山東省名校聯(lián)盟新教材2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

山東省名校聯(lián)盟新教材2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，都為正實數(shù)，，則的最大值是（）A. B.C. D.2．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.3．已知橢圓的左右焦點分別為，，點B為短軸的一個端點，則的周長為（）A.20 B.18C.16 D.94．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π5．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，6．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4007．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN=，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定9．若數(shù)列的前n項和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.5010．已知、為非零實數(shù)，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.11．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.2012．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________14．某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為______15．已知數(shù)列的前n項和為，則______16．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，函數(shù)，直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，的面積為，求的周長18．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.19．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求20．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）已知橢圓C：的右頂點為A，上頂點為B．離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，直線：與x軸相交于點H，過點D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標(biāo)原點）面積的取值范圍；②證明：直線過定點G，并求點G的坐標(biāo)22．（10分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個極值點分別為，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由基本不等式，結(jié)合題中條件，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，都為正實數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值.故選：D2、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B3、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B4、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進而利用球的表面積計算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5、A【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A6、B【解析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B7、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B8、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BB1C1C的法向量和直線MN的方向向量，利用兩向量垂直，得到線面平行.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有利于空間向量判斷線面平行，屬于簡單題目.9、B【解析】由前項和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項和(n∈N*)，所以.故選：B.10、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.11、A【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉(zhuǎn)化為，令則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域點，經(jīng)過時，，解得，所以此時取得最大值，即有最大值，即故選：A.12、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合待定系數(shù)法進行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于切線方程為：，因此有：，設(shè)曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于是切線方程為：，因此有：，因為，，即，因此，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解是解題的關(guān)鍵.14、【解析】將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.15、【解析】先通過裂項相消求出，再代入計算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.16、【解析】求出圓心關(guān)于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）【解析】（1）先利用向量數(shù)量積運算、二倍角公式、輔助角公式求出，再求單增區(qū)間；（2）利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周長.小問1詳解】已知，，函數(shù)，所以.因為直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以,所以，又，所以當(dāng)k=0時，符合題意，此時要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需,解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由于，所以，所以.因為，所以.因為的面積為，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周長.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得19、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問1詳解】解：直線極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線的普通方程為【小問2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號，.20、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)計算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根據(jù)對數(shù)的運算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.【小問1詳解】由，當(dāng)時，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.21、（1）；（2）①；②詳見解析；.【解析】（1）由題得，即求；（2）①由題可設(shè)，利用韋達定理法可得，進而可得四邊形ODHE面積，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得，令，通過計算可得，即得.【小問1詳解】由題可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問2詳解】①由題可知，可設(shè)直線，，由，可得，∴，，∴，∴四邊形ODHE面積，令，則，因為，所以，當(dāng)時，取等號，∴，∴四邊形ODHE面積取值范圍為；②由上可得，直線，令，得，由，可得，∴，∴直線過定點G.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，把問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，依題意，函數(shù)在上有兩個