人教版九年級下冊《相似》教案1

第十六課時

第二十七章相似27.1圖形的相似（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解并掌握兩個圖形相似的概念.

2、了解成比例線段的概念，會確定線段的比.

重點、難點

重點：相似圖形的概念與成比例線段的概念.

難點：成比例線段概念.

難點的突破方法

（1）對于相似圖形的概念，可用大量的實例引入，但要注意教材中“把

形狀相同的圖形說感層相似圖形”，只是對相似圖形概念的一個描述，不是

定義；還要強(qiáng)調(diào)：①相似形一定要形狀相同，與它的位置、顏色、大小無

關(guān)（其大小可能一樣，也有可能不一樣，當(dāng)形狀與大小都一樣時，兩個圖

形就是全等形，所以全等形是一種特殊的相似形）；②相似形不僅僅指平面

圖形，也包括立體圖形的情況，如飛機(jī)和飛機(jī)模型也是相似形；③兩個圖

形相似，其中一個圖形可以看作有另一個圖形放大或縮小得到的，而把一

個圖形的部分拉長或加寬得到的圖形和原圖形不是相似圖形.

（2）對于成比例線段：

①我們是在學(xué)生小學(xué)學(xué)過數(shù)的比，及比例的基本性質(zhì)等知識的基礎(chǔ)上

來學(xué)習(xí)成比例線段的；②兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關(guān)系，在

計算時要注意統(tǒng)一單位；③線段的比是一個沒有單位的正數(shù)；④四條線段

a,b,c,d成比例，記作3=9或a:b=c:d；⑤若四條線段滿足3,，則有ad=bc

bdbd

（為利于今后的學(xué)習(xí)，可適當(dāng)補(bǔ)充：反之，若四條線段滿足ad=bc,則有

-=或其它七種表達(dá)形式）.

bd

教學(xué)過程：

一、課堂引入:

1.（1）請同學(xué)們看黑板正上方的五星紅旗，五星紅旗上的大五角星與

小五角星他們的形狀、大小有什么關(guān)系？再如下圖的兩個畫面，他們的形狀、

大小有什么關(guān)系.（還可以再舉幾個例子）

（2）教材P36引入.

（3）相似圖形概念：把形狀相同的圖形說成是相似圖形.（強(qiáng)調(diào)：見前

面）

（4）讓學(xué)生再舉幾個相似圖形的例子.

（5）講解例1.

2.問題：如果把老師手中的教鞭與鉛筆，分別看成是兩條線段AB和

CD,那么這兩條線段的長度比是多少？

歸納：兩條線段的比，就是兩條線段長度的比.

3.成比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比與另兩

條線段的比相等，如色=士（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，

bd

簡稱比例線段.

【注意】（1）兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關(guān)系，在計算時

要注意統(tǒng)一單位；（2）線段的比是一個沒有單位的正數(shù)；（3）四條線段a,b,c,d

成比例，記作3,或a:b=c:d；（4）若四條線段滿足3=工,則有ad=bc.

bdbd

二、例題講解

例1（補(bǔ)充：選擇題）如圖，下面右邊的四個圖形中，與左邊的圖形相

似的是（）

ABCD

分析：因為圖A是把圖拉長了，而圖D是把圖壓扁了，因此它們與左

圖都不相似；圖B是正六邊形，與左圖的正五邊形的邊數(shù)不同，故圖B與左

圖也不相似；而圖C是將左圖繞正五邊形的中心旋轉(zhuǎn)180°后，再按一定比

例縮小得到的，因此圖C與左圖相似，故此題應(yīng)選C.

例2（補(bǔ)充）一張桌面的長a=1.25m,寬b=0.75m,那么長與寬的比是

多少？

（1）如果a=125cm,b=75cm,那么長與寬的比是多少?

（2）如果a=1250mm,b=750mm,那么長與寬的比是多少？

解：略.心=9）

b3

小結(jié)：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位，求得的色的值

b

是相等的，所以說，兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān)，但求比時兩條

線段的長度單位必須一致.

例3（補(bǔ)充）已知：一張地圖的比例尺是1:3000,量得北京到上海的圖

上距離大約為3.5cm,求北京到上海的實際距離大約是多少km?

分析：根據(jù)比例尺吧，可求出北京到上海的實際距離.

實際距昌

解：略

答：北京到上海的實際距離大約是1120km.

課堂練習(xí)

1.教材P37的觀察.

2.下列說法正確的是（）

A.小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似.

B.商店新買來的一副三角板是相似的.

C.所有的課本都是相似的.

D.國旗的五角星都是相似的.

3.如圖，請測量出右圖中兩個形似的長方形的長和寬,

（1）（?。╅L是cm,寬是cm；（大）長是cm,寬

是cm；

(2)(小)?=寬

（大）云=

（3）你由上述的計算，能得到什么結(jié)論嗎？

（答：相似的長方形的寬與長之比相等）

4.在比例尺是1:8000000的“中國政區(qū)”地圖上，量得福州與上海之間的

距離時7.5cm,那么福州與上海之間的實際距離是多少？

5.AB兩地的實際距離為2500m,在一張平面圖上的距離是5cm,那么這張

平面地圖的比例尺是多少？

四、課后練習(xí)及作業(yè)

1.觀察下列圖形，指出哪些是相似圖形：

。。遜—

ocn0(2)?(3)■(4)■(5)

(6)(7)(8)⑼(10)

(答：相似圖形分別是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7))

2.教材P37練習(xí)1、2.

3.教材P40練習(xí)1與習(xí)題1.

五、課時小結(jié)，收獲盤點。

六、教學(xué)后記：

第十七課時

27.1圖形的相似(二)

教學(xué)目標(biāo)：

1.知道相似多邊形的主要特征，即：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊

的比相等.

2.會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運用其性質(zhì)

進(jìn)行相關(guān)的計算.

重點、難點

1.重點：相似多邊形的主要特征與識別.

2.難點：運用相似多邊形的特征進(jìn)行相關(guān)的計算.

3.難點的突破方法

(1)判別兩個多邊形是否相似，要看這兩個多邊形的對應(yīng)角是否相等，

且對應(yīng)邊的比是否也相等，這兩個條件缺一不可；可以以矩形、菱形為例

說明：僅有對應(yīng)角相等，或僅有對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形不一定相似

（見例1）,

（2）由相似多邊形的特征可知，如果已知兩個多邊形相似，就等于知道

它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等（對應(yīng)邊成比例），在計算時要能靈活

運用.

（3）相似比是一個很重要的概念，它實質(zhì)是把一個圖形放大或縮小的倍

數(shù)（即相似多邊形的對應(yīng)邊的長放大或縮小的倍數(shù)）.

教學(xué)過程：

一、課堂引入，探究相似形的性質(zhì)：

1、學(xué)生活動：如圖的左邊

格點圖中有一個四邊形，請在右

邊的格點圖中畫出一個與該四邊

形相似的圖形.

2、問題：對于圖中兩個相似的四邊形，它們的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比是

否相等.

3、【結(jié)論】:

（1）相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

反之，如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多

邊形相似.

（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.

問題：相似比為1時，相似的兩個圖形有什么關(guān)系？

結(jié)論：相似比為1時，相似的兩個圖形全等，因此全等形是一種特殊的

相似形.

二、例題講解，知識應(yīng)用范例：

例1（補(bǔ)充）（選擇題）下列說法正確的是（）

A.所有的平行四邊形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

分析：A中平行四邊形各角不一定對應(yīng)相等，因此所有的平行四邊形不

一定都相似，故A錯；B中矩形雖然各角都相等，但是各對應(yīng)邊的比不一定

相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B錯；C中菱形雖然各對應(yīng)邊的比

相等,但是各角不一定對應(yīng)相等，因此所有的菱形不一定都相似,故C也錯；

D中任兩個正方形的各角都相等，且各邊都對應(yīng)成比例，因此所有的正方形

都相似，故D說法正確，因此此題應(yīng)選D.

例2（教材P39例題）.

分析：求相似多邊形中的某些角的度數(shù)和某些線段的長，可根據(jù)相似多

邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等來解題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)角與對應(yīng)邊,

從而列出正確的比例式.

解：略

例3（補(bǔ)充）

已知四邊形ABCD與四邊形AiBiCiDi相似，且

AiBi:BiCi:CiDf|DiAi=7:8:11:14,若四邊形ABCD的周長為40,求四邊形

ABCD的各邊的長.

分析：因為兩個四邊形相似，因此可根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等

來解題.

解：：四邊形ABCD與四邊形AiBiCiDi相似，

，AB:BC:CD:DA=AiBi:BiCi：CiDi:DiAi.

,ZAiBi:BiCi:CiDiJDiAi=7:8:11:14,

AB:BC:CD:DA=7:8:11:14.

設(shè)AB=7m,貝UBC=8m,CD=llm,DA=14m.

四邊形ABCD的周長為40,

/.7m+8m+11m+14m=40.

m=l.

/.AB=7,則BC=8,CD=11,DA=14.

三、課堂練習(xí)，鞏固提高：

1.教材P40練習(xí)2、3.

2.教材P41習(xí)題4.

3.（選擇題）^ABC與4DEF相似，且相似比是2,則4DEF與4ABC

3

與的相似比是（）.

2324

A.-B.-C.-D.-

3259

4.（選擇題）下列所給的條件中，能確定相似的有（）

（1）兩個半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.

A.3個B.4個C.5個D.6個

5.已知四邊形ABCD和四邊形AiBiCiDi相似，四邊形ABCD的最長

邊和最短邊的長分別是10cm和4cm,如果四邊形AiBiCiDi的最短邊的長

是6cm,那么四邊形AiBiCiDi中最長的邊長是多少？

四、課后練習(xí)深化

1、教材P41習(xí)題3、5、6.

2.如圖，AB〃EF〃CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF

與梯形EFAB相似，求EF的長.

X3.如圖，一個矩形ABCD的長AD=acm,寬AB=bAED

cm,E、F分別是AD、BC的中點，連接E、F,所得新矩

形ABFE與原矩形ABCD相似，求a:b的值.（后：1）BFC

五、作業(yè)布置：p40第1、3題

六、教學(xué)后記：

第十八課時

27.2.1相似三角形的判定（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，體驗分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過

程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

2.掌握兩個三角形相似的判定條件（三個角對應(yīng)相等，三條邊的比對

應(yīng)相等，則兩個三角形相似）一一相似三角形的定義，和三角形相似的預(yù)備

定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

形相似）.

3.會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預(yù)備定理”

解決簡單的問題.

重點、難點

1.重點：相似三角形的定義與三角形相似的預(yù)備定理.

2.難點：三角形相似的預(yù)備定理的應(yīng)用.

3.難點的突破方法

（1）要注意強(qiáng)調(diào)相似三角形定義的符號表示方法（判定與性質(zhì)兩方面），應(yīng)

注意兩個相似三角形中，三邊對應(yīng)成比例，善=隼=5與每個比的前項

ARB'C'C'A'

是同一個三角形的三條邊，而比的后項分別是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，

它們的位置不能寫錯；

（2）要注意相似三角形與全等三角形的區(qū)別和聯(lián)系，弄清兩者之間的關(guān)

系.全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之處在于全等三角形的相似比

為1.兩者在定義、記法、性質(zhì)上稍有不同，但兩者在知識學(xué)習(xí)上有很多類似

之處，在今后學(xué)習(xí)中要注意兩者之間的對比和類比；

（3）要求在用符號表示相似三角形時，對應(yīng)頂點的字母要寫在對應(yīng)的位置

上，這樣就會很快地找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊；

(4)相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的(這一點也可以在上一節(jié)課中提出)：

如△ABCSAJVB'C的相似比幽=生=9-=卜，那么AA'B'

A'B'B'C'C'A'

C'-AABC的相似比就是包=吧=空=_1,它們的關(guān)系是互為倒

ABBCCAk

數(shù).這一點在教學(xué)中科結(jié)合相似比“放大或縮小”的含義來讓學(xué)生理解；

(5)“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角

形相似”定理也可以簡單稱為“三角形相似的預(yù)備定理”.這個定理揭示了

有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，

常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似.

教學(xué)過程：

一、課堂引入

1.復(fù)習(xí)引入

(1)相似多邊形的主要特征是什么？

(2)在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.

在AABC與AA'B'C中，

如果NA=NA',NB=NB'，ZC=ZC/,<—=—=—=k.

AB'BCC'A'

我們就說^ABC與AA'B'C相似，記作△ABCS^A'B'C'，k

就是它們的相似比.

反之如果△ABCSAA'B'C,

則有NA=NA'，NB=NB'，ZC=ZC/,且4=匹=旦.

AEBCCA'

(3)問題：如果k=l,這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？

2.教材P42的思考，并引導(dǎo)學(xué)生探索與證明.

3.猜想：

三角形相似的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

二、新知探究，例題學(xué)習(xí):

1、平行線分線段成比例原理的探究認(rèn)識：見

課本，由學(xué)生小組合作通過測量計算從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

后教師引導(dǎo)做出總結(jié)。

2、例題探究：

例1（補(bǔ)充）如圖△ABCS^DCA,AD^BC,ZB=ZDCA.

（1）寫出對應(yīng)邊的比例式；

（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的長.

分析：可類比全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系來尋找相似三角形中的

對應(yīng)元素.對于（3）可由相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出AD與DC的長.

解：略（AD=3,DC=5）A

例2（補(bǔ)充）如圖，在AABC中，DE〃:BC,AD=EC,/、

DB=lcm,AE=4cm,BC=5cm,求DE的長.BC

分析：由DE〃:BC,可得△ADES^ABC,再由相似三角形的性質(zhì)，有

—,又由AD=EC可求出AD的長，再根據(jù)生=處求出DE的長.

ABACBCAB

解：略（DE=—）.

3

三、課堂練習(xí)，新知應(yīng)用訓(xùn)練：

1.（選擇）下列各組三角形一定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.兩個鈍角三角形A

C.兩個等腰三角形D.兩個等邊三角形DZ-AR

2.（選擇）如圖，DE〃BC,EF〃AB,則圖中相似//\

BFC

三角形一共有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

3.如圖，在。ABCD中，EF〃AB,DE:EA=2:3,EF=4,/

/J--------

求CD的長.（CD=10）

四、課時小結(jié)，歸納盤點。

五、作業(yè)布置：p55第4、5題

六、教學(xué)后記：

第十九課時

27.2.1相似三角形的判定（二）

教學(xué)目標(biāo)

1.初步掌握“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似”的判定方法，

以及“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似”的判定方

法.

2.經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，體驗用類比、實驗操作、分析歸

納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程；通過畫圖、度量等操作，培養(yǎng)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)猜想的

經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生探索知識的興趣，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.

3.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.

重點、難點

1.重點：掌握兩種判定方法，會運用兩種判定方法判定兩個三角形相

似.

2.難點：（1）三角形相似的條件歸納、證明；

（2）會準(zhǔn)確的運用兩個三角形相似的條件來判定三角形是否相似.

3.難點的突破方法

（1）關(guān)于三角形相似的判定方法1“三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形

相似”，教科書雖然給出了證明，但不要求學(xué)生自己證明，通過教師引導(dǎo)、

講解證明，使學(xué)生了解證明的方法，并復(fù)習(xí)前面所學(xué)過的有關(guān)知識，加深對

判定方法的理解.

（2）判定方法1的探究是讓學(xué)生通過作圖展開的，我們在教學(xué)過程中，

要通過從作圖方法的遷移過程，讓學(xué)生進(jìn)一步感受，由特殊的全等三角形

到一般相似三角形，以及類比認(rèn)識新事物的方法.

（3）講判定方法1時，要扣住“對應(yīng)”二字，一般最短邊與最短邊，

最長邊與最長邊是對應(yīng)邊.

（4）判定方法2一定要注意區(qū)別“夾角相等”的條件，如果對應(yīng)相等

的角不是兩條邊的夾角，這兩個三角形不一定相似，課堂練習(xí)2就是通過

讓學(xué)生聯(lián)想、類比全等三角形中SSA條件下三角形的不確定性，來達(dá)到加

深理解判定方法2的條件的目的的.

（5）要讓學(xué)生明確，兩個判定方法說明：只要分別具備邊或角的兩個

獨立條件一一“兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等”或“三邊對應(yīng)成比例”就能

證明兩個三角形相似.

（6）要讓學(xué)生學(xué)會自覺總結(jié)如何正確的選擇三角形相似的判定方法：

這兩種方法無論哪一個，首先必需要有兩邊對應(yīng)成比例的條件，然后又有

目標(biāo)的去探求另一組條件，若能找到一組角相等，而這組對應(yīng)角又是兩組

對應(yīng)邊的“夾角”時，則選用判定方法2,若不是“夾角”，則不能去判定

兩個三角形相似；若能找到第三邊也成比例，則選用判定方法1.

（7）兩對應(yīng)邊成比例中的比例式既可以寫成如呈二的形式，也

A'B'A'C'

可以寫成處=”的形式.

ACA'C'

（8）由比例的基本性質(zhì)，“兩邊對應(yīng)成比例”的條件也可以由等積式提

供.

教學(xué)過程：

一、課堂引入

1.復(fù)習(xí)提問：

(1)兩個三角形全等有哪些判定方法？

(2)我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？AA.

(3)全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？/\

(4)如圖，如果要判定4ABC與相似，1_____AcBZ__\c,

是不是一定需要一一驗證所有的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的關(guān)系？

二、相似三角形判定方法的探究：

2.(1)提出問題：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我們會想如

果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么能否判定

這兩個三角形相似呢？

(2)帶領(lǐng)學(xué)生畫圖探究;

(3)【歸納】

三角形相似的判定方法1如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那

么這兩個三角形相似.

(2)教師帶領(lǐng)學(xué)生探求證明方法.

4.用上面同樣的方法進(jìn)一步探究三角形相似的條件：

(1)提出問題：由三角形全等的SAS判定方法，我們也會想如果一

個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，那么能否判定這兩

個三角形相似呢？

(2)讓學(xué)生畫圖，自主展開探究活動.

(3)【歸納】

三角形相似的判定方法2兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，且它們

的夾角相等，那么這兩個三角形相似.

三、例題講解，知識應(yīng)用范例：

例1(教材P46例1)

分析：判定兩個三角形是否相似，可以根據(jù)已知條件，看是不是符合相

似三角形的定義或三角形相似的判定方法，對于(1)由于是已知一對對應(yīng)

角相等及四條邊長，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“兩組對應(yīng)邊

的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似”，對于（2）給的幾個條件全

是邊，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三組對應(yīng)邊的比相等的兩

個三角形相似”即可，其方法是通過計算成比例的線段得到對應(yīng)邊.

解：略

※例2（補(bǔ)充）己知：如圖，在四邊形ABCD中，

ZB=ZACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7-,求AD

2

的長.

分析：由已知一對對應(yīng)角相等及四條邊長，猜想應(yīng)用“兩組對應(yīng)邊的比

相等且它們的夾角相等”來證明.計算得出處=生，結(jié)合NB=NACD,

CDAC

證明△ABCs^DCA,再利用相似三角形的定義得出關(guān)于AD的比例式

—,從而求出AD的長.

ACAD

解：略（AD=^）.

4

四、課堂練習(xí)，新知應(yīng)用：

1.教材P47.2.

2.如果在AABC中NB=30°,AB=5cm,AC=4cm,在△ABC,入

中，NB=30°AB，=10cm,A，C=8cm,這兩個三角形一定相似嗎？QZ--IF

試著畫一畫、看一看？B/Y\（

3.如圖，Z^ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，

求證：△ABCS/XDEF.

A

五、課時小結(jié)，歸納盤點。J爐飛

六、作業(yè)布置：p55第1、2（1）

七、教學(xué)后記：BE

第二十課時

27.2.1相似三角形的判定（三）

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷兩個三角形相似的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.

2.掌握“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”的判定方法.

3.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.

重點、難點：

1.重點：三角形相似的判定方法3——“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相

似”

2.難點：三角形相似的判定方法3的運用.

3.難點的突破方法

（1）在兩個三角形中，只要滿足兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相

似，這是三角形相似中最常用的一個判定方法.

（2）公共角、對頂角、同角的余角（或補(bǔ)角）、同弧上的圓周角都是相

等的，是判別兩個三角形相似的重要依據(jù).

（3）如果兩個三角形是直角三角形，則只要再找到一對銳角相等即可

說明這兩個三角形相似.

一、課堂引入

1.復(fù)習(xí)提問：

（1）我們已學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？A

（2）如圖，AABC中，點D在AB上，如果AC2=AD?AB,/\

那么4ACD與AABC相似嗎？說說你的理由.

（3）如（2）題圖，AABC中，點D在AB上，如果

NACD=NB,

那么AACD與AABC相似嗎？引出課題.

二、新知探究：

1、學(xué)生活動：小組合作探究，完成教材P48的探究3.

2、學(xué)生回報探究結(jié)果，師生形成共識，做出歸納：

兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似。

三、新知應(yīng)用范例：例題講解

例1（教材P48例2）.

1、出示例題

2、引導(dǎo)分析：要證PA?PB=PC?PD,需要證空=些，則需要證明這四

PDPB

條線段所在的兩個三角形相似.由于所給的條件是圓中的兩條相交弦，故

需要先作輔助線構(gòu)造三角形，然后利用圓的性質(zhì)“同弧上的圓周角相等”

得到兩組角對應(yīng)相等，再由三角形相似的判定方法3,可得兩三角形相似.

證明：略（見教材P48例2）.

D

例2（補(bǔ)充）已知：如圖，矩形ABCD中，E為BC

上一點，DFLAE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF

的長.BEC

分析：要求的是線段DF的長，觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)AB、AD、AE和

DF這四條線段分別在AABE和4AFD中，因此只要證明這兩個三角形相似，

再由相似三角形的性質(zhì)可以得到這四條線段對應(yīng)成比例，從而求得DF的

長.由于這兩個三角形都是直角三角形，故有一對直角相等，再找出另一對

角對應(yīng)相等，即可用“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”的判定方法來證明

這兩個三角形相似.

解：略（DF=—）.

3

四、課堂練習(xí)，鞏固強(qiáng)化：

1.教材P49的練習(xí)1、2.

2.已知：如圖，Z1=Z2=Z3,求證：AABC^AADE.

3.下列說法是否正確，并說明理由.

（1）有一個銳角相等的兩直角三角形是相似三角形；

（2）有一個角相等的兩等腰三角形是相似三角形.A

五、課時小結(jié)，歸納盤點。

/4\E

六、作業(yè)布置：p55第2（2）、（3）、3題

BDC

七、教學(xué)后記：

第二十一、二十二課時

27.2.2相似三角形的應(yīng)用舉例

教學(xué)目標(biāo)：

1、進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識.

2、能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度

（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的一些實際問題.

3、通過把實際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)

建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

重點、難點：

1.重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度.

2.難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題

抽象為數(shù)學(xué)問題）.

難點的突破方法：

（1）本節(jié)主要探索的是應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)等知識去解決某

些簡單的實際問題（計算不能直接測量物體的長度和高度及盲區(qū)問題），學(xué)

生已經(jīng)學(xué)過了相似三角形的概念、判定方法及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上通過本課的

學(xué)習(xí)將對前面所學(xué)知識進(jìn)行全面應(yīng)用.初三學(xué)生在思維上已具備了初步的應(yīng)

用數(shù)學(xué)的意識，在心理特點上則更依賴于直觀形象的認(rèn)識.

(2)在實際生活中，面對不能直接測量出長度和寬度的物體及盲區(qū)問題,

我們可以應(yīng)用相似三角形的知識來測量，只要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，

建立相似三角形模型，再利用線段成比例來求解.在教學(xué)中，要通過這些知

識的教學(xué)，幫助學(xué)生從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運用所學(xué)知識解決實際問

題。另外，還可以根據(jù)學(xué)生實情，選擇一些實際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，

提高他們應(yīng)用知識解決問題的能力.

(3)課上可以通過著名的科學(xué)家名句和如何測量神秘的金字塔的高度來

激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生積極參與探索，體驗成功的喜悅.

(4)運用三角形相似的知識解決實際問題對于學(xué)生來說難度較大，可以

適當(dāng)增加課時.

教學(xué)過程：

一、趣題激疑引入：

問：世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀

之一”.塔的4個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230

多米.據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間.原高146.59

米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低.

在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯.一天，希臘國王阿馬西斯對

他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！"，這

在當(dāng)時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂?shù)?你知道泰勒斯是怎樣測

量大金字塔的高度的嗎？

二、實例探究，例題講解：

1、例1(教材P49例3——測量金字塔高度問題)1

（1）學(xué)生探究，討論，試尋求測量方案，提出設(shè)想。

（2）師生共同分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時

刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利

用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度.

解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點A是個小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由

入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形）.（解法略）

2、例2（教材P50例4——測量河寬問題）

分析：設(shè)河寬PQ長為xm,由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行

截線，故可得到相似三角形，因此有也=邇，即」^=的.再解x的方

PSSTx+4590

程可求出河寬.

解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？.

解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略）.二

3、例3（教材P50例5——盲區(qū)問題）

分析：略（見教材P50）Q

解：略（見教材P51）

三、隨堂練習(xí)，訓(xùn)練強(qiáng)化：

1、在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例.在某一時刻，有人

測得一高為L8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高

樓的高度是多少米？

2、小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處C看到

塔頂?shù)牡褂?，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到

積水處C的距離是40米.求塔高？

四、課時小結(jié)，收獲盤點：

五、作業(yè)布置：p56—57第10、11題

六、教學(xué)后記：

第二十三課時

27.2.3相似三角形的周長與面積

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相

似比的平方.

2、能用三角形的性質(zhì)解決簡單的問題.

重點、難點：

1.重點：相似三角形的性質(zhì)與運用.

2.難點：相似三角形性質(zhì)的靈活運用，及對“相似三角形面積的比等

于相似比的平方”性質(zhì)的理解，特別是對它的反向應(yīng)用的理解，即對“由面

積比求相似比”的理解.

難點的突破方法：

（1）相似三角形的性質(zhì)：①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；②相似三角形

周長的比等于相似比；③面積的比等于相似比的平方.（還可以補(bǔ)充④相似

三角形對應(yīng)高的比等于相似比）

（3）在應(yīng)用性質(zhì)2“相似三角形面積的比等于相似比的平方”時，要注

意有相似比求面積必要平方，這一點學(xué)生容易掌握，但反過來，由面積比求

相似必要開方，學(xué)生往往掌握不好，教學(xué)時可增加一些這方面的練習(xí).如：

如果兩個相似三角形面積的比為3：5,那么它們的相似比為,周

長的比為.

（4）講完性質(zhì)后，可先安排一組簡單的題目讓學(xué)生鞏固，然后再講例題.

教學(xué)過程：

一、課堂引入

1.復(fù)習(xí)提問:

已知：AABCSAABC，，根據(jù)相似的定義，我們

有哪些結(jié)論？（從對應(yīng)邊上看；從對應(yīng)角上看：）

問：兩個三角形相似，除了對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相B2-----'c

等之外，我們還可以得到哪些結(jié)論?

2、學(xué)生討論后把討論結(jié)果在班內(nèi)交流，給予肯定后引入課題：相似三

角形的其他性質(zhì)的認(rèn)識。

二、新知探究：

1.學(xué)生活動：思考探究

（1）如果兩個三角形相似，它們的周長之間有什么關(guān)系？

（2）如果兩個三角形相似，它們的面積之間有什么關(guān)系？

（3）兩個相似多邊形的周長和面積分別有什么關(guān)系？

2、匯報探究結(jié)果，引導(dǎo)推導(dǎo)（見教材P54.）

結(jié)論一一相似三角形的性質(zhì)：

性質(zhì)1相似三角形周長的比等于相似比.

即：如果4ABCB'C,且相似比為k,

AB+BC+CA,

那么---------------=k.

A'B'+B'C'+C'A'

性質(zhì)2相似三角形面積的比等于相似比的平方.

即：如果ZkABCB'C‘，且相似比為k,

S/XABC

那么k2.

^AA'B'C■

拓展：相似多邊形的性質(zhì)L相似多邊形周長的比等于相似比.

相似多邊形的性質(zhì)2.相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

三、新知應(yīng)用范例講解

1、例1（補(bǔ)充）已知：如圖：4ABCB'C',它們的周長

分別是60cm和72cm，且AB=15cm,B'C=24cm,求BC、AB、A'

B'、A'C的長.

分析：根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比可以求出BC等邊的長.

解：略（此題學(xué)生可以讓自己完成）.

2、例2（教材P53例6）

分析：根據(jù)已知可以得到匹=用」，又有夾角ND=NA,由相似三

ABAC2

角形的判定方法2可以得到這兩個三角形相似，且相似比為工，故4DEF

2

的周長和面積可求出.

解：略（見教材P54）

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化：

1.教材P54.1.

2.填空：（1）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為3：5,那么它們的相

似比為,周長的比為,面積的比為.

（2）如果兩個相似三角形面積的比為3：5,那么它們的相似比為

,周長的比為.

（3）連結(jié)三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角

形的周長比等于,面積比等于.

（4）兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm,

若較大三角形的周長是42cm,面積是12cm2,則較小三角

形的周長為cm,面積為cm2.

3.如圖，在正方形網(wǎng)格上有△AiBiCi和AAzB2c2,這

兩個三角形相似嗎？如果相似，求出△AiBiCi和AAzB2c2的

（第3題）

面積比.

五、課時小結(jié)，收獲盤點：

六、作業(yè)布置：p57第13、14題

七、教學(xué)后記：

第二十四課時

27.3位似（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位

似圖形的性質(zhì).

2.掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或

縮小.

重點、難點：

1.重點：位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖.

2.難點：利用位似將一個圖形放大或縮小.

難點的突破方法：

（1）位似圖形：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一

點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似

比又稱為位似比.

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所

以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

②兩個位似圖形的位似中心只有一個；③兩個位似圖形可能位于位似中心的

兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比.利用位似圖形的

定義可判斷兩個圖形是否位似.

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì).位似圖

形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)

點到位似中心的距離等于位似比（相似比）.

（4）兩個位似圖形的主要特征是：每對位似對應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)

過位似中心的對應(yīng)線段平行.

（5）利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，其步驟見下面例題.作圖時

要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形

的關(guān)鍵點，如四邊形有四個關(guān)鍵點，即它的四個頂點；③確定位似比，根據(jù)

位似比的取值，可以判斷是將一個圖形放大還是縮??；④符合要求的圖形不

惟一，因為所作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)（如例2）,并且同一

個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形（如例2中的圖2與圖3）.

教學(xué)過程：

一、實例引入：

1.觀察：在日常生活中，我們經(jīng)常見到下面所給的這樣一類相似的圖形，

它們有什么特征？

2.問：已知：如圖，多邊形ABCDE,把它放大為原來的2倍，即新圖

與原圖的相似比為2.應(yīng)該怎樣做？你能說出畫相似圖形的一種方法嗎？

二、新知探究：

例1（補(bǔ)充）如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果

是位似圖形，請指出其位似中心.

(1)(2)(3)(4)?

分析：位似圖形是特殊位置上的相似圖形,因此判斷兩個圖形是否為位

似圖形，首先要看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否都經(jīng)過同一

點，這兩個方面缺一不可.

解：圖（1）、（2）和（4）三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形，位似

中心分別是圖（1）中的點A,圖（2）中的點P和圖（4）中的點0.（圖

（3）中的點。不是對應(yīng)點連線的交點，故圖（3）不是位似圖形，圖（5）

也不是位似圖形）

例2（教材P61例題）把圖1中的四邊形ABCD縮小

到原來的

2

分析：把原圖形縮小到原來的工，也就是使新圖形上

2

圖1

各頂點到位似中心的距離與原圖形各對應(yīng)頂點到位似中心

的距離之比為1：2.

作法一：（1）在四邊形ABCD外任取一

點0;

（2）過點0分別作射線0A,OB,0C,

0D；

（3）分別在射線0A,OB,0C,0D±

取點A'、B'、C'、D',

/志陽OA'OB'0C'0D'1

使得——=——=——=——=一；

OAOBOCOD2

⑷順次連接A'B'、B'C'、CD1、D'A',得到所要畫的四邊形

A'B'CD',如圖2.

問：此題目還可以如何畫出圖形？

作法二：(1)在四邊形

ABCD外任取一點0；

(2)過點。分別作射線0A,

OB,0C,0D；

(3)分別在射線0A,0B,￡一二次吟

0C,0D的反向延長線上圖3

取點A'、B'、C'、D'，

,^zOA'OB'OCOD,1A

使得B——=——=——=——二—；

(4)順次連接A'B'、B‘C‘、C'D'、D'A',得到B(%+9：守

所要畫的四邊形A'B'CD'，如圖3.

作法三：(1)在四邊形ABCD內(nèi)任取一點0；

(2)過點。分另U作射線OA,OB,OC,OD；

(3)分別在射線OA,OB,OC,OD上取點A'、B'、C'、D'，

使得些=些=里=也」；

OAOBOCOD2

(4)順次連接A'B'、B'C'、C'D'、D'A',得到所要畫的四邊形

A'BzCD',如圖4.

(當(dāng)點0在四邊形ABCD的一條邊上或在四邊形ABCD的一個頂點上

時，作法略一一可以讓學(xué)生自己完成)

三、課堂練習(xí)，鞏固深化：

1.教材P61.1、2

2.畫出所給圖中的位似中心.

(1)5

1、把右圖中的五邊形ABCDE擴(kuò)大到原來的2倍.

四、課時小結(jié)，收獲盤點：

五、作業(yè)布置：p65第1、2題

第二十五課時

27.3位似（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1.鞏固位似圖形及其有關(guān)概念.

2.會用圖形的坐標(biāo)的變化來表示