2021年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 四邊形綜合 專項鞏固復(fù)習(xí)(四)

2021年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-【四邊形綜合】

專項鞏固復(fù)習(xí)（四）

一.選擇題

1.下列敘述錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.矩形的對角線互相平分

C.菱形的對角線相等

D.正方形的對角線互相垂直

2.如圖，矩形438中，對角線力。、8。交于點(diǎn)。，如果。8=4,/月。8=60°,那

么矩形力夕8的面積等于（）

A.8B.16C.8MD.1673

3.已知點(diǎn)。與點(diǎn)/（8,0）,B（2,8）,C（a,-a+2）是一平行四邊形的四個頂點(diǎn)，

則8長的最小值是（）

A.10B.8&C,7&D.9

4.如圖，AC.8。是四邊形力88的對角線，若E、F、G、//分別是B。、BC、AC.

力。的中點(diǎn)，順次連接區(qū)F、G、〃四點(diǎn)，得到四邊形與尸GH,則下列結(jié)論不正確的是

()

A.四邊形防'GH一定是平行四邊形

B.當(dāng)48=8時，四邊形屏'GH是菱形

C.當(dāng)月時，四邊形E尸GH是矩形

D.四邊形EAG"可能是正方形

5.如圖：正方形458邊長為1,尸是/。邊中點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線CP對稱，連

接CE,射線ED與。尸交于點(diǎn)F,則EF的值為（）

D.智

C.喑

6.如圖，已知矩形488的對角線/。、8。相交于點(diǎn)O,過。點(diǎn)作。后1/。，交力3于

E,若BC=4,△力OE的面積是5,則下列說法錯誤的是（）

B.ZBOE=ZBCEC.CE]_OBD.sin/_BOE=^

7.如圖，矩形的頂點(diǎn)/在木軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（1,2）.固定邊OA,向左“推”

矩形。48。，使點(diǎn)B落在y軸的點(diǎn)E的位置，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

（M，-1）C.(-1,2)D.(2,-1)

8.如圖，在菱形中，點(diǎn)旦夕分別在/B,CD±?KAE=CF,連接EF交BD

于點(diǎn)。，連接若"BC=25°,則NO4。的度數(shù)為（）

D

C.65°D.75°

9.如圖，在正方形4bs中，對角線4G相交于點(diǎn)。，點(diǎn)石在。。邊上，且CE=

2DE,連接交3。于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。尸1/H,連接。戶并延長，交。。于點(diǎn)尸，

過點(diǎn)。作。。1。尸分別交5不AD于點(diǎn)N、H,交A4的延長線于點(diǎn)Q,現(xiàn)給出下列

結(jié)論：①N4TO=45°;②OG=DG?,③D/=NH9H;④sin//QO=匹；其中正

5

確的結(jié)論有()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

二.填空題

10.如圖，螞蟻點(diǎn)”出發(fā)，沿直線行走4米后左轉(zhuǎn)36°,再沿直線行走4米，又左轉(zhuǎn)

36°,……；照此走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)"，一共行走的路程是.

11.已知平面直角坐標(biāo)系上有三個點(diǎn)，點(diǎn)/(2,0),B(5,2),C(3,4),以點(diǎn)力,

點(diǎn)B,點(diǎn)。為頂點(diǎn)畫平行四邊形，則第四個頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為一.

12.在平行四邊形中，NC=/B+N。，則/力=度.

13.如圖，在Rta/BC中，ZC=90°,BC=4,AB=8,點(diǎn)。是B。上一個動點(diǎn)，以

A。、DB為鄰邊的所有平行四邊形ADBE中，對角線。后的最小值是.

14.如圖，四邊形ADUBC,ABLBC,AD=\,AB=2,BC=3,P為AB邊

上的一動點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD、則對角線PQ的長的最小值

是?

15.如圖，在矩形中，對角線與BZ?相交于點(diǎn)。，尸為。力上一點(diǎn)，連接班

三.解答

16.如圖，在正方形458中，點(diǎn)尸為力。延長線上一點(diǎn)，連接CP,尸為月3邊上

一點(diǎn)，滿足。尸1CP,過點(diǎn)3作BM1。式，分別交/。、C尸于點(diǎn)題N.

(1)若月。=%尸，力。=3點(diǎn),求△月。尸的面積；

0

(2)若BC=MC,證明：CP=BM+2FN.

17.將正方形/BCD的邊繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)至/m,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接88',

過點(diǎn)。作。E垂直于直線63',垂足為點(diǎn)E,連接，CE.

(1)如圖1,當(dāng)a=60°時，4DEB'的形狀為______,連接BD,可求出里一的

CE

值為;

(2)當(dāng)0°<a<360°且a#=90°時，

①(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成

立，請說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn),E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出華京的值.

18.(1)如圖1,銳角中，分別以力A力。為邊向外作等邊△力夕E和等邊

連接加，CE,試猜想8。與的大小關(guān)系，并說明理由.

【深入探究】

(2)如圖2,△月3。中，/月BC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分別以45、AC為

邊向外作正方形月B7VE和正方形力。昭?，連接BZ?,求BZ?的長.

(3)如圖3,在(2)的條件下，以力。為直角邊在線段/。的左側(cè)作等腰直角

求的長.

19.勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個定理.早在2000多年以前，人們就開始對它進(jìn)

行研究，至今已有幾百種證明方法.在歐幾里得編的《原本〉〉中證明勾股定理的方法如

下，請同學(xué)們仔細(xì)閱讀并解答相關(guān)問題：

如圖，分別以Rta/B。的三邊為邊長，向外作正方形ZBDE、BCFG、ACHI.

(1)連接跳CE,求證：XABIQXAEC、

(2)過點(diǎn)B作/。的垂線，交“。于點(diǎn)/，交出于點(diǎn)N.

①試說明四邊形力M7V7與正方形ABDE的面積相等；

②請直接寫出圖中與正方形BCFG的面積相等的四邊形.

(3)由第(2)題可得：

正方形ABDE的面積+正方形BCFG的面積=的面積，即在中，

20.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)/(6,0),點(diǎn)8

(0,8).以點(diǎn)力為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形力03G得到矩形力。后尸，點(diǎn)。，B,。的

對應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,F,記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°).

(I)如圖①，當(dāng)a=30°時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(D)如圖②，當(dāng)點(diǎn)后落在/。的延長線上時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(DI)當(dāng)點(diǎn)。落在線段。C上時，求點(diǎn)反的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

圖①圖②

參考答案

一.選擇題

1.解：4平行四邊形的對角線互相平分，這是平行四邊形的性質(zhì)，此選項正確；

B.矩形的對角線互相平分且相等，此選項正確；

C.菱形的對角線互相垂直平分，不一定相等，此選項錯誤；

D.正方形的對角線互相垂直平分且相等，此選項正確；

故選：C

2.解：?.?四邊形力88是矩形

；.NBAD=90。,AO=CO=^AC,BO=DO=^BD,AC=BD=2OB=8,

OA=BO9

AAOB=60°,

.??△406是等邊三角形，

:?AB=OB=4,

AD=VBD2-AB2=VS2-42=4收,

矩形ABCD的面積AD=4X4?=16?;

故選：D.

3.解：有兩種情況:

y

如圖1,8是平行四邊形的一條邊,

A(8,0),B(2,8),

由勾股定理得，

X52=82+(8-2)2

=100,

那么有40=8=10;

如圖2,8是平行四邊形的一條對角線，

過C作CAUAO于〃，過。作。于居交工。于0,過B作尸于2V,

則N4ND=NZ7月4=/CM4=NQ日4=90°,

NC4陰/尸Q力=90°,2BDN+乙DBN=90°,

?.?四邊形ACBD是平行四邊形，

：.BD=AC,/_BCD=/.ADB,BD\\AC,

ZBDF=ZFQA,

ZDBN=ZCAM,

?.?在△A3/V和△C4”中，

rZBND=ZAMC

<ZDBN=ZCAM,

BD=AC

A^TV^ACAM(AAS),

：.DN=CM=a-2,BN=AM=8-a,

D(10—5,a+6),

由勾股定理得：3=(10-a-a)2+(a+6+a-2)^Sa2-24a+l16=8(a--1)

2+98,

當(dāng)4=/寸，8有最小值，是屈=7祀，

??,V98<10,

??.。。的最小值是772.

故選：C.

4.解：?.阿、戶分別是6。、BC的中點(diǎn)，

：.EFIICD,EF*CD,

???H、G分別是4。的中點(diǎn)，

HGIICD,HG=*D,

：.HGIIEF,HG=EF,

四邊形EFGH是平行四邊形，力說法正確，不符合題意；

■■F.G分別是BG的中點(diǎn)，

：.FG=^AB,

■：AB=CD,

：.FG=EF,

.?.當(dāng)44=8時，四邊形跳'GH是菱形，3說法正確，不符合題意；

當(dāng)時，￡77與后尸不一定垂直，

四邊形后尸GH不一定是矩形，。說法錯誤，符合題意；

當(dāng)43=8,力時，四邊形E尸GH是正方形，說法正確，不符合題意；

故選：C.

5.解：如圖，連接EE交CF于H,交8于“連接班;

???正方形4G8邊長為1,尸是？1。邊中點(diǎn)，

：.BC=CD=1,PD=/,/_PDC=/_BCD=9G°,

???點(diǎn)3與點(diǎn)E關(guān)于直線。尸對稱，

???。尸垂直平分BE,

:,BC=CE,BF=EF,CF\_BE.BH=EH,

又，：CF=CF,

:.△CFB^XCFE〈SSS),

/.ZFBC=ZFEC,ZBFC=ZEFC,

??,CD=CE,

ZCED=ZCDE,

??.ZCDE=ZFBC,

「?點(diǎn)C,點(diǎn)，點(diǎn)與，點(diǎn)B四點(diǎn)共圓，

：.ABFD+/_BCD=\SO0,

：,"FD=9。。,

；.ZBFC=ZEFC=45°,

??,CP1BE,

.\ACBH+^HCB=90°,

又?：/_BCH+/_DCP=90°,

???ZHBC=ZDCP,

又?:BC=CD,^ADC=BCD=90°,

:?XBCN9XCDP〈AAS),

：.CN=PD=—,

2

?'?3N=正2/2=

BH_BC

cos/A?C=BC"BN

:.EH=BH=^^

5

■：CF]_BE,/CFE=45°,

EF=品HE=2"^.,

故選：D.

6.解：4過。作OFLAD^F,作0G14B于G,

??.四邊形是矩形，

：.AC=BD,OA=^AC,OD*BD,

OA=OD,

AF=FD=—AD=—BC=2,

22

???ZAGO=ZBAD=ZAFO=90°,

.??四邊形力GOP是矩形,

：.OG=AF=2,

S&AEO=￡AE?OG=5,

“■吟=5,

所以此選項的說法正確;

B、'：OE\_AC,

.?./石。C=90°

?."ABC=90°,

：.^ABC+Z.EOC=180°,

???區(qū)B、a。四點(diǎn)共圓，

??.ZBCE=ZBOE,

所以此選項的說法正確;

。、\'AO=OC,AClOE,

.\AE=CE=5,

在Rt^BEC中，由勾股定理得：&=而二”=3,

「.45=3+5=8,

???，C=7AB2+BC2=V82+42=4代,

:.AO=^AC=2yfs>

22=

EO=VAE-AOd52-（2泥）2=代,

OE*BE,

,:E、B、a。四點(diǎn)共圓，

???NEOC=90°,

，￡。是直徑，

:.EC與。夕不垂直；

此選項的說法不正確；

BF2

D、sinZsinZBCE=—=—

EC5

所以此選項的說法正確，

因為本題選擇說法錯誤的，

7.解：?.?四邊形O4BC是矩形，點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1,2）,

0/1=1,AB=2,

由題意得：AB=AB=2,四邊形。43。是平行四邊形，

■-OB=J?2_0慶2=如2_]2=M，SC=OA=1,

.??點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,A/3）；

故選：A.

8.解：如圖，連接EC,OC,AF.

在菱形A58中，/.EBC=LADF,乙ADB=LDBC=25°,AB=CD,BC=DA.

■：AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,即BE=DF.

在△E'BC與△血4中，

'BE=DF

<ZEBC=ZFDA.

,BC=DA

：4EBUXFDA(SAS)

：.EC=AF.

又AE=CF,

四邊形力反B是平行四邊形，

反尸與/C平分，

在菱形468中，AOVBD,

：.ZOAD=900-Z.ADB=90°-25°=65°.

9.解：???四邊形力是正方形，

：.AO=DO=CO=BO,AC1BD,

?：AAOD=ANOF=90°,

ZAON=ZDOF,

■：Z.OAEH-AADO=9QQ=/OAF+ZDAF+ZADO,

■：DF]_AE,

：.ZDAF+ZADF=90°=ZDAF+ZADCh-/QDF,

：./OAF=ZODF,

：.4AN8XDFO(ASA),

ON=OF,

??.NZFO=45°,故①正確；

如圖，過點(diǎn)。作月石于K,

,:CE=2DE,

,\AD=3DE,

...+tan/_/D7-)/A1rEr—-DE_=DF=—],

ADAF3

??.AF=3DF,

,：AANgXDFO,

:,AN=DF,

:.NF=2DF,

?：ON=OF,Z.NOF=90°,

??.OK=KN=KF=—FN,

2

:.DF=OK,

又?：￡OGK="GF,￡OKG=ZDFG=9U。,

：.i\OKG^l\DFG(AAS),

:,GO=DG,故②正確；

③,OA=OD,/_AOH=/_DOP,

.\^AOH^^DOP(ASA),

:.AH=DP,

,:乙ANH=7.FNO=4S=2HAO,/_AHN=/_AHO,

：.4AHNS?OHA,

,AH_HN

'"HO'AH，

：,A"=H6HN,

:,D?=NH?OH,故③正確；

???N7V/4GN4CW=N4VQ=45°,ZAQCH-/_AON=ZBAO=45°,

：,/_NAO=/_AQO,

-/OG=GD,

.\AO=2OG9

A：=22=::

-'-GVAOOG標(biāo)。G，

：.sin/_NAO=sinZAQO=—=故④正確，

AG5

故選：D.

二.填空題（共6小題）

10.解：?.?每次小明都是沿直線前進(jìn)4米后向左轉(zhuǎn)36°,

...它走過的圖形是正多邊形，

邊數(shù)z?=360°+36°=10,

，它第一次回到出發(fā)點(diǎn)/時，一共走了4X10=40米.

故答案為：40米.

11.解：以/C為對角線，將向上平移2個單位，再向左平移2個單位，力點(diǎn)對應(yīng)的

位置為（0,2）就是第四個頂點(diǎn)。；

以45為對角線，將向下平移4個單位，再向左平移1個單位，B點(diǎn)對應(yīng)的位置為

（4,-2）就是第四個頂點(diǎn)?！?/p>

以為對角線，將44向上平移4個單位，再向右平移1個單位，夕點(diǎn)對應(yīng)的位置為

（6,6）就是第四個頂點(diǎn)〃’；

，第四個頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（0,2）或（6,6）或（4,-2）,

故答案為：（0,2）或（6,6）或（4,-2）.

12.解：?.?四邊形548是平行四邊形，

：.ADIIBC,乙B=(D,N/=/C,

.?./ZC+ZZ?=180°,

.?.//=/。=120°,

故答案為：120.

?.?在RtZ\A5C中，ZC=90°,

：.BC\_AC.

?.?四邊形力88是平行四邊形，

OD=OE,OA=OB.

.?.當(dāng)取得最小值時，對角線最小，此時3G

：.ODHAC.

又?.?點(diǎn)。是/g的中點(diǎn)，

是△/BC的中位線，

OD=—AC.

2

在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=4,AB=8,

22=

，由勾股定理得：AC=VAB-BCV82-42=4\/3-

:.DE=2OD=AM.

故答案為：4愿.

14.解：過點(diǎn)。作0H1B。，交的延長線于點(diǎn)如圖:

D

O

P\/：

BC""H"

-.'ADIIBC,

：./_ADC=ZDCH,即ZADP^ZPDC=ZDCQ+ZQCH,

■：PDHCQ,

：.ZPDC=ZDCQ,

：./_ADP=LQCH,

又*:PD=CQ,2A=￡CHQ=90°,

:AAD蜂XHCQ(AAS),

：.AD=HC,

-：AD=1,BC=3,

：.BH=4,

當(dāng)尸時，PQ的長最小，即為4.

故答案為：4.

15.解：?.?四邊形538是矩形，

:.AB=CD=6,/可。=90°,OB=OD,

10

.AB_6_

一麗而

^=VBD2-AB2=7(6^)2-62=18,

?；E為BF中效,

.'.AE=BE=EF,

?.?△/W的周長為18,

：.AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18,

設(shè)4F=a,貝ij3尸=18-a,

在RtZiAB尸中，AB2+AF2=BJ^,

：.62+SP=(18-a)2,

解得：a=8,

戶=18-8=10.

YE為BF中氤,。為3。的中點(diǎn),

：.OE\\DF,OE=^DF,

：.XBOESXBDF,

.S/kBOEJ

2ABDF4

S&BDF=基力力口得X6X10=30,

5

?1,學(xué)

ABO^=JSABDF=x30=

故答案為：冬

三.解答題（共5小題）

16.解：（1）1.四邊形力是正方形，AC=%P,力。=3&,

6

AP=y-AC=^-X3-x/2=>AD=CD=3,

1

：.S^ACP=—AP-CZ?=—X?見葭3=27返.

△A。。2277

???△/CP的面積為包返；

7

（2）證明：如圖，在。尸上截取NG=RV,連接BG,

???四邊形力8。。是正方形，

：.AB=CB=CD,ZCBF=ZCDP=ZBCD=ZBCF+ZFCZ?=90°.

又?：CF上CP,

：.NDCRNFCD=9G°.

：.ZBCF=ZDCP,

:,XBCF^XDCP〈ASA).

??.CF=CP.

,：BC=MC,BMICF,

AZBCF=ZACF=^A^01=22.5°,

/.ZC^B=67.5°.

-BMLCF,NG=FN,

:?BF=BG,

???ZFBG=45°,/_FBN=22.3。.

??.NCBG=45。.

??,在aBCG和△ABM中，ZBCG=￡ABM,BC=AB,/_CBG=/_BAM,

：,/\BCG^/^ABM(ASA).

：.EM=CG,

??.CP-BM=CF-CG=FG=2FN,

:?CP=BM+2FN.

17.解：⑴如圖1,

______D

B

圖1

.??44繞點(diǎn)月逆時針旋轉(zhuǎn)至月6',

：.AB=AB,NBAB=60°,

△力B笈是等邊三角形，

：.ABBA=60°,

:DAB=乙BAD-乙BAB=9G°-60°=30°,

?：AB=AB=AD,

:，乙ABD=LADB,

：.￡ABD=^-30°=75°,

???NZ?3E=180°-60°-75°=45°,

-DEY.BE,

.\Z.BDE=90°-45°=45°,

??.△OHE是等腰直角三角形.

???四邊形力58是正方形，

??.NBZ?C=45°,

?''DC^

同理需次

.BD_ByD

"DC=DE*

:/BDB+ZBDC=45°,￡EDC+￡BDC=45°,

:.乙BDB=Z.EDC,

：.△BDBsXCDE,

.BB、BD一二

CE=DC

故答案為：等腰直角三角形，空丁力手

Ct

(2)①兩結(jié)論仍然成立.

AB=AB,ZBAB=a,

；.NABB=9。。--y,

■：ABAD=a-90Q,AD=AB,

.?./430=135°--y-,

；.￡EBD=￡ABD-LABB=\35°--^--(900--1-)=45°,

,:DE工BB,

:ZEDB="BD=45°,

△。庭l是等腰直角三角形,

,DBy

，-DE如，

???四邊形力88是正方形,

嚕心/皿=45。,

,BD_DBy

"CD=DE1

■：/_EDB=/_BDC,

???zEDB+2EDB=zBDC+ZEDB,

即/￡O3=NEZ;G

/.MBDBsXEDC,

Z

.BB_BD_r

CE'CD^2,

②梟=3或1.

如圖3,若。。為平行四邊形的對角線，

點(diǎn)B在以月為圓心，為半徑的圓上，取8的中點(diǎn).連接BO交。工于點(diǎn)4,

過點(diǎn)。作DELBB交核的延長線于點(diǎn)E,

由（1）可知△em是等腰直角三角形，

BD=\E,

由（2）①可知4EDBs4CDE,且B3=&CE.

???言又普^=胃］=篝+】=等沖=&'揚(yáng)I.

若C。為平行四邊形的一邊，如圖4,

圖4

點(diǎn)E與點(diǎn)力重合，

?BE7

"BzE-'

綜合以上可得小7=3或1.

Dt

18.解：(1)BD=CE,

理由是：???△ZBE和△力8是等邊三角形，

：.AE=AB,AC=AD,/BAE=￡CAD=60°,

：./_BAE+/_BAC=/_CAD^/_BAC,即/瓦4C=/A4。,

在△區(qū)4c和△以"中，

<AE=AB

?ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

：.^EAC^^BAD(S4S)

BD=CE;

(2)如圖2,連接反8、EC,

???四邊形力。MZ?和四邊形/EVE是正方形，

：.AE=AB,AD=AC,2EAB=乙DAC=9G°

：./_BAE+/_BAC=/_CAI>/.BAC,即/及4C=/8>W,

在△及4C和△84。中，

，AE=AB

<ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

:.AEA8ABAD,

BD=CE,

,?"EA4=N43C=45°

.?./EBC=90°

\'AE=AB=59/孫B=90°,

：.BE=5近,

'：BC=3

22=

?'-EC=VEB+BC7（5V2）2+32=標(biāo)，

BD=EC=59；

（3）如圖3,在線段力。的右側(cè)過點(diǎn)/作力EL45于點(diǎn)4交的延長線于點(diǎn)E,

連接39

■：AE]_AB,

：.^BAE=90a,

又?.?/43。=45°,

：.AE=AABC=45°,

.'.AE=AB=5,BE=5-\/2>

又?.?/A4E=/R4C=9O°,

ZBAE-ZBAC=ZDAC-ZBAC,即/區(qū)4。=/可。，

在△歷IC和△84。中，

rAE=AB

-ZEAC=ZBAD,

,AC=AD

:.XEA8XBAD、

BD=CE,

,?BC=3,

BD=CE=（5，^-3）cm.

D

19.(1)證明：?四邊形/BOE、四邊形力。印是正方形，

：.AB=AE,AC=A1,4BAE=乙CAI=9G°,

ZEAC=Z