2022年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十七章-勾股定理專項練習(xí)試題（含答案及詳細(xì)解析）

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十七章-勾股定理專項練習(xí)

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、等腰直角三角形的直角邊長為囪，則斜邊長為（）

A.&B,2C.4D.8

2、下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

513

A.0.3,0.4,0.5B.6,—C.夜，&,2D.9,12,15

22

3、我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖

1,圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形4?切、正方形

硒正方形/柄的面積分別為S、S、S.若正方形加G//的邊長為3,則S+W+S的值是（）

A.20B.27C.25D.49

4、如圖，以RtAABC（AC_LBC）的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為S、&、S,若S

+$+￡,=12,則S的值是（）

A.4B.5C.6D.7

5、如圖，將長方形紙片力版沿/￡折疊，使點〃恰好落在6C邊上點尸處，若47=3,AD=5,則比的

長為（）

534

A.1B.-C.-D.-

323

6、以下列各組線段為邊作三角形，不熊作出直角三角形的是（）

A.1,2,君B.6,8,10C.3,7,8D.0.3,0.4,0.5

7、如圖，一圓柱高為8cm,底面半徑為2cm,一只螞蟻欲從點力爬到點6處吃食物，需要爬行的最短

路程（n取3）是（）

A.10cmB.12cmC.14cmD.4百cm

8、下列條件：?b2=c2-a2;②NC=Z4—N5；③?ZA:ZB:ZC=3:4:5,能判定

△ABC是直角三角形的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

9、以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.8,15,17C.2,3,4D.1,3

10、如圖，在RtZUSC中,NABC=90°,48=6,BC=3,9是的中線，過點C作CPLBD干點、

P,圖中陰影部分的面積為（）

C

49

27一

18一

A.3-B.5-C.D.5

10

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺.引葭

赴岸，適與岸齊.問水深幾何？"（丈、尺是長度單位，1丈=10尺）其大意為：有一個水池，水面

是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦/昆它高出水面1尺（即6C=1尺）.如果把

這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端8恰好到達池邊的水面〃處.問水的深度是多少？則水深施

為尺.

2、△力比的三條邊長。、b、。滿足c=8,+6|=0,則一直角三角形（填“是”或

“不是”）

3、如圖，點尸是/加6的角平分線上一點，過點尸作PC〃的交如于點G過點。作口入勿于點〃

若N力如=60°,OC=2,則如=.

4、如圖所示，等腰以△/6C中，/ACB=90°,AC=BC=3,〃點為然邊上一點，￡為46邊上一動

點，將△力應(yīng)沿著龍折疊，點力的對應(yīng)點片落在△/!a'的邊上，若49=2,則線段的長度為

5、定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角B的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其

中a稱為“特征角”，若入△/%是特征三角形，N4是特征角，BC=6,則的面積等于

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、已知雙△/%中，AOBC,N4%=90°,6為4?邊的中點，魚D六EF,/DFE=90°,D是BC上一

個動點.如圖1,當(dāng)〃與C重合時，易證：Cd+DE=2DA

(1)當(dāng)〃不與G6重合時，如圖2,CD、DB、加有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證

明.

(2)當(dāng)〃在8。的延長線上時，如圖3,CD、DB、加'有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證

明.

2、如圖在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點.點4點都在格點上，按下列要求

畫圖.

圖①圖②圖，③

(1)在圖①中，4?為一邊畫“ABC,使點C在格點上，且“ABC是軸對稱圖形；

(2)在圖②中，4?為一腰畫等腰三角形，使點。在格點上；

(3)在圖③中，為底邊畫等腰三角形，使點。在格點上.

3、在△46。中，AB=AC,點〃在物的延長線上，龍〃/C交歐的延長線于點反

(1)如圖1,求證：DFDE；

(2)如圖2,作△腌的高朋連結(jié)4反若/DEA二/FEA,求證：ZAEB=45°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點5作陰，熊于點G,BG交AC干點、H,若語2,求4G的長.

4、如圖所示的一塊地，已知49=4米，米，俏90°,火比13米，叱12米，則這塊地的面積為

多少？

5、△力%和△〃的都是以點8為頂點的等腰直角三角形，ZABC=ZDB^90°,△。班?可以點8為旋轉(zhuǎn)

中心進行旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)邊劭恰好在△/6C的8。邊上時，連接AD,若陷1,A理2.求線段比1的長；

(2)如圖2,當(dāng)邊物旋轉(zhuǎn)至△［此外時，連接徽AD.CE,其中4?與以相交于點片求證：

CEVAD；

(3)如圖3,'為〃1的中點，當(dāng)邊劭旋轉(zhuǎn)至△45C內(nèi)時，連接49、CE、FD,并在的延長線上取一

點G,連結(jié)曲，使龍=密求證：4FDA=LCGF.

---------參考答案-----------

一、單選題

1、C

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出即可.

【詳解】

解：?.?一個等腰直角三角形的直角邊長為四，

???該直角三角形的斜邊長是：購q可=4.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2、D

【分析】

三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即

可.

【詳解】

解：A、不是勾股數(shù)，因為0.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，故此選項不符合題意；

B、不是勾股數(shù)，因為］3,葭13不是正整數(shù)，故此選項不符合題意；

C、不是勾股數(shù)，因為0不是正整數(shù)，故此選項不符合題意；

D、是勾股數(shù)，因為92+1展=152,故此選項符合題意；

故選D.

【點睛】

本題考查勾股數(shù)的概念，勾股數(shù)是指：①三個數(shù)均為正整數(shù)；②其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大

的數(shù)的平方.

3、B

【分析】

根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形力灰刀，四邊形EFGH,四邊形血WT是正方形，得出CF=DG

=KF,再根據(jù)S=(g〃G),S尸Gf,&=(KF-NR2,S+￡+S=3M,即可求解.

【詳解】

解：在危中，由勾股定理得：G+CT=G戶,

?..八個直角三角形全等，四邊形4灰刀，四邊形鎮(zhèn)G〃，四邊形冊《7是正方形，

/.CG=KG=FN,CQDG=KF,

.*.S=(CG^DG)2

=C6M+2CG?%

=Cd*C戶位CG。DG

=GB+2CG、DG,

S=G#,

&=(gNF)

=K^+N”2KF?NF

=K戶+K6-2DG?CG

:F4-2CG，DG,

?.?正方形廝(第的邊長為3,

G戶=9,

：.S+￡+S=#+2CG*DG+Gf^+F(?-2CG*DG^3南=27,

故選：B.

【點^青】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)等知識，根

據(jù)已知得出S+S+S=3G#=27是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】

根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和，即可得出答

案.

【詳解】

解：?.?由勾股定理得：A^+Bd=A?,

**?S+Sz-Sif

:S+S+S=12,

A25i=12,

A5=6,

故選：C.

【點睛】

題考查了勾股定理和正方形面積的應(yīng)用，注意：分別以直角三角形的邊作相同的圖形，則兩個小圖形

的面積等于大圖形的面積.

5、D

【分析】

由翻折可知：Hg4c'=5.DE=EF,設(shè).EC=x,則〃￡="=3w.在.RtAECF中,利用勾股定理構(gòu)建方

程即可解決問題.

【詳解】

解：?.?四邊形的口是矩形，

:.AD=BC=5,AB=CD=3,

，N8=N5切=90°,

由翻折可知：AD=AF=5,DE=EF,沒EC=x,則%'="=3f.

在心△力胸中，BF=4AF2-AB2=A/52-32=4.

:.CF=BC-BF=5Y=\,

在.RtAEFC中,E^=CE+C#,

：.(3-2=7+12,

故選：D.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】

先求出兩小邊的平方和，再求出最大邊的平方，看看是否相等即可.

【詳解】

解：A、,.F+22=5=（石『，

...以1,2,后為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B、V62+82=36+64=100=102,

...以6,8,10為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

C、V32+72=9+49=58#=82,

...以3,7,8為邊的三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

D、DO.32+0.4=0.09+0,16=0.25=0.52,

.?.以0.3,0.4,0.5為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】

本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：勾股定理的

逆定理是：如果一個三角形的兩邊a、6的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角

形.

7、A

【分析】

先畫出圓柱展開圖形，最短路程是AB的長，AC是底面圓周長的一半，則AC=w,8c是高8a〃，根據(jù)

勾股定理計算.

【詳解】

解：如圖所示，AC=^r=2x3=6cm,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC-=>/62+82=10cm）

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓柱的平面展開一最短路徑問題，將圓柱展開為矩形，利用勾股定理求對角線的長即為

最短路徑的長.

8、C

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?b2=c2-a2^a2+b2=c2,是直角三角形，故①符合題意；

②?.?/?+/歷NCM80°,ZOZA-ZB,

：.ZA+ZB+ZA-ZB=18Q°,即N4=90°,

.?.△4%是直角三角形，故②符合題意；

③a:6:c=-」:一,

345

k,kk

設(shè)爐釬爐".，

...△4%不是直角三角形，故③不合題意;

④：ZA:ZB:ZC=3:4:5,

X180°=75°,故不是直角三角形；故④不合題意.

綜上，符合題意的有①②，共2個，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一個角是直角，那么這個三角形是直角三

角形；②如果一個三角形的三邊a,b,c滿足@2+夕=。2,那么這個三角形是直角三角形.

9、B

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理：若三角形三邊分別為a,b,c,滿足々2+從=02,則該三角形是以c為斜邊的

直角三角形，由此依次計算驗證即可.

【詳解】

解：A、42+52=41x6,,則長為4,5,6的線段不能組成直角三角形，不合題意；

B、82+152=289=172,則長為8,15,17的線段能組成直角三角形，符合題意；

C、22+32=13^42,則長為2,3,4的線段不能組成直角三角形，不合題意；

D、/+（及『=3=32,則長為1,五,3的線段不能組成直角三角形，不合題意；

故選：B.

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理，掌握并熟練運用勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵.

10、C

【分析】

根據(jù)勾股定理求出1俏3石，由三角形中線的性質(zhì)得出8力=］石，SASCD=-SM8C=|,從而求出用的

長，再運用勾股定理求出征的長，得勿，的長，進一步可求出圖中陰影部分的面積.

【詳解】

解：在心△?!勿中，/ABC=90°,AB=6,BC=3,

JAC7ABFC?==3右

又%Bc=gA8.8C=；x6x3=9

是的中線，

/.BD='&

2

19

:.—BD?PC=—

22

PC=—

在血△必。中，PC=—,BC=3,

5

BP=■BC?-PC?=卜_（W）2=1石

.?.尸。=皿一2尸=述一遺=述

2510

/?SATW-D=-DP?PC=-x—y/sx—\[5=—

32210510

故選：c

【點睛】

本題考查了勾股定理以及中線與三角形面積的關(guān)系，求出PC=W是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

1、12

【分析】

設(shè)水池里水的深度是X尺，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】

設(shè)水池里水的深度是x尺，則DE=AC=x,BA=AD=x+\,

由題意得：AC2+CD2=AD2,

.,.X2+52=(X+1)2,

解得：x=12,

故答案為：12.

【點睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，由題意找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

2、不是

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件以及絕對值的非負(fù)性，得出〃力的值，運用勾股定理逆定理驗證即可.

【詳解】

解：???7^4+性-6|=0,

.,.a—4=0,b—6—O,

...a=4,。=6,

則42+6?=52W8?,

a2+h2力,

...△力比不是直角三角形，

故答案為：不是.

【點睛】

本題考查了二次根式有意義的條件，絕對值的非負(fù)性，勾股定理逆定理等知識點,根據(jù)題意得出。力的

值是解本題的關(guān)鍵.

3、6

【分析】

作則=由等腰三角形的性質(zhì)可得，OC=PC=2,在RtZiPCE中,利用勾股定理即可

求解.

【詳解】

解：作如下圖：

4

平分4408,PEL0B,PD1OA,

：.PD=PE,NA。尸=ZBOP=-NAOB=30°,

2

PC//OA,

：.ZDOP=NOPC=30°=4Poe,

OC=PC=2,ZPCE=4Poe+20PC=60°,

在RtAPCE中，PC=2,NPCE=60°,

/.ZCPE=30°

：.CE=-CP=\,

2

由勾股定理得，PE=>JPC2-CE2=&，

故答案為：叢.

【點

此題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含30。直角

三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)性質(zhì)進行求解.

4、百或

【分析】

分當(dāng)點A在46上時和當(dāng)點A在比上時兩種情況討論求解即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，當(dāng)點A在16上時，

由折疊的性質(zhì)可得A'￡>=A￡>=2,ZDAA^ZA,

'：ZACB=90°,AOB(=3,

：.CD=AOAD=1,N/=N比45°,

ZDAA=ZA=45°,

：.ZADC=ND4'A+NA=90°,

AC=yjAD2+CD2=6;

如圖所示，當(dāng)點4在6。上時,

由折疊的性質(zhì)可得A力=4)=2,CD^AC-A!>\,

A'C=yjAD2-CD2=y/3，

，綜上所述，4c=G或AC=6,

故答案為：6或舊.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理與折疊，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠

熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

5、9

【分析】

分N4=90°或NHW90°,分別畫圖，根據(jù)“特征三角形”的定義即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，若N4=90°,

???/△/比是特征三角形，//是特征角,

：.ZB=ZC=45°,

：.AC=AB=^BC=3^2,

:.S…2g3a=9；

如圖,若N4W90°,

a'是特征三角形，//是特征角,

/.ZA=QQ°,NB=30°,

：.AB=2AC,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

E|JAC2+62=4AC2,

：.AC=±2yf3（負(fù)值舍去），

,?SAAEC=5x2y/3x6

=66，

故答案為：9或6G.

【點^青】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)C廿+D^=2D戶；(2)5+物=2M,證明見解析

【分析】

(1)由已知得。/=2。產(chǎn)，連接5BE,證明AC"三ABEF得緇％再證明AB￡史為直角三角形,

由勾股定理可得結(jié)論；

(2)連接6EBE,證明ACDFMM所得小以’,再證明ABDE為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：⑴B+DE=2Df

證明："：DI^EF,/DFE=9C,

:.DF2+EF2=DE2

DE2=2DF2

連接CF,BE,如圖

是等腰直角三角形，尸為斜邊46的中點

/.CF=BF,CFVAB,即NCFB=90°

4FCB=NFBC=45°,Z.CFD+NDFB=90°

又NDFB+ZEFB=90。

：.ZCFD=ZEFB

在ACTO和MfE'中

CF=BF

-NCFD=NBFE

DF=EF

：.ACFD=SBFE

：.CD=BE,ZEBF=NFCB=45°

，ZDBF+NEBF=45°+45°=90°

DB2+BE2=DE2

,:CD=BE,DE2=2DF2

：.Cd+Da=2D戶；

(2)4+D波=2DP

證明：連接CKBE

'：CF=BF,D戶EF

又.：NDFC+/CF&/EF//CFaQ°

:./DFO/EFB

:.XDFCQXEFB

：.CD=BE,/DC產(chǎn)/EB內(nèi)135°

，：NEBD=4EBF—/FBD=135"—45°=90°

在Rt叢DBE中,B隊D打泥

?/笳:2DF

：.辦則=2正

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，

學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

2、（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解.

【分析】

（1）先根據(jù)以46為邊△/玄是軸對稱圖形，得出△力比為等腰三角形，18長為3,畫以4?為腰的等

腰直角三角形即可；

（2）先根據(jù)勾股定理求出力6的長，利用平移畫出點C即可；

（3）先求出以46為底等腰直角三角形腰長/信行，利用平移作出點C即可.

【詳解】

解：（1）?.?以兒?為邊。是軸對稱圖形，

.?.△4&'為等腰三角形，長為3,

畫以力6為直角邊，點6為直角頂點△/阿如圖

也可畫以46為直角邊，點/為直角頂點△力宛如圖；

（2）根據(jù)勾股定理心質(zhì)于'=M，

46為一腰畫等腰三角形，另一腰為瓶，以點/為頂角頂點根據(jù)勾股定理構(gòu)建橫1豎3,或橫3豎1；

點A向左1格再向下平移3格得G,連結(jié)AG,CB得等腰△/1比；,點4向右3格再向上平移1格得

G,連結(jié)ZC,BQ,得等腰△1弦，點4向右3格再向下平移1格得G,連結(jié)4G,BG,得等腰

△47G,

點8向右3格再向上平移1格得連結(jié)/a,Ba,得等腰點s向右3格再向下平移1格得

Q,連結(jié)4%BG,得等腰△45%點6向右1格再向上平移3格得￡,連結(jié)4%BQ,得等腰

(3)4方為底邊畫等腰三角形，等腰直角三角形腰長為如根據(jù)勾股定理A52=AC2+BC2,

即而=M，解得加=石，根據(jù)勾股定理AC=^,橫1豎2,或橫2豎1得圖形，

點/向右平移2格，再向下平移1格得點G,連結(jié)4G,BQ,得等腰三角形49G,點［向左平移1格,

再向下平移2格得點C,連結(jié)力G,BG,得等腰三角形片6c.

【點睛】

本題考查網(wǎng)格作圖，圖形平移性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，等腰直角三角形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，掌握網(wǎng)格作

圖，圖形平移性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，等腰直角三角形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3、（1）見詳解；（2）見詳解；（3）近

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和解答即可；

（3）過點。作CRUE于R,過點力作RT1CE于T,先證明△力6儂△。此再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

解答即可.

【詳解】

證明：(1)-：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

'：DE//AC,

:./ACB=/E,

：.AB=AE,

:.DFDE；

(2)令/的=%則N/^a,4FEW2a,

O是△頌的高，

:.EF工DB,

:./DF氏,

/.ZZ?=90o-ZZZfi^90°~2a,

?:/B+/DE計NA180°,

：.2NDEB+90°-2a=180°,

：.NDEB=45°+a,

:/AEB=/DEB-/DEA=45°+a-a=45°,

(3)如圖3,過點。作少于R,過點作RTLCE于T,

圖3

則/(?/，77?=/￡7廬90°,

VZAEB=45°,

N必發(fā)NR?7M5°=/CRT,

:.R0與CE=4i