安徽省阜陽(yáng)四中、阜南二中、阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)三校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

安徽省阜陽(yáng)四中、阜南二中、阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)三校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（）A. B.C. D.2．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離3．如圖①所示，將一邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.4．展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.5．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線(xiàn)C.拋物線(xiàn) D.圓6．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.17．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.8．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則離心率（）A. B.C. D.9．已知：，直線(xiàn)l：，M為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作的切線(xiàn)MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.410．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）11．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）A.3 B.6C.9 D.412．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線(xiàn)方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等軸（實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等）雙曲線(xiàn)的離心率_______14．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為的一次近似值，在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn).則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為的二次近似值.重復(fù)上述過(guò)程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.15．若動(dòng)直線(xiàn)分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____16．已知過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，直線(xiàn)垂直于平面分別為的中點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn).（1）證明：與不垂直；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線(xiàn)方程；（2）求直線(xiàn)的方程.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；21．（12分）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（1）若，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng)；（2）若交于，求的值22．（10分）已知雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，傾斜角為與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，求出的值，可求得拋物線(xiàn)的方程，求出的坐標(biāo)，分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值.【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程得，可得，故拋物線(xiàn)的方程為，易知點(diǎn)，由中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)且在線(xiàn)段上時(shí)，取最小值，且.故選：B.2、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.3、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，由俯視圖可以看出C點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為，于是左視圖的面積為故選：A.4、A【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式中第3項(xiàng)，所以展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：A.5、A【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.6、C【解析】代入兩直線(xiàn)垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€(xiàn)垂直，所以，解得：或.故選：C7、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛颍獾茫?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C8、D【解析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D9、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線(xiàn)l：垂直求解.【詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線(xiàn)長(zhǎng)得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線(xiàn)l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B10、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A11、B【解析】根據(jù)橢圓方程有，即可確定長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓方程知：，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.故選：B12、B【解析】由題意，，所以，即，故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知，，由，化簡(jiǎn)可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時(shí)平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.14、【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識(shí)求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線(xiàn)的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，所以切線(xiàn)的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出與平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)，再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，由，所以曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)切線(xiàn)與平行時(shí)，即，即切點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，解方程組：，，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.16、【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達(dá)定理，求得拋物線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)AB的方程為，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線(xiàn)，過(guò)切點(diǎn)A與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)的斜率為，則以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線(xiàn)，過(guò)切點(diǎn)B與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)，又因?yàn)樵谇芯€(xiàn)和，所以，所以直線(xiàn)AB的方程為，又直線(xiàn)AB過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以令，可得，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可；②由①知：，時(shí)取“=”，令，即，最后累加即可.【小問(wèn)1詳解】由已知條件得，其中的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時(shí)取“=”，令，得，∴，當(dāng)時(shí)，.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；或利用反證法；（2）利用空間向量法即求.【小問(wèn)1詳解】方法一：如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、設(shè)，因?yàn)?，，因?yàn)椋?，得，即點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，故與不垂直方法二：假設(shè)與垂直，又直線(xiàn)平面平面，所以.而與相交，所以平面又平面，從而又已知是正方形，所以與不垂直，這產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，即與不垂直得證.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，?設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，令，?因?yàn)?顯然二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值是.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)D，E坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)DE方程作答.(2)求出直線(xiàn)AH的斜率，再借助直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程求解作答.【小問(wèn)1詳解】在中，，，，則邊中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)DE斜率，于是得，即，所以直線(xiàn)的方程是：.【小問(wèn)2詳解】依題意，，則直線(xiàn)BC的斜率為，又，因此，直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為：，即.20、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，再利用公式計(jì)算即可；（2）易得平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，再利用計(jì)算即可小問(wèn)1詳解】解：（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系所以因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的的距離的距離為；【小問(wèn)2詳解】（2）因?yàn)槠矫?，取平面的法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的余弦值21、（1）6（2）2【解析】（1）通過(guò)作輔助線(xiàn)，利用拋物線(xiàn)定義，結(jié)合梯形的中位線(xiàn)定理，可求得答案；（2）根據(jù)題意可求得直線(xiàn)AB的方程為y=x+4，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由OA⊥OB，得，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算即可得答案.【小問(wèn)1詳解】取AB的中點(diǎn)為E，當(dāng)p=2時(shí)，拋物線(xiàn)為C：x2=4y，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F（0，1），過(guò)A，E，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的垂線(xiàn)，重足分別為I，H，G，在梯形ABGI中（圖1），E是AB中點(diǎn)，則2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因?yàn)锳B=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（圖2），得kOD=-1，kAB=1，則直線(xiàn)AB的方程為y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.22、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，