另一張紙片畫一個(gè)正方形（如圖所示）.如果將這

三張紙片放在一個(gè)盒子里攪勻.甲、乙兩人制定了這樣的游戲規(guī)則：隨機(jī)地抽取兩張紙片，可能拼成一個(gè)

菱形（取出的是兩張畫三角形的紙片），也可能拼成一個(gè)房子（取出的是一張畫三角形、一張畫正方形的紙

片）.若拼成一個(gè)菱形，則甲贏；若拼成一個(gè)房子，則乙贏.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（6分）某校三個(gè)年級(jí)為災(zāi)區(qū)捐款，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，七年級(jí)捐款數(shù)占全校三個(gè)年級(jí)捐款總數(shù)的2,八年級(jí)捐款

5

數(shù)是全校三個(gè)年級(jí)捐款數(shù)的平均數(shù)，己知九年級(jí)捐款1964元，求其他兩個(gè)年級(jí)的捐款數(shù).

18.（7分）如圖，AB=AC,AE^AF,且NE4B=NF4C,EF=BC.

ci）求證：四邊形班（方是矩形.

（2）設(shè)乙ABE的面積為E,AACE的面積為邑，矩形BCFE的面積為風(fēng)，則鳥，S2,其的等量關(guān)系

為.

19.（7分）如圖，由小正方形構(gòu)成的8義8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為

1.e。經(jīng)過(guò)N,B,C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖.（保留作圖痕跡）

（1）在圖1中，作△ABC關(guān)于點(diǎn)〃（格點(diǎn)）成中心對(duì)稱的

（2）在圖2中，將△48C繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N48C的度數(shù)，作出4'8"C〃；

（3）在圖3中，點(diǎn)N在eO上且不在網(wǎng)格線上，作弦8尸=弦的『（點(diǎn)N、P不重合）

20.（7分）為增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，某校開展了兩次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，從中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生兩次

活動(dòng)的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理、描述和分析.如圖1是將這30名學(xué)生的第一次活動(dòng)

成績(jī)作為橫坐標(biāo)，第二次活動(dòng)成績(jī)作為縱坐標(biāo)繪制而成.

（1）學(xué)生甲第一次成績(jī)是70分，則該生第二次成績(jī)是分.

（2）兩次成績(jī)均高于90分的學(xué)生有個(gè).

（3）為了解每位學(xué)生兩次活動(dòng)平均成績(jī)的情況，如圖2是這30位學(xué)生兩次活動(dòng)平均成績(jī)的頻數(shù)分布直方

圖（數(shù)據(jù)分成8組：60<x<65,65<x<70,70<x<75,75<x<80,80<x<85,

85<x<90,90<x<95,95<x<100）,在75Wx<80的成績(jī)分別是77、77、78、78、78、79、79,

則這30位學(xué)生平均成績(jī)的中位數(shù)是分.

（4）假設(shè)全校有1200名學(xué)生參加此次活動(dòng)，請(qǐng)估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù).

第：次成績(jī)/分

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

0556065707580859095100

第一次成績(jī)/分

圖1

圖2

21.（8分）某游泳池的平面圖如圖1,寬30米，深水區(qū)長(zhǎng)40米，淺水區(qū)長(zhǎng)8米.游泳池應(yīng)定期換水.圖2

是小明給游泳池放水時(shí)，游泳池的存水量0（立方米）與放水時(shí)間，（小時(shí)）的函數(shù)圖象.其中尸（2.5,1152）

表示正好放到淺水區(qū)底部時(shí)的狀態(tài).

8

深

米

淺

水

30米

區(qū)

小

O2345時(shí)

圖3

（1）觀察圖1,圖2.可知：深水區(qū)的面積是平方米，淺水區(qū)的面積是平方米，放水速度是

每小時(shí)立方米；

（2）求0關(guān)于/的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量f的取值范圍；

（3）游泳池清理干凈后，又將水放到原來(lái)的高度.若進(jìn)水速度與放水速度相同，請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫出游泳池

中的水深〃（米）關(guān)于進(jìn)水時(shí)間f（小時(shí)）的函數(shù)圖象（請(qǐng)標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)）.

22.（9分）閱讀理解：

（1）【學(xué)習(xí)心得】

小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可

以使問(wèn)題變得非常容易.我們把這個(gè)過(guò)程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型。

①類型一：“定點(diǎn)+定長(zhǎng)”：如圖1,在△NBC中，AB=AC,ZBAC=44°,。是△NBC外一點(diǎn)，且

AD=AC,求N8DC的度數(shù).

解若以點(diǎn)/（定點(diǎn)）為圓心，AB（定長(zhǎng)）為半徑作輔助圓OA,（請(qǐng)你在圖1上畫圓）則點(diǎn)C、。必在eA

上，NA4c是e4的圓心角，而N8DC是圓周角，從而可容易得到N8DC=°.

②類型二:“定角+定弦”：如圖，中，ABA.BC,AB=6,8c=4,P是△NBC內(nèi)部的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足/048=/用。，求線段CP長(zhǎng)的最小值.

解：ZABC=90°,：,ZABP+ZPBC=90°,'：ZPAB=ZPBC,：.ZBAP+ZABP=90°,

：.ZAPB=,（定角）

.?.點(diǎn)尸在以（定弦）為直徑的e。上，請(qǐng)完成后面的過(guò)程.

（2）【問(wèn)題解決】

如圖3,在矩形/BCD中，已知48=6,DC=8,點(diǎn)尸是2c邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與2,C重合），連接

AP,作點(diǎn)3關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)“，則線段MC的最小值為.

（3）【問(wèn)題拓展】

如圖4,在正方形4BCD中，40=4,動(dòng)點(diǎn)E,尸分別在邊DC,C5上移動(dòng)，且滿足D￡=CF.連接/E

和DR交于點(diǎn)P點(diǎn)￡從點(diǎn)。開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

23.（10分）已知矩形紙片/OCD中,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)E從點(diǎn)2出發(fā)，沿2C做勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)

E運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，將△48E沿/E所在直線折疊，得到△4FE.

（1）如圖1,點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到8C中點(diǎn)時(shí)，/尸落在矩形/RR內(nèi)，則tan/EZE=

（2）如圖2,點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，EF與4D交于點(diǎn)G,求證：AAFGmAEDG；

（3）點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/尸恰好落在邊上時(shí)，既與8。的交點(diǎn)為K,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出△ZEE的示意

圖.

①直接寫出線段DK的長(zhǎng).

②延伸：若點(diǎn)E到達(dá)C點(diǎn)后繼續(xù)勻速沿CD運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)點(diǎn)。停止，設(shè)點(diǎn)￡的速度為1c加/s,則點(diǎn)￡沿

8-。。運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，直接寫出△川￡尸能覆蓋點(diǎn)K的時(shí)長(zhǎng)（含邊界）.

（4）設(shè)BE=n,當(dāng)0<〃<6時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸到2c的距離d（用含"的式子表示）.

24.（12分）如圖1,拋物線^=。/+加+4與x軸交于點(diǎn)幺（―3,0）,5（2,0）,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。

是。C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(2)當(dāng)PC〃幺8時(shí)，求四邊形/2CP的面積.

(3)當(dāng)=時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(4)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作直線AD的垂線，垂足為以PN為對(duì)角線作正方形尸QMN,當(dāng)點(diǎn)。落在拋物線

j=ax2+加+4的對(duì)稱軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

數(shù)學(xué)試卷答案2024.6.3

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.D.2.C.3.B.4.C.5.C.6.A.7.B.8.C.

二、填空題（每題3分，共18分）

6兀

9.1.10.m<\.11.y=x-2.12.—.13.1.5.14.①②④

5

三、解答題（共78分）

15.（6分）3.

16.（6分）拼成菱形的可能性是,，拼成房子的可能性是不公平.

33

17.18.略.

19.

20.解：⑴75；

(2)7；

(3)79；

9

（4）—xl200=360（人），

30

答：估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生有360人.

21.解：（1）深水區(qū)的面積為：40x30=1200（m2）,淺水區(qū)的面積為：8x30=240（m2）,

2592-1152

放水速度為:=576(m%),故答案為：1200,240,576；

2.5

（2）。關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式為：0=2592-5767（04/44.5）；

2592-1152

(3)淺水區(qū)的深度為：、=1(米),

(40+8)x30

1152

深水區(qū)的深度為：——+1=1.96（米）,

1200

久

當(dāng)0W/W2時(shí)，h=——t,即〃=0.48/,

1200

當(dāng)2</44.5時(shí)，A=0.96+——（Z-2）,

1440v）

即：〃=0.4/+0.16,

所函數(shù)的圖象為：

22.解：(1)①,：4B=4C=4D,

.?.點(diǎn)2,點(diǎn)C,點(diǎn)。在以點(diǎn)/為圓心，48為半徑的圓上,

圖I

如圖1,...N8OC=LNR4c=22。，故答案為：22。；

2

②ZABC=90°,/.ZABP+NPBC=90°,

NPAB=ZPBC,：.ZBAP+NABP=90°,/.ZAPB=90°,

...點(diǎn)P在以（定弦）為直徑的e。上，

如圖2,連接OC交eO于點(diǎn)尸，此時(shí)尸C最小，

圖2

?:點(diǎn)、。是AB的中點(diǎn)，

OA=OB—2,

在Rt^BCO中，Z05C=90°,BC=4fOB=3,

OC=yjBC2+OB2=5,PC=OC-OP=5-3=2.

最小值為2,故答案為：90°；

(2)如圖3,連接/C,AM,

D

B7c

圖3

;點(diǎn)瓦點(diǎn)〃關(guān)于直線4P對(duì)稱，=

...點(diǎn)M在以點(diǎn)/為圓心，48為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)M在線段NC上時(shí)，MC有最小值，

；AB=3,BC=4,：.AC=yjAB2+BC2=10,

.?.CM的最小值為10—6=4,故答案為：4；

(3)

②如圖4,連接/C,AD交于點(diǎn)O,

D

H

F

圖4

:點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持ZAPD=90°,

：.點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以AD為直徑的圓的DPO,

907TX2

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為——=兀.

180

23.解：(1),四邊形48cD為矩形，AB=6cm,BC=8cm,：.ZB=90°,

當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到8C中點(diǎn)時(shí)，則有8￡=，8C=4cm,

2

由折疊的性質(zhì)可得，AF=AB=6cm,EF=BE=4cm,NFZ5=90°,

F/742

tanZEAF=——=-=-

AF63

-、，

故答案為：一2；

3

(2)?.,四邊形/BCD為矩形，，/臺(tái)二/0二野。，AB=CD,

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C處時(shí)，由折疊的性質(zhì)，

可得NE=N8=90。，AF=AB,：.AF=CD,

NF=ZD=90°

在AAFG和AEDG中，JAAGF=ZEGD

AF=CD

:.AAFG”AEDG(AAS)；

(3)根據(jù)題意，畫出圖形如下:

BEC

①；四邊形4SCD為矩形，AB=6cm,BC=8cm,

/./BAD=/ABC=90°,AD=BC=8cm,

BD=4AB-+AD2=V62+82=10cm,

由折疊的性質(zhì)可得，AF=AB=6cm,ZAFE=ZABC=90°,

又；NB4D=90。,

四邊形4BE尸為正方形，

：.DF=AD-AF=8-6=2cm,EF//AB,

DFDK2DK

：.——=——，即nn一=——

ADBD810

解得。K=2.5cm；

②根據(jù)題意，點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/尸恰好落在4D邊上時(shí)，EF與BD的交點(diǎn)、為K,

在點(diǎn)E在8-C-。運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，

當(dāng)點(diǎn)￡在段運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖，

此階段△ZEE不能覆蓋點(diǎn)K；

當(dāng)點(diǎn)￡在線。段運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖，

由圖形可知，此階段能覆蓋點(diǎn)K,

...四邊形48E。片為正方形，

BE0=AB=6cm,

/.CE0=BC—BE0=2cm,

...此階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2cm+lcm/s=2s；

當(dāng)點(diǎn)E在。。段運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖，

在/E經(jīng)過(guò)點(diǎn)K之前，/XZE5能覆蓋點(diǎn)K,當(dāng)NE經(jīng)過(guò)點(diǎn)K時(shí)，

:四邊形/BCD為矩形，AB//CD,:.ADEKs^BAK

DKDE2.5DE

??---=----,即an-------------,

BKAB10-2.56

解得=2cm,

CE=CD—DE=6—2=4cm,

...此階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4cm4-lcm/s=4s.

綜上所述，△ZEE能覆蓋點(diǎn)K的時(shí)長(zhǎng)為2+4=6s.

(4)如下圖，過(guò)點(diǎn)尸作切，8C,交BC于點(diǎn)、H,延長(zhǎng)交4D于點(diǎn)G,

則ZBAD=ZABC=NBHG=90°,

，四邊形4B8G為矩形，

ZAGF=90°,GH=AB=6cm,BH=AG,

：.EH=BH-BE=AG-BE=AG-n,

設(shè)FH=d,則GE=6—d,

由折疊的性質(zhì)可得，ZAFE=ZABC=90°,EF=BE=n,AF=AB=6cm,

：.ZAFG+AEFH=9Q°,

,ZNAFG+ZFAG=180°-NAGF=90°,：.NFAG=NEFH,

又?；NAGF=ZFHE=90°,Z.AAGF^/\FHE,

?生一處一但即色.士人AG

FEHEFH'nAG-n~T

…口6d\2n-nd-.12n23

整理可得4G=—=----------,解得d=--------

n636+〃

9(2-36+4=0

24.解:(1)把4(-3,0),5（2,0）代入歹=〃v2+法+4得:

4。+26+4=0

2

”422

解得：＜；，，拋物線的表達(dá)式為y=—§%+4；

b--

3

2?

(2)在y=—+4中，令x=0得歹=4,?，?C(0,4),

2222

在y=——x29——x+4中，令歹二4得4二——x92——x+4,

3333

解得％=0或%=-1,尸(一1,4),

：.CP=1,OC=4f

???/(-3,0),5(2,0),:.AB=5,

.?.1(CP+^)-<9C=|x(l+5)x4=12,

四邊形48cp的面積為12；

(3)①當(dāng)P在x軸下方時(shí)，設(shè)AP交y軸于K,如圖:

:點(diǎn)。是0c的中點(diǎn)，C(O,4),.2),

2

由/(一3,0),￡＞(0,2)得直線AD解析式為y=-x+2,

；ZABP=/BAD,：.AD//BP,

24

設(shè)直線8P解析式為y=§x+加，把5(2,0)代入得：0=1+機(jī)，

424

解得…「.?直線成解析式為"廣§

24

y=-x——

聯(lián)立《-33

:33

x-2、x——4/、

解得《或＜j=6(-4，-4);

b=°I

②當(dāng)P在x軸上方時(shí)，AP交y軸于K,如上圖，

?1,ZABP=ABAD=ZABP,K'與K關(guān)于x軸對(duì)稱,

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