2021春北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教案：第一章 直角三角形的邊角關(guān)系

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)

第1課時正切

,’1啊要永

【知識與技能】

讓學(xué)生理解并掌握正切的含義，并能夠舉例說明；會在直角三角

形中說出某個銳角的正切值；了解銳角的正切值隨銳角的增大而增

大.

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、思考、求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理性思維的習(xí)慣，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決

實際問題的能力.

【情感態(tài)度】

能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交

流，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

【教學(xué)重點】

1.從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.

2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)

系.

【教學(xué)難點】

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

;‘教學(xué)亙士

一、情景導(dǎo)入，初步認知

你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法?

【教學(xué)說明】通過實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認知盲點，激

發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的欲望。.

二、思考探究，獲取新知

(1)RtZkABC和Rt^AB2c2有什么關(guān)系？

BG

(2)AC1有什么關(guān)系

(3)如果改變Bz的位置(如B3c3)呢?

(4)由此你得出什么結(jié)論？

【教學(xué)說明】通過相似溝通了直角三角形中的邊、角關(guān)系，從而變

換角度繼續(xù)探討，符合學(xué)生的認知規(guī)律此時學(xué)生的思維豁然開朗，同

時培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性.此環(huán)節(jié)的設(shè)計正是數(shù)學(xué)思維的開闊性,

多角度、多方位性的展現(xiàn)師生的共同努力，淋漓盡致地演繹了數(shù)學(xué)體

現(xiàn)在思維藝術(shù)上的美，從而解決了本節(jié)課的第一個難點.

【歸納結(jié)論】在RtZ\ABC中，如果銳角A確定，那么NA的對邊與鄰

邊的比便隨之確定.這個比叫做NA的正切.記作：tanA=蕓虢

當(dāng)銳角A變化時，tanA也隨之變化。

⑸梯子的傾斜度與tanA有關(guān)系嗎?

【教學(xué)說明】借助幾何畫板，從運動的角度來實施動態(tài)化、形象化、

直觀化教學(xué).

【歸納結(jié)論】在這些直角三角形中，當(dāng)銳角A的大小確定后，無論直

角三角形的大小怎樣變化，ZA的對邊與NA的鄰邊的比值總是唯一

確定的.所以，傾斜角的對邊與鄰邊的比可以用來描述坡面的傾斜程

度.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P3上第1題.

2.如圖，在RtAABC中，ZC=90。，AC=12,C=5,求tanA和

tanB.

解:

AC12

tanDB=——AC=——12

BC5

3.若某人沿坡度i=3:4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的

位置升高一米.

解析：坡度i=3:4,也就是說tanB=.=3,.?.設(shè)AC=3X,BC=4X.

BC4

根據(jù)勾股定理可求出x=2m,.?.AC=6m

答案：6

4.若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值。

解：在三角形中，根據(jù)大邊對大角，可知7所對的角最小.又由

勾股定理，可知該三角形為直角三角形。

最小角的正切值=工

24

【教學(xué)說明】鞏固正切的概念，進一步落實課標要求.習(xí)題1、2是對

基礎(chǔ)知識的訓(xùn)練.習(xí)題3、4在對基礎(chǔ)知識鞏固的同時，發(fā)展了學(xué)生

的思維能力，使思維進一步縝密，認識進一步深化.

四、師生互動、課堂小結(jié)

師生一起小結(jié)在研究怎樣描述坡面的傾斜程度的過程中.我們首

先從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建直角三角形.這里體現(xiàn)出從實

際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的建模思想.這樣一來問題就轉(zhuǎn)化為對直角

三角形的邊、角這些基本元素的探討上.經(jīng)過大家的探討，單一元素

中：可以用銳角來描述坡面的傾斜程度，而只用一條邊卻不可以.

大家主動變換思考問題的角度去探究，從而得到可以用傾斜角的對邊

與鄰邊的比來描述坡面的傾斜程度.同時還找到了傾斜角和傾斜角的

對邊與鄰邊的比之間的關(guān)系.

.'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.1“中第1、2、4題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本課的學(xué)習(xí)，以實際問題為背景并從學(xué)生已有的直角三角形和相

似三角形的有關(guān)知識出發(fā)，引入正切函數(shù)概念.學(xué)生在知識的形成中,

進一步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.通過實際問題的思考、探索，

提高解決實際問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.為后面的學(xué)習(xí)打下基

礎(chǔ)，作好鋪墊.

第2課時正弦、余弦

謂標要汞

【知識與技能】

1.使學(xué)生理解銳角正弦、余弦的定義。

2.會求直角三角形中銳角的正弦、余弦值。

【過程與方法】

通過探索正弦、余弦定義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括

等邏輯思維能力.

【情感態(tài)度】

通過探索、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的

學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【教學(xué)重點】

理解銳角正弦、余弦的定義；會求直角三角形中銳角的正弦、余

弦值.

【教學(xué)難點】

求直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

管教與國程

一、情景導(dǎo)入，初步認知

操場里有一根旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度.（演示學(xué)校操

場上的國旗圖片）

小明站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平

線的夾角為34。，并且已知眼睛距離地面的高度為1米.然后他很快就

算出旗桿的高度了.你想知道小明是怎樣算出的嗎?

【教學(xué)說明】通過實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認知盲點,

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的欲望.

二、思考探究，獲取新知

1.想一想：如圖

(1)直角三角形ABiCi和直角三角形AB2c2有什么關(guān)系？

⑵任L和2有什么關(guān)系？型L和呢？

BA〕B2AB.A

⑶如果改變B2在梯子ABi上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論？

(4)如果改變梯子AB.的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)

論？

請討論后回答.

【教學(xué)說明】通過學(xué)生的觀察、探索，加上教師的引導(dǎo)，使學(xué)生

探究一步一步走向深入，并從中體會到探究的樂趣、知識的魅力，應(yīng)

用價值，開拓學(xué)生視野，鍛煉學(xué)生思維，提高學(xué)生能力.

【歸納結(jié)論】在Rt^ABC中，如果銳角A確定，那么NA的對

邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.

NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦(sine),記作sinA,即:

NA的對邊

sinA=

斜邊

ZA的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦(cosine),記作cosA,即:

NA的鄰邊

cosA=

斜邊

銳角A的正切、正弦、余弦都是NA的三角函數(shù)，當(dāng)NA變化

時，相應(yīng)的的正切、正弦、余弦值也隨之變化.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生借助正切的概念，自己試著歸納正弦、余弦的概

念。

2.議一議:如圖

由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系.

【教學(xué)說明】可以讓學(xué)生通過計算，明白它們之間的關(guān)系.

【歸納結(jié)論】sinA的值越大，梯子越陡;cosA的值越小，梯子越

三、運用新知，深化理解

1.見教材P5例2.

2.在RtZiABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=|,求cosA和tanB的值。

解：VsinA='與，

BC5

：.AB==6X-|-=10.

sinA

又,：AC=7AB2-BC2=yi02-62=8，

._AC_4_AC4

??cosAA—人一，tanno一二

AB5BC

3.如圖，在RtAABC中，ZC=90°，cosA=

少？sinB呢？

鏟dAC1012dn65

角牛：,/cosA=—=—=—，:.AB

ABAB136

八4C612

sinB=—=10x——=—.

AB6513

4.在RtAABC中，ZC=90°,sinA和cosB有什么關(guān)系？你能得到

什么結(jié)論?

解：VsinA=—,

AB

nBC

cosB=——.

AB

sinA=cosB。

結(jié)論：在同一直角三角形中，一銳角的正弦值等于另一銳角的余

弦值。

5.已知：如圖，CD是Rt^ABC的斜邊AB上的高，求證:BC?=AB?

BD.（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明）

解：在Rt/XABC中,

.人

sinA=——BC

AB

在RtABCD中

cosDB=——BD

BC

根據(jù)第4題中的結(jié)論，可知:

在RtAABC中,

sinA=cosB.

.BC_BD

**AB-BC

即BC2=AB?BD.

【教學(xué)說明】對于前三題，比較簡單，可以放手讓學(xué)生獨立完成.

而后面兩題，可以適當(dāng)?shù)募右蕴崾尽⒀a充.

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過學(xué)習(xí)，你對正弦、余弦在知識應(yīng)用方面有什么認識，對指導(dǎo)

解決現(xiàn)實問題有什么意義？你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律或公式在解決問題中起到

了什么作用？

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.2”中第1、4題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本節(jié)課，通過探究，將學(xué)生知識引向深入，在整個過程中體現(xiàn)了

教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體地位.在教學(xué)過程中，如何保證每位學(xué)

生都得到發(fā)展，如何給予每個學(xué)生以發(fā)展平臺，這是每位教師在課堂

教學(xué)中必須做到的.

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

謂標要汞

【知識與技能】

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行

有關(guān)的推理，進一步體會三角函數(shù)的意義。

2.能夠進行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，培養(yǎng)學(xué)生

觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學(xué)生獨立思

考問題的習(xí)慣.

【教學(xué)重點】

能夠進行含30°、45。、60°角的三角函數(shù)值的計算

【教學(xué)難點】

進一步體會三角函數(shù)的意義.

戶數(shù)學(xué)亙睚

一、情景導(dǎo)入，初步認知

如圖所示，在RtAABC中，ZC=90°，NA、NB、NC的對

邊分別為a、b^c

B

(1)a、b、c三者之間的關(guān)系是,ZA+ZB=.

(2)sinA=,cosA=,tanA=.

sinB=,cosB=,tanB=.

(3)若ZA=30°,則q=

c

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)鞏固上一節(jié)課的內(nèi)容,為本課學(xué)習(xí)做準備.

二、思考探究，獲取新知

問題1觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少

度？

問題2sin30等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流.

問題3cos30°等于多少？tan30°呢？

問題4我們求出了30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角

——45°、60°,它們的三角函數(shù)值分別是多少？你是如何得到的？

【教學(xué)說明】利用三角板，進行計算.從而推導(dǎo)特殊角三角函數(shù)值.

【歸納結(jié)論】

三脩角函數(shù)

sinacosatana?

角a—

173

30°0

TT

0

45°i

T

1

60°且

T

【教學(xué)說明】通過表格的形式進行歸納，可使學(xué)生熟記三角函數(shù)值.

三、運用新知，深化理解

1.見教材P8例L

2.見教材P9例2.

3.求下列各式的值：

(1)cos260°+cos245°十夜sin30°sin45

/_、cos60°+sin45°cos600-cos45°

(2)-----------+-------------

cos600-sin45°sin300+cos45°

角岸：（1）原式=（萬）2+（?）2+后*5*，

1115

=----1------1----=一

4224

172172

2222

（2）原式=------+------

1_72J_72

2~T~2+~2

1+721-72

=-----+-----

1-721+72

=-(1+72)2-(1-72)2

=-3-2^-3+272=-6

【教學(xué)說明】本題主要考查特殊角的正弦、余弦值，解題關(guān)鍵是熟悉

并牢記特殊角的正弦、余弦值.易錯點是因沒有記準特殊角的正弦、

余弦值造成計算錯誤.

4.在4ABC中，ZC=90°,若2AC=0AB,則NA的度數(shù)是

,cosB的值為o.

解析：^C=90°,2AC=/2AB,

AC

ACJ2

cosA=—,cosA=—，:.44=45°,

AB2，

72

/.乙3=45°,;.cosB=

2

答案：45。-y

5.已知：在AABC中，ZB=45°,ZC=75°,AC=2,求BC的

長.

分析：作AABC的一條高，把原三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，并

注意保留原三角形中的特殊角

解:作CD1.AB于D點.

VB=45°,ZACB=75°AZA=60°

?.?AC=2,sinA=力CD，

/Al

/.CD=2sin600=V3.

在RtABCD中，NCDB=90°,/B=45°,

sinB=

BC

ABC=76.

【教學(xué)說明】不論是特殊角，還是特殊角的三角函數(shù)值，都要在

直角三角形中才可以發(fā)揮作用，所以合理構(gòu)造直角三角形，并通過轉(zhuǎn)

化得到特殊角是解決此類問題的關(guān)鍵。

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結(jié)，

教師作以補充。

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.3"中第1、4、5題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

建教學(xué)反思

三角尺是學(xué)生非常熟悉的學(xué)習(xí)用具，在這節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)

大膽地鼓勵學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識如“直角三角形中，30。角所對的

邊等于斜邊的一半”的特性，經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角

函數(shù)值的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和計算能力。另外通過小組合作

交流形式，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學(xué)生

獨立思考問題的習(xí)慣，并在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困

難的意志，建立自信心.給學(xué)生留充分的時間，采取多種形式讓學(xué)生

記住特殊角的三角函數(shù)值。

3三角函數(shù)的計算

第一課時已知一個角求三角函數(shù)值

【知識與技能】

1.會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值.

2.運用銳角三角函數(shù)解直角三角形.

【過程與方法】

通過學(xué)生動手操作，提高學(xué)生動手能力.

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，培養(yǎng)學(xué)生動手操

作能力.

【教學(xué)重點】

會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值。

【教學(xué)難點】

會用計算器求一些銳角的三角函數(shù)值。

：＞教與日ili呈

一、情景導(dǎo)入，初步認知

問題上節(jié)課我們學(xué)會了求一些特殊銳角（30。、45°、60。）的

三角函數(shù)值.那你知道15°、55°等一些銳角的三角函數(shù)值嗎？這節(jié)

課我們就來學(xué)習(xí)求這樣的角的三角函數(shù)值.

【教學(xué)說明】通過問題，給學(xué)生創(chuàng)造困難，從而激發(fā)學(xué)生強烈的

求知欲.

二、思考探究，獲取新知

觀察手中計算器的各種按鍵，了解它們的功能

【教學(xué)說明】學(xué)生先了解計算器各按鍵的功能，為利用計算器求

銳角三角函數(shù)值打下基礎(chǔ).

三、運用新知，深化理解

1.見教材Pl2的圖表.

2.sin63°52'41"的值.（精確到0.0001）

解：先用如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：

MODEMODE1顯示

再按下列順序依次按鍵:

顯示結(jié)果為0.897859012.

所以sin63°52'4-.8979

3.求cot70045/的值.（精確到0.0001）

解:在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出1工按下

列順序依次按鍵：

tanI70145?！?=1

顯示結(jié)果為0.349215633.

所以cot70°45'^0.3492.

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=35°，AC=6,求BC,

AB的長（精確到0.001）.

B

解：因為些■=tanA=tan35°

AC

由計算器求得tan35°^0.7002,

所以BC=AC?tanA^6X0.7002^4.201

X-=cosA=cos350，

AB

由計算器求得cos35。^。.8192,

所以AB=AC_6七7.324

cosA0.8192

【教學(xué)說明】不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.

四、師生互動，課堂小結(jié)

不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣.同一銳角的正切值與

余切值互為倒數(shù).在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的

保管與使用.

【方法歸納】在解決直角三角形的相關(guān)問題時，常常使用計算器

幫助我們處理比較復(fù)雜的計算.

,＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.4”中第1、2題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

教學(xué)反思

本節(jié)課的內(nèi)容比較簡單，學(xué)生能夠用計算器進行計算，不需要

學(xué)生動筆，所以學(xué)生積極性較高，教學(xué)效果較好.

第2課時已知三角函數(shù)值求角

謂標要汞

1=-

【知識與技能】

能根據(jù)銳角的三角函數(shù)值用計算器求出相應(yīng)的銳角.

【過程與方法】

經(jīng)歷使用計算器的過程，通過計算銳角三角函數(shù)值，加深對三角

函數(shù)之“函數(shù)”意義的感受.

【情感態(tài)度】

體會現(xiàn)代工具的快捷、準確，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識并養(yǎng)成認真、細

心、嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.

【教學(xué)重點】

用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角.

【教學(xué)難點】

用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳角.

廣,教學(xué)亙旌

一、情景導(dǎo)入，初步認知

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值，同學(xué)們計

算sin63°52'41〃和cos2°的值

這節(jié)課我們來一起研究如何利用計算器由銳角三角函數(shù)值求銳

角.

【教學(xué)說明】自然引入，使學(xué)生理解知識的連貫性.

二、思考探究，獲取新知

閱讀教材Pl3中“想一想”的內(nèi)容，和同桌一起討論、交流。如

何能根據(jù)銳角的三角函數(shù)值用計算器求出相應(yīng)的銳角.

【教學(xué)說明】提高學(xué)生團隊合作意識.

三、運用新知，深化理解

L已知tanx=0.7410,求銳角%（精確到1,）

解:在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕

顯示出口），按下列順序依次按鍵：

顯示結(jié)果為36.53844577.

再按鍵：

SHIFT

顯示結(jié)果為363518.4.

所以,%仁36°32'.

2.已知cotx=0.1950,求銳角x（精確到1，）

分析：根據(jù)tanx=—L,可以求出tanx的cotr值，然后根據(jù)第1

cotx

題的方法就可以求出銳角％的值

3.已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角a.（精確到1。）

sina=0.2476；

cosa=0.4174;

tana=0.1890.

解：（1）14°（2）65°（3）11°

【教學(xué)說明】教師要強調(diào)，讓每位學(xué)生必須動手操作，達到熟練.

從而提高學(xué)生動手操作能力，鞏固所學(xué)知識.

四、師生互動，課堂小結(jié)

先小組內(nèi)交流收獲和感想，然后以小組為單位派代表進行總結(jié)，

教師作以補充.

L課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.4”中第3、5題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

;‘教學(xué)反思

學(xué)生在操作過程中可能存在以下問題:按鍵順序不對；沒按要求

取近似值或干脆不取近似值.所以應(yīng)該在這幾個方面要進行強調(diào).

4解直角三角形

謂標要汞

【知識與技能】

使學(xué)生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運用勾股定理，直

角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.

【過程與方法】

通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角

函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【教學(xué)重點】

直角三角形的解法.

【教學(xué)難點】

三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用.

廣,教學(xué)亙旌

一、情景導(dǎo)入，初步認知

1.在三角形中共有幾個元素？

2.直角三角形ABC中，ZC90°,a、b、c、NB這五個元

素間有哪些等量關(guān)系呢？

(1)邊角之間關(guān)系

sinA=—V3cosA=—tanA=—

cab

(2)三邊之間關(guān)系

4十廿二/（勾股定理）

（3）銳角之間關(guān)系

NA+ZB=90°

【教學(xué)說明】以上三點正是解直角三角形的依據(jù)，通過復(fù)習(xí)，使

學(xué)生便于應(yīng)用.

二、思考探究，獲取新知

1.做一做：在直角三角形A8C中，已知兩邊，你能求出這個直角

三角形中其它的元素嗎？

2.做一做：在直角三角形A8C中，已知一角一邊，你能求出這個

直角三角形中其它的元素嗎？

3.想一想：在直角三角形ABC中，已知兩角，你能求出這個直角

三角形中其它的元素嗎？

【教學(xué)說明】我們已掌握Rt△ABC的邊角關(guān)系、二邊關(guān)系、角角關(guān)

系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，

就可求出其余的元素.這樣的導(dǎo)語既可以使學(xué)生大概了解解直角三角

形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢？

激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

【歸納結(jié)論】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素過程，

叫做解直角三角形。

在解直角三角形中，兩個已知元素中至少有一條邊.

【教學(xué)說明】讓全體學(xué)生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師

請學(xué)生概括什么是解直角三角形？

三、運用新知，深化理解

1.見教材P16例1、例2.

2.已知：C=8G,NA=60°,NC=90°,求N8、a、h.

解:a=csin6(T=8①X寺=12

Z>=ccos60°=8-y=4①，

乙

ZB=30°.

3.已知：a=3限,NA=30°NC=90°,求NB、b、c。

解：NB=90°—30°=60°,

6=atanB=3娓X久=942,

c=，/+〃=A/(3x/6^)2+(9>/2)2

=754+162=7H6=6娓.

(另解：由于q=sinA，所以。=告=坐

csinA1

~2

=676).

4.已知：c=R-a,tz=V3-l,ZC=90°,求NA、NB、b.

鈕一a73-1(4-1)(后+行)

c而-Q(布_立)(而+0

_3顯-#+盡-/1

"4-T5

由此可知，44=45°,48=90°-45。=45°,

且有Z>=a=./3^-l.

5.已知：a=6,〃=2點,/C=90°,求NA、/B、c.

解:由于tan4=-^-=-^-=73,

b273

2=60。，乙3=90°-60°=30。，

l.^c=26=2x2/3=4/3.

6.在直角三角形ABC中，銳角A為30°,銳角B的平分線BD的

長為8cm,求這個三角形的三條邊的長.

解：由已知可得4BCD是30°的直角三角形，所以CD=-BD=-

22

X8=4(cm),

△ADB是等腰三角形，

所以AD=BD=8(cm),

則有AC=8十4=12(cm),

BC=ACcot60°=12X3=46(cm),

AB=7(4V3)2+122=J48+144=V192=8G(cm)

【教學(xué)說明】解直角三角形是解實際應(yīng)用題的基礎(chǔ)，因此必須使學(xué)生

熟練掌握。為此，教材配備了針對各種條件的練習(xí)，使學(xué)生熟練解直

角三角形，并培養(yǎng)學(xué)生運算能力.

四、師生互動，課堂小結(jié)

請學(xué)生小結(jié)：

1.在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至

少有一個是邊)，就可以求出另三個元素

2.解決問題要結(jié)合圖形.

;,課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.5”中第2、3題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

學(xué)教學(xué)反思

解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學(xué)生完全可以自己解決，

但例題具有示范作用.因此，此題在處理時，首先，應(yīng)讓學(xué)生獨立完

成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題的能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

其次，教師組織學(xué)生比較各種方法中哪些較好，選一種板演.

第1課時三角函數(shù)的應(yīng)用（1）

【知識與技能】

使學(xué)生會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，從而把實際問

題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.

【過程與方法】

逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)

學(xué)的意識.

【教學(xué)重點】

要求學(xué)生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形

元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實際問題解決.

【教學(xué)難點】

要求學(xué)生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形

元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實際問題解決.

一、情景導(dǎo)入，初步認知

海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向

東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達

該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行.你認為貨輪

繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是怎樣想的？與同伴進行

交流.

【教學(xué)說明】經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三

角函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用.

二、思考探究，獲取新知

如圖，一艘海輪位于燈塔戶的北偏東65°方向，距離燈塔80海

里的/處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔戶的南偏東

34°方向上的B處.這時，海輪所在的〃處距離燈塔戶有多遠（精確到

0.01海里）？

解:如圖，在RtZUPC中，

PC=PA-cos(90°-65°)=80xcos25°?72.8

在Rt△8。。中，43=34。.

因此，當(dāng)海輪到達位于燈塔戶的南偏東34°方向時一，它距離燈

塔產(chǎn)大約130.23海里.

三、運用新知，深化理解

如圖所示，一條自西向東的觀光大道/上有A,B兩個景點，A.B

相距2km,在A處測得另一景點C位于景點A的北偏東60°方向，在

B處測得景點C位于景點B的北偏東45°方向，求景點C到觀光大道

1的距離.（結(jié)果精確到0.1km）

分析：過點C作CD，/于點D,設(shè)CD為％km,用含％的代數(shù)式表

示出AD和BD,然后根據(jù)AD-BD=AB,列方程即可求解

解:如圖所示，過點。作于點。，設(shè)

CD-xkm.

CD

在RtAACD??.,tanACAD=—,

AD

，仞.CD=CD

tanZ.CADtan300'

：.AD=CD=yy^km.

在RtABCD中,v乙BDC=90°,Z.CBD=

45。，，BD=CD=xkm.

,/AD-BD=AB,

6%-％=2,解得：x=7J+l5=2.7(km).

故景點c到觀光大道1的距離約為2.7km.

【教學(xué)說明】結(jié)合圖形信息解直角三角形問題時，注意轉(zhuǎn)化思想

的運用，即構(gòu)造直角三角形，將方位角、方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三

角形問題，靈活運用銳角三角函數(shù)構(gòu)造相關(guān)的三角函數(shù)式，進行有關(guān)

線段以及角度計算.

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過學(xué)習(xí)以上例題，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通

過解直角三角形來解決有關(guān)方向角問題.

,＞課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.6”中第4題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí)

教學(xué)反思

本節(jié)課應(yīng)首先認識方向角及其代表的實際意義，然后結(jié)合解直角

三角形的有關(guān)知識，層層展開，逐步深入.

第2課時三角函數(shù)的應(yīng)用（2）

【知識與技能】

進一步掌握用解直角三角形的知識解決實際問題的方法，體會仰

角、俯角、坡度的含義及其代表的實際意義，并進行相關(guān)的計算.

【過程與方法】

通過實際問題的求解，總結(jié)出用解直角三角形的知識解決實際問

題的一般過程，增強分析問題和解決問題的能力.

【情感態(tài)度】

滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.

【教學(xué)重點】

用三角函數(shù)知識解決仰角、俯角、坡度問題.

【教學(xué)難點】

學(xué)會準確分析問題，并將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.

一、情景導(dǎo)入，初步認知

1.仰角、俯角的概念.

2.坡度的含義

【教學(xué)說明】教師提出問題，師生共同理解，為后繼學(xué)習(xí)作好準備

二、思考探究，獲取新知

想一想：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測

得仰角為30°,再往塔的方向前進50nl至B處.測得仰角為60°.

那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m）

分析：要求塔CD的高度，必須利用銳角三角函數(shù).則要求出直角

三角形ACD或直角三角形BCD的一邊.可以根據(jù)等腰三角形的有關(guān)知

識求出BD=50m,NDBC=60°,用正弦就可求出塔CD的高度.

做一做：由題意易知CZ）_L4C,乙。4。=30。，

LCBD=60°,48=50m,/.乙ACD=90°,LADB=

LCBD-乙CAD=30°,/.AB=BD=50m.在Rt

△BCD中，CD=BD-sin乙。BZ）=50xsin600=25

有（m）.即該塔高25萬m.

【教學(xué)說明】利用實際問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.教師要幫助學(xué)生學(xué)

會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而解決問題.

三、運用新知，深化理解

1.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球上看

一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底

部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離

為120m,這棟高樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？

故景點C到觀光大道1的距離約為

2.7km.C

解：根據(jù)仰角和俯角定義知，圖中a=

30。,萬=60°,AD=120m.在Rt/\ABD中,由

BD,,

tana=tan30°=—，故BD=AD?tan30°=120x

AD

73「一、上?CD

?y=40J3,在Rt/\ACD中，由tan^S=—=

tan60°,所以CD=AD?tan600=120x73=120

有，故這棟高樓的高為BC=BD+CD=40^3+

12073=160V3?277m.

【教學(xué)說明】上述題目可讓學(xué)生自主探索，也可相互交流，最后

師生共同獲得解答過程，學(xué)生自查，增強解題技能.

2.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D

處觀測旗桿頂部A的仰角為50°,觀測底部B的

仰角為45°,求旗桿的高度(結(jié)果保留一位小數(shù))

解：BC=DC?tan45°=40(m),AC=DC?tan50°弋

47.67(m),AB=AC-BC=7.67^7.7(m)

3.同學(xué)們對公園的滑梯很熟悉吧！如圖是某公園“六?一”前新

增設(shè)的一臺滑梯，設(shè)滑梯高度AC=2m,滑梯著地點B與梯架之間的距

離BC=4m.

(1)求滑梯AB的長(精確到0.1m);

(2)若規(guī)定滑梯傾斜角(NABC)不超過45°屬于安全范圍，請通

過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？

解：(1)48=7AC2+BC2=74+16=2624.5

4c21

(m)；(2)tanZ.ABC=--=—=--.乙ABC2

'BC42

26.6°<45°,/.符合要求.

4.如圖，在一次龍卷風(fēng)中，一棵大樹在離地面若干米處折斷倒地,

B為折斷點，樹頂A落在離樹根C的12m處，測得NBAC=48°,則此

棵大樹原長為多少米？(精確到0.1m).

解：BC=4c-tan48°?13.33(m),A5=-------

cos48°

?17.94(m),r.大樹原長為BC+AB=13.33+

17.94=31.27=31.3(m).

【教學(xué)說明】在學(xué)生自主探究過程中，教師巡視，與學(xué)生一道分

析解題思路，探討構(gòu)建直角三角形來解決實際問題的方法，并對有困

難的學(xué)生予以指導(dǎo)，樹立他們的學(xué)習(xí)信心.

5.某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AC、BD

和CD的長度（精確到0.1米）.

解：如圖，作BE

垂直直線CD于E,

在直角三角形BED

中，有ED=5tan30°=

731.732

5x—?=5x--?=

33

2.89(米)，

如圖，作AF垂直直線CD于F,在直角三角形AFC中,

ZACF=ZCAF=45°,所以有CF=AF=BE=5

則有CD=(CF+FE)-ED=(CF+AB)-ED。(5+1.3)-2.89^3.4(米)

又有笈x”=5互*5x1.414=7.1,

BD=2ED=2X2,89^5.8

所以CD,AC,BD的長分別約為3.4米,7.1米和5.8米.

【教學(xué)說明】鞏固所學(xué)知識.要求學(xué)生學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)

學(xué)問題；根據(jù)題意思考題目中的每句話對應(yīng)圖中的哪個角或邊，本題

已知什么，求什么？

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些疑問？不妨說說看.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生在相互交流過程中總結(jié)解題思路，解題方法,

進一步積累解題經(jīng)驗，并聽取學(xué)生的疑問，及時查漏補缺.

1課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.6”中第1、2題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí)

教學(xué)反思

本課時教學(xué)時要盡量創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識背景相關(guān)的教學(xué)

情境，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化

能力，增強學(xué)生分析實際問題和解決實際問題的能力.

教學(xué)時應(yīng)注意從實際生活出發(fā)，努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.此

外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生自主提煉題干并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，

注重從實物的形象思維向數(shù)學(xué)的抽象思維轉(zhuǎn)變.

6利用三角函數(shù)測高

謂標要汞

--，1”

【知識與技能】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索測高的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用

過程.并發(fā)展了學(xué)生的動手能力.

【情感態(tài)度】

體會數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活.

【教學(xué)重點】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

【教學(xué)難點】

能夠利用三角函數(shù)測一些實際物體的高度.

支教學(xué)亙引

一、情景導(dǎo)入，初步認知

請同學(xué)們欣賞下列圖片，你們能測量出它們的高度嗎？

埃及金字塔法國巴黎上海東方明珠馬來西亞

鐵塔電視塔雙子塔

【教學(xué)說明】用多媒體放映圖片并讓學(xué)生說明圖片的名稱和有關(guān)

圖片的一些歷史.可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

二、思考探究，獲取新知

活動一：測量傾斜角.

測量傾斜角可以用測傾器，簡單的測傾器由度盤、鉛垂和支桿組

成（如圖）.

使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：

1.把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°

刻線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.

2.轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛垂線所指的

度數(shù).

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出目標M的仰角或俯角嗎？說說你的理

由

活動二：測量底部可以到達的物體的高度

所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測

點與被測物體底部之間的距離

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角NMCE=aa.

2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=1

3.量出測傾器的高度AC=a（即頂線PQ成水平位置時它與地面的

距離），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理

由。

活動三：測量底部不可以到達的物體的高度

所謂“底部不可以到達”就是在地面上不能直接測得測點與被測

物體底部之間的距離.

如圖，要測量物體MN的高度，可以按下列步驟進行：

1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角ZMCE=?

2.在測點A與物體之間的B處安置測傾器（A,B與N在一條直

線上，且A,B之間的距離可以直接測得），測得M的仰角NMCE=p

3.量出測傾器的高度AC=BD=a,以及測點A,B之間的距離

AB=b.

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.

【教學(xué)說明】通過這三個活動的學(xué)習(xí)，可以掌握利用三角函數(shù)測

物體高度時，必須要測出哪些數(shù)據(jù)才能解決問題。

三、運用新知，深化理解

.在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形

量角器制作了一個測角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD。如圖,

已知小明距假山的水平距離BD為12m,他的眼睛距地面的高度為

1.6m,李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點C,此

時，鉛垂線OE經(jīng)過量角器的60°刻度線，則假山的高度為多少？

解：如圖，作AK_LCD于點K,

VBD=12,李明的眼睛高1.6米，即AB=L6,ZAOE=60°,

?.?tan/ACK=第，

C.A

?-12_12_反

,tanZACKtan60°—乃,‘

，CD=CK+DK=4痣+1.6.

答：小山的高度為（4例+1.6）米.

2.興義市進行城區(qū)規(guī)劃，工程師需測某樓AB的高度，工程師在D處

用高2m的測角儀CD,測得樓頂端A的仰角為30°,然后向樓前進

30m到達E,又測得樓頂端A的仰角為60°,樓AB的高度是多少？

解:如圖，在RtAAFG中，tanZAFG=—,ZAFG=60°,

FG

,-.FG=^^=—AG

tan6003

在RtAACG中，tan/ACG=任，ZACG=30°

CG

所以CG=」^-=gAG

tan30°

又?.?CF=CG-FG=30,

即eAG-§AG=30,

解得AG=1573.

/.AB=AG+GB=15伍+2.

，這幢教學(xué)樓的高度AB為（156+2）m.

3.如圖，小山崗的斜坡AC的坡度是tan=H在與山腳C距離200米

4

的D處，測得山頂A的仰角為26.6°,求小山崗的高AB（結(jié)果取整

數(shù)，參考數(shù)據(jù):sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.50）

4

二BC=—AB.

3

?「在Rt△403中,tan266=翌=0.5,

BD=2AB.

BD-BC=CD=200,

4

2AB--AB=200,

解得：4B=300.

答:小山崗的高度為300米.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生評價黑板上的解題過程，做到全體學(xué)

生都掌握.

四、師生互動，課堂小結(jié)

師生歸納：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程

是：

(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角

三角形的問題)；

(2)根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形;

(3得到數(shù)學(xué)問題的答案；

(4得到實際問題的答案.

;'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.7”中第2、3題.

2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

：,教學(xué)反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)鞏固了銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，大大培養(yǎng)了

學(xué)生的動手能力、合作能力、思維能力和總結(jié)匯總能力.

章末復(fù)習(xí)

Y課標要求

【知識與技能】

1.了解銳角三角函數(shù)的概念，熟記30°、45°、60°的正弦、

余弦和正切的函數(shù)值.

2.能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)

值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù).

3.會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

【過程與方法】

通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與

對應(yīng)的思想.

【情感態(tài)度】

通過解直角三角形的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用.

【教學(xué)重點】

會用誦直角三的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

【教學(xué)難點】

會用露直角三的有關(guān)知識解決簡單的實際問題.

工：教與國程

一、知識結(jié)構(gòu)

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識點，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章

知識及它們之間的關(guān)系.

二、釋疑解惑，加深理解

1.銳角三角函數(shù)

①正弦、余弦、正切的定義

②銳角三角函數(shù)的定義

2.三角函數(shù)的計算

3.解直角三角形

4.解直角三角形的應(yīng)用

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章所學(xué)的有關(guān)概念，知識點.加深學(xué)

生印象.

三、運用新知，深化理解

1.已知，如圖，D是AABC中BC邊的中

點，ZBAD=90°,tanB--,求sinNDAC.

3

解：過D作DE〃AB交AC于E,則NADE=NBAD=90°,

由tanB=2,得也=2,

3AB3

設(shè)AD=2k,AB=3k；

?.?D是AABC中BC邊的中點,

.,.DE=-k,

2

在RtZXADE中，AE=-k,

2

_k

sinZDAC=^=2_^

AE耳5

2.計算：tan230°+cos230°-sin245°tan45°

解：原式=(3)2+(爭2_(爭2xi

342

7

12

3.如圖所示，菱形ABCD的周長為20cm,DE±AB,垂足為E,sinA=|,

則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）.

①DE=3cm;

②BE=lcm;

③菱形的面積為15cm2;

④BD=2y/10cm.

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：由菱形的周長為20cm知菱形邊長是5cm.

KRtAADE中，

VAD=5cm,sinA=|,

DE=AD?sinA=5X|=3(cm).

AE=yjAE2-DE2=4(cm).

.?.BE=AB-AE=5-4=l(cm).

菱形的面積為AB?DE=5X3=15(cm2).在RtADEB中,

BD=dDE?+BE。=A/32+12=V1O(cm).

答案：C.

4.如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°

方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿吃,c「T添

正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的尸￡；工

南偏東45°方向上的B處，求此時輪船所在的B

處與燈塔P的距離（結(jié)

分析：由題意知△48P中乙4=60。，48二

45。