4.1 指數(shù)函數(shù)-(必修第一冊(cè)) (教師版)

指數(shù)函數(shù)1指數(shù)運(yùn)算(1)n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1)(na)n=a(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，(2)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：am巧記“子內(nèi)母外”(根號(hào)內(nèi)的m作分子，根號(hào)外的n作為分母)Egx=x1②正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a?③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(3)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①as?a②as③(ab)r=2指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x3圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y=ax(a>0圖象a>10<a<1定義域R值域(0,+∞)過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x=0時(shí)，y=1．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．【題型一】指數(shù)冪的化簡與求值【典題1】求值(27【解析】原式==5=2=121【點(diǎn)撥】一般可以帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)、小數(shù)化分?jǐn)?shù)、根式化冪、整數(shù)化冪.【典題2】已知x12?【解析】由x12?x?所以x+1【點(diǎn)撥】注意x12?x?【典題3】化簡11+62【解析】11+6=3+=3+2=6.【點(diǎn)撥】化簡形如a+鞏固練習(xí)1(★)化簡3aa【答案】a?【解析】原式=a2(★★)如果45x=3，45y=5，那么【答案】1【解析】由45x=3，得則452x∴452x+y故答案為1．3(★★)已知a+1a=7，則【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0∴a故選：A．4(★★)(214)【答案】12【解析】(21=35(★★)求值7+43+7?43【答案】4【解析】7+436(★★★)已知實(shí)數(shù)x,y滿足3x+3y=【答案】1,【解析】設(shè)3x+3y又3x∴3x+y=∴t2?t2≤∴1<t≤2；由已知，27=t?t∴t=32時(shí)，27x+27y3x所以27x+2故答案為：(1,987(★★★)已知2a=3A．a(chǎn)+b=ab B．a(chǎn)+b>4C．a(chǎn)?12【答案】C【解析】∵2a∴2ab=∴2∴6∴ab=a+b，則有ab=a+b≥2ab∵a≠b，∴ab>2ab∴a+b=ab>4，∴a－1∵a2+故選：C．【題型二】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典題1】函數(shù)y=21?x的圖象大致是()A． B． C． D．【解析】方法1函數(shù)y=2(利用x=∴當(dāng)x>1時(shí)，y=2x?1是增函數(shù)，當(dāng)x≤1時(shí)，且x=1時(shí)，y=1，即圖象過(1,1)點(diǎn)；∴符合條件的圖象是A．故選：A．方法2利用函數(shù)的圖象變換去掉y軸左側(cè)圖象作關(guān)于y軸右側(cè)對(duì)稱故選：A．【典題2】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x?1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，判斷2【解析】f(x)=|2x?1|的圖象可看成fx由圖可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，則有c<0且a>0，故必有2c<1且又fc?f(a)>0，即為∴2【點(diǎn)撥】涉及指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)y=f(x)，往往需要得到其圖象，方法有：①利用要相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)變換得其圖象；②利用去掉絕對(duì)值得到分段函數(shù)得其圖象.鞏固練習(xí)1(★)二次函數(shù)y=?x2?4x(x>?2)A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】C【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)y=－x且x=－1時(shí)，y=－x2－4x=3則在坐標(biāo)系中畫出y=－x2－4x(x>－2)由圖可得，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選C．2(★★)若函數(shù)y=ax+m?1(0<a<1)的圖象和xA．[1,+∞) B．(0,1) C．(－∞,1) D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1時(shí)，0<∴m－1<a由函數(shù)y的圖象和x軸有交點(diǎn)，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1)．故選：D．3(★★)如圖所示，函數(shù)y=|2A． B． C． D．【答案】B【解析】∵y=|2x－2|=&2x?2,x≥1&2?4(★★)已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式2a=3b，下列五個(gè)關(guān)系式：①0<b<a③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b．其中可能成立的關(guān)系式有()A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．③④⑤【答案】B【解析】令f(x)=2x和g(x)=3x，由圖象可知①②⑤正確，故選B．5(★★★)若2xA．x+y≥0 B．x+y≤0 C．x?y≤0 D．x?y≥0【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x－由2x－∴x≤－y?x+y≤0，故選：B．【題型三】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較指數(shù)式的大小【典題1】設(shè)y1A．y3>y1>【解析】利用冪的運(yùn)算性質(zhì)可得，y1=40.9=再由y=2x是增函數(shù)，知故選：D．【典題2】已知a=0.72.1，b=0.7A．b<a<c B．a(chǎn)<b<c C．c<a<bD．c<b<a【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=0.7∵2.1<2.5，∴0.72.1>又∵c=2.10.7>∴c<a，∴b<a<c，故選：A．【點(diǎn)撥】比較指數(shù)式的大小，主要是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，具體方法有①把指數(shù)冪化為同底，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；②若不能化為同底，可對(duì)指數(shù)冪進(jìn)行估值，一般可以與0，1比較大??；③利用第三個(gè)數(shù)作為兩個(gè)數(shù)字大小比較的過渡.角度2求解指數(shù)型不等式和方程【典題1】方程4x+1?3×2x+2－16=0【解析】4x+1?3×令t=2則有4t2?12t?16=0所以2x=4故答案為x=2．【點(diǎn)撥】利用換元法，要注意冪的底數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)換元后t=2【典題2】解不等式：a【解析】∵令t=原不等式變形得t2即(t?a(1)當(dāng)a2<1a2，即0<a<1時(shí)，則(2)當(dāng)a2>1a2，即a>1時(shí)，則(3)當(dāng)a2=1綜上，當(dāng)a≠1時(shí)，?2<x<2；當(dāng)a=1時(shí)無解．【點(diǎn)撥】①求解指數(shù)型不等式，特別要注意底數(shù)大于1還是小于1再利用對(duì)應(yīng)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；本題還要注意a=1；②本題利用了換元法，題目不等式為含涉及含參的一元二次不等式的求解，對(duì)a2，1角度3指數(shù)型函數(shù)綜合問題【典題1】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足：①對(duì)于任意的x∈R，都有f(x+1)=1②函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)；③當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，fx=x+ex，則f(?32)【解析】由題意f(x+1)=1fx=f(x?1)，故函數(shù)f(?32)=f(12(把自變量數(shù)值向(0,1]靠攏)∵當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，fx故f(12)<f(【典題2】若eaA．a(chǎn)+b≤0 B．a(chǎn)?b≥0 C．a(chǎn)?b≤0 D．a(chǎn)+b≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a=0，b=1得1+π≥1e+1取a=1，b=0得e+1≥1+1π，滿足題意，排除故選：D．法二：構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性令f(x)=ex?∵e∴f(a)≥f(?b)，即a+b≥0．故選：D．【點(diǎn)撥】①做選擇題，利用“取特殊值排除法”是較快的一種方法，一般取數(shù)都是利于計(jì)算的；②遇到類似這樣的題目，不等式ea+πb≥e?b③判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以采取“性質(zhì)法”：增+增=增，減+減=減.【典題3】已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．當(dāng)x∈[?1,1](1)求a的值；(2)若a>1，記函數(shù)?x=gx?2mf(x)，求當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上為單調(diào)函數(shù)，f(x)的最大值與最小值之和為a+a∴a=2或12(2)∵a>1∴a=2則?x令t=2∵x∈[0,1]時(shí)，∴t∈[1,2]，?x=t當(dāng)0<m<1時(shí)，Hm當(dāng)1≤m≤2時(shí)，Hm當(dāng)m>2時(shí)，Hm綜上所述，H(m)=?m+1,(0<m<1)【點(diǎn)撥】本題第二問最后把問題轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題”中的“動(dòng)軸定區(qū)間”，對(duì)對(duì)稱軸t=m在區(qū)間[1,2]“左、中、右”進(jìn)行分類討論.【典題4】已知函數(shù)fx=9(1)若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，恒有f(x)<0成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x(3)若方程f(x)=c?3x在[0,1]上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)思路痕跡(1)恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的最大值，見到9x，3(2)該問是存在性問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的最小值.(3)該問轉(zhuǎn)化為方程t2－(3+c)t+c=0在【解析】(1)fx令3x=t，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t∈[1,3]時(shí)，gt于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9?9+c<0，解得c<0．∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是(?∞,0)；(2)若存在x0∈[0,1]，使則存在t∈[1,3]，使gt于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g32=∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是(?∞，94(3)若方程f(x)=c?3x在則方程t2?(3+c)t+c=0在因△=3+c故t2?(3+c)t+c=0在令?t則?1?3≤0，所以∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是(?∞,0]．【點(diǎn)撥】利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題；恒成立、能成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題，注意函數(shù)單調(diào)性.【典題5】已知定義在(?1,1)上的奇函數(shù)f(x)．在x∈(?1,0)時(shí)，fx=(1)試求f(x)的表達(dá)式；(2)若對(duì)于x∈(0,1)上的每一個(gè)值，不等式t·2x·f【解析】(1)∵f(x)是定義在(?1,1)上的奇函數(shù)，∴f0設(shè)x∈(0,1)，則?x∈(?1,0)，則fx故fx(2)由題意，t·2x·f化簡可得t>?(此處恒成立問題用到“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為最值問題)令gx易得gx在(0,1)∴gx故t≥0．(t可取到0)【點(diǎn)撥】①恒成立問題可轉(zhuǎn)化為最值問題，其中手段常見分離參數(shù)法、直接構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、變換主元法等；②判斷形如y=a?fx+bm?fx+n函數(shù)的單調(diào)性，可用分離常數(shù)法；比如鞏固練習(xí)1(★)設(shè)a=0.60.4,b=A．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】∵a=0.60.4，c=0.40.4b=0.40.6，c=0.40.4，由指數(shù)函數(shù)∴b<c<a．故選：B．2(★★)已知實(shí)數(shù)a，b滿足12A．b<2b?a B．b>2b?a C．a(chǎn)<b?a【答案】B【解析】由12>1由12a>2由(22)b>14，得(由2a<b，得b>2a>2，a<b∴1<a<2，2<b<4．取a=32,b=72，得b?a=b>2b?a取a=1110,b=3910得，b?a故選：B．3(★★)設(shè)a>0,b>0，下列命題中正確的是()A．若2a+2a=2b+3b，則aC．若2a?2a=2b?3b，則a>b【答案】A【解析】∵a≤b時(shí)，2∴若2a+2a=2b+3b，則a>b對(duì)于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，則必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥故選：A．4(★★)方程4x+1?3×2x+2?16=0【答案】x=2【解析】4x+1令2x=t則有4t所以2故答案為x=2．5(★★)若方程14x+12x?1【答案】(?3,0)【解析】設(shè)t=12x原方程有正數(shù)解x>0，則0<t=1即關(guān)于t的方程t2+2t+a=0在又因?yàn)閍=－t+1所以當(dāng)0<t<1時(shí)有1<t+1<2，即1<t+1即－4<－t+1即－3<－t+1即得：－3<a<0，故選：B．6(★★★)已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)在[?2,1]上的值域?yàn)閇m,4]，且函數(shù)g(x)=3m?1x在【答案】1【解析】當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax在[－2,1]上的值域?yàn)椤郺=4，m=1函數(shù)g(x)=3m?1x=當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)=ax在[－2,1]上的值域?yàn)椤郺－2=4，a=函數(shù)g(x)=3m?1x=綜上知m+a=1．故答案為：1．7(★★★)設(shè)不等式4x?m(4x+2x【答案】(?∞,1【解析】由4x－m(4即m≤4∵x∈[0,1]，∴1則(1∴11+12x+8(★★★)已知fx(1)證明f(x)是R上的增函數(shù)；(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)略，提示：定義法(2)a=1【解析】(1)證明：對(duì)任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定義域是設(shè)x1，x2∈R且∵y=3x在R∴3x∴f(x)是R上的增函數(shù)．(2)解：若存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)=0?a=1下面證明a=1時(shí)f(x)=1?2∵f(?x)=1?2∴f(x)為R上的奇函數(shù)∴存在實(shí)數(shù)a=1，使函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)．9(★★★)設(shè)函數(shù)fx=a(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4?x)<0對(duì)一切x∈R(3)若f(1)=32，gx=a2x+a?2x【答