萍鄉(xiāng)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

萍鄉(xiāng)市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線過點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°2．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.63．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.5．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.7．有甲、乙兩個抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.8．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.29．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.10．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.11．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.12．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當(dāng)時，則解開5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.10 B.16C.21 D.22二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，，若，則兩圓圓心的距離___________14．已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為______15．拋物線的準(zhǔn)線方程為_______.16．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數(shù)列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）18．（12分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大小；（3）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20．（12分）茶樹根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質(zhì)茶樹和非優(yōu)質(zhì)茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗(yàn)田來檢驗(yàn)?zāi)撤N茶樹在不同的環(huán)境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗(yàn)田中進(jìn)行種植，成熟后統(tǒng)計每株茶樹的茶葉產(chǎn)量，將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示：優(yōu)質(zhì)茶樹非優(yōu)質(zhì)茶樹甲試驗(yàn)田a25乙試驗(yàn)田10b已知甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.63521．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)A(0,1)，當(dāng)|AP|=|AQ|時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A2、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D3、A【解析】根據(jù)橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過原點(diǎn)O的動直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.4、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B5、C【解析】對方程進(jìn)行化簡可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.6、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.7、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.8、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式計算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)【詳解】，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在的極大值點(diǎn)為故選：C10、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫?，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C11、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個正方體的棱長為，其體積為，上面第二個正方體的棱長為，其體積為，上面第三個正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.12、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形中，只要求出球心角即可，通過球的性質(zhì)構(gòu)成的直角三角形即可解得【詳解】∵，球半徑為4，∴小圓的半徑為，∵小圓中弦長，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案為：.14、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時，取得最小值，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為作，垂直于準(zhǔn)線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點(diǎn)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)距離之和最小的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.15、【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2p=1，∴其準(zhǔn)線方程是y=，故答案為16、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱，進(jìn)而得到；設(shè)，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設(shè)，，代入橢圓方程解得：設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形對點(diǎn)：解得：根據(jù)：得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項公式，從而表示出，利用裂項相消法求和.【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選②：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以選③：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面與平面所成角的余弦值.【小問1詳解】由于平面，所以，由于,所以平面.【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面與平面所成角為，則.19、（1）證明見解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線，證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解二面角；（3）設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量的點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】證明：連接BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)?，所以四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，則又，所以平面PBD，因?yàn)槠矫鍼BD，所以【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以由?）知平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面AEC的法向量，則，即，令，則平面ACD的法向量，，所以二面角為；【小問3詳解】存在點(diǎn)F到平面AEC的距離為，理由如下：由（2）得，，設(shè)，則，所以點(diǎn)F到平面AEC的距離，解得，，所以20、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響【解析】（1）根據(jù)即可求出，從而可得到；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想求出的觀測值，與6.635比較，即可判斷【小問1詳解】甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹比例為50%，即，解得【小問2詳解】，因?yàn)?，故?9%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響21、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設(shè)直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關(guān)系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點(diǎn)結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設(shè)kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、由向量