2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)）立體幾何單元測(cè)試

專題04立體幾何

1.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分

別是山,AB的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8mliB.47671

C.2仄以D.&＞出

答案D

解法一：;PA=PB=PC,△A3C為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，-ABC為正三棱錐，

：.PB±AC,又E,尸分別為94，AB的中點(diǎn)，＞3,.,.EbLAC,又EF±CE,

CE^}AC=C,.?.￡7?_1平面尸4。，，依_1_平面%。，:.NAPB=90o,:.PA=PB=PC=6,

.?.P—ABC為正方體的一部分，2R=j2+2+2=?,即

R=^~,：.V--TTT?3-—TIX=5/671?故選D.

2338

解法二：設(shè)Q4=P3=PC=2x,瓦尸分別為PAA8的中點(diǎn)，」.EF〃心，且EF」PB=x,

2

?.?△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.?.CT=G，

又NCEF=90°,:.CE^＞j3-x2,AE^-PA^x,

2

△A￡C中，由余弦定理可得cosZEAC=1+"（3二」）,

2x2xx

A/）1丫2,A_o.21

作包＞，47于。，?.?24=尸。，\。為AC的中點(diǎn)，cos/E4C=——=一，.?.=工=」_

PA2x4x2x

+1=2,/.x~——,x=—，PA=PB=PC—>/2,

22

又AB=BC=AC=2,??.PA,P8,PC兩兩垂直，；.2R=j2+2+2=#，:.R=^-,

2

：.V=—TlR^=—7CX=屈Tt,故選D.

338

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問題.可通過線面垂直定理，得到三棱

兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決.

2.設(shè)a,夕為兩個(gè)平面，則a〃夕的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與//平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與人平行

C.a,夕平行于同一條直線D.a,4垂直于同一平面

答案B

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與￡平行是a〃4的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知,

若a〃尸，則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a〃△的必要條件，

故選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面

平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的

錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若aua,bu/3,a〃b,則=〃，”此類的錯(cuò)誤.

3.如圖，點(diǎn)N為正方形4BCO的中心，AECO為正三角形，平面ECC平面ABCD,仞是線段E3的中點(diǎn),

則

Mi

B

A.且直線BM,EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM*EN,且直線BM,EN是異面直線

答案B

如圖所示，作EOLCP于0,連接ON,BD,易得直線BM,EN是三角形EBO的中線，是相交直線.

過M作A/r_LOD于尸，連接3廠，

???平面CDE，平面ABCZ）,白9,8,自9匚平面8E，：.￡0，平面438,用F_L平面ABCO,

.?.△MFB與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知EO=Q,ON=1,EN=2,

MF=B,BF=',：.BM=幣，：.BM手EN,故選B.

22

名師點(diǎn)評(píng)本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.解答本題時(shí)，先利用垂

直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

4.祖曬是我國(guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“‘累勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖眼原理，利用該原理可

以得到柱體的體積公式V^.=Sh,其中S是柱體的底面積，〃是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單

位：cm）,則該柱體的體積（單位：co?）是

A.158B.162

C.182D.324

答案B

由三視圖得該棱柱的高為6,底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4,下底為6,

2+6?4+6?],.

高為3,另一個(gè)的上底為2,下底為6,高為3,則該棱柱的體積為------x3d-------x3x6=162.

22)

故選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體——棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積，

常規(guī)題目.難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、視圖用圖能力、基本計(jì)算能力的考查.易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確

還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算.

5.設(shè)三棱錐L4BC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱四上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記直線尸3與直線

AC所成的角為a,直線P8與平面ABC所成的角為/?,二面角P-AC-8的平面角為則

A.0<y,a<yB.夕<a,p<y

C.P<a,y<?D.a<p,y<B

答案B

如圖，G為AC中點(diǎn)，連接VG,V在底面ABC的投影為。，則產(chǎn)在底面的投影。在線段AO上，過。

作?！甏怪庇贏C于E,連接PE,BD,易得PE〃VG,過P作「/“AC交VG于尸，連接BR過。作

DH//AC,交.BG于H，則ct=NBPF,0=NPBD,y=NPED,結(jié)合△PFB,均為

直角三角形，可得cosa=￡￡=g￡=2"<g2=cos/7,即。>￡；

PBPBPBPB

PDPD

在Rt^PE。中，tany=>=tan(3,即/>，，綜上所述，答案為B.

名師點(diǎn)評(píng)本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以

及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用

圖形特征，則可事倍功半.常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角，未能想到利用“特殊

位置法“，尋求簡(jiǎn)便解法.

6.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABC。-A4GR挖去四棱

錐O—EFGH后所得的幾何體，其中0為長(zhǎng)方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，

AB=6C=6cm,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cm\不考慮打印損耗，制作該模型所

需原料的質(zhì)量為____________g.

答案H8.8

1,

由題意得，Sm^EFCH=4x6-4x-x2x3=12cm,

7四棱錐°-EFGH的高為3.，J”gl2x3=12cm3.

又長(zhǎng)方體ABCD—AgG。的體積為匕=4x6x6=144cm\

所以該模型體積為V=匕一V°_EFGH=144-12=132cm3,

其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求

解.根據(jù)題意可知模型的體積為長(zhǎng)方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量

即可.

7.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,

那么該幾何體的體積為.

答案40

如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱MP。A-NQG4之后余

下的幾何體,

則幾何體的體積V=4'—gx（2+4）x2x4=40.

名師點(diǎn)評(píng)本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體，再根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積.屬于中等

題.（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面

的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常

用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

8.已知/,〃，是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:

①/_Lm；②m〃a；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

答案如果/_La,加〃則/_Lm.

將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：

(1)如果LLa,加〃則/_Lm,正確；

(2)如果/_L。，ILm,則加〃a,不正確，有可能加在平面1內(nèi)；

(3)如果/_1_如m//af貝!J/J_a,不正確，有可能/與。斜交、I//a.

故答案為：如果/_La,則/_!_m.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷，分別作

為條件、結(jié)論加以分析即可.

9.己知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為正的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為君.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條

側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

.71

答案；

由題意，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為0的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為逐，借助勾股定理，可知四棱錐的高為

75^1=2.

若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的

高為1，圓柱的底面半徑為,，

2

故圓柱的體積為兀xpQxl=N.

⑶4

名師點(diǎn)評(píng)根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑.注意本題中圓柱的底面半徑是棱錐底面

對(duì)角線長(zhǎng)度的一半、不是底邊棱長(zhǎng)的一半.

10.如圖，長(zhǎng)方體ABCO—AgGA的體積是120,E為CG的中點(diǎn)，則三棱錐E-BC。的體積是▲.

答案10

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCO—AgG。的體積為120,所以=120,

因?yàn)镋為CC的中點(diǎn)，所以CE=；CG，

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CG，底面ABCO,

所以CE是三棱錐E-BCO的底面BCO上的高，

所以三棱錐E-8C￡）的體積=—X120=10.

3232212

名師點(diǎn)評(píng)本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清

整體和局部的關(guān)系，靈活利用"割''與"補(bǔ)”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得

三棱錐的體積.

11.如圖，直四棱柱ABCQ-AiBiCQi的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是BC,

BB\,AQ的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角A-MALN的正弦值.

（1）見；（2）叵.

答案

5

(1)連結(jié)SC,ME.

因?yàn)镸E分別為8田，BC的中點(diǎn),

所以且ME=，8|C.

2

又因?yàn)榭蔀?。的中點(diǎn)，所以NL>=LAI￡>.

2

由題設(shè)知AI8I40C,可得囪C^AQ，故ME&ND,

因此四邊形MNOE為平行四邊形，MN//ED.

又MN(Z平面EDCi,所以MN〃平面CQE.

(2)由已知可得OE_LD4.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系上町心則

A(2,0,0),4(2,0,4),MN(l,0,2)，不=(0,0,-4),4^7=(-1,73,-2),

m=(-1,0,-2),麗=(0,-30).

m-A.M=0

設(shè)/〃=(x,y,z)為平面41MA的法向量,則2L

%44=0

—X+gy-2z=0,

所以《..可取，〃=(6,1,0).

-4z=0.

n-MN-0,

設(shè)"=(p,4r)為平面AMN的法向量,則，

n-A]N=0.

所以「島二°，可取〃=(2,0,-1).

-p-2r=0.

于是cos(?i,〃〉=-1nH2G屈

ImWn|~2xy/5~~5~

所以二面角A-"A-N的正弦值為MO.

5

名師點(diǎn)評(píng)本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用

垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)

題型.

12.如圖，長(zhǎng)方體ABCM山的底面A8co是正方形,點(diǎn)E在棱上，BE±ECi.

(1)證明：8E_L平面E3G；

(2)若AE=4E,求二面角8-EC-G的正弦值.

答案(1)證明見；(2)旦.

2

(1)由已知得，&GJ_平面AB&A，6￡u平面AB44,

故4G1BE.

又BELECi，所以平面E4C-

(2)由(1)知NB￡：4=90。.由題設(shè)知RtA4BE也RtA4BjE,所以NAEB=45°,

故AE=AB，M=2AB.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，￡)/的方向?yàn)閤軸正方向,|萬4|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則C(0,1,0),8(1,1,0),G(0，1，2),￡(1,0,1),CB=(1,0,0).CE=(1,-1,1),

CC,=(0,0,2).

設(shè)平面EBC的法向量為"=(x,y,x),則

CBn=0,fx=0,

《一即《

CEn=0,[x-y+z=0,

所以可取〃=(0,-1,一1).

設(shè)平面ECG的法向量為〃?=(x,y,z),則

■m=Q,(2z-0,

即《

m=0,[x_y+z=0.

所以可取m=(1,1,0).

nm1

于是cos<n,m>=------=——.

|n||m|2

所以，二面角B—EC—G的正弦值為且?

2

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直以及線面垂直的判定，考查了利用空間向

量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

13.圖1是由矩形ADEB,R3ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,

將其沿AB,BC折起使得BE與8F重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

答案(1)見;(2)30°.

(1)由已知得CG//BE,所以4O/CG,故A￡>,CG確定一個(gè)平面，從而A,C,G,。四

點(diǎn)共面.

由已知得AB1BC,故平面BCGE.

又因?yàn)锳BU平面ABC,所以平面ABCJ_平面BCGE.

(2)作垂足為H.因?yàn)镋Hu平面8CGE,平面8CGE_L平面ABC,所以E/7J.平面A8C.

由己知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=K.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，比的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”-孫z,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,百)，CG=(1,0,e)，AC=(2,-1,0).

設(shè)平面ACG。的法向量為"=G,y,z),則

CGn=0,\x+s13z=0,

s____即<

ACn=0,〔2x-y=0.

所以可取〃=(3,6,-G).

又平面BCGE的法向量可取為/n=(0,1,0),所以COS〈〃,7〃〉=旦”-=蟲.

\n\\m\2

因此二面角B-CG-A的大小為30。.

名師點(diǎn)評(píng)本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問題，考查考生在折疊過程中哪些量是不

變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最后通過建系的向量解法將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面

角問題，突出考查考生的空間想象能力.

14.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PA1WABCD,AD1.CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在尸C上，且竺=」.

PC3

(1)求證：CO,平面PA。；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)G在P8上，且￡9=2.判斷直線4G是否在平面AE尸內(nèi)，說明理由.

PB3

E

BC

答案(1)見；(2)立；(3)見.

3

(1)因?yàn)镻A_L平面ABC。，所以PAJ_CD

又因?yàn)锳O_LCO,所以CD1?平面PAD.

(2)過A作AO的垂線交BC于點(diǎn)M.

因?yàn)镻A_L平面ABC。，所以P4_LAM,PA±AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)RZ,則A(0,0,0),8(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,2).

因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn)，所以E(0,1,1).

所以衣=((),1,1),PC=(2,2,-2),AP=((),(),2).

所以而=」定

=12,2,—21,=AP+PF=

3(333J(333)

設(shè)平面AE尸的法向量為"=(x,y,z),則

[n-AE=0,[y+z=°，

"—.即＜224八

n-AF=0,尸+：7〉+;2=°?

〔333

令z=l,貝=x=-l.

于是〃二(一1,-1,1).

又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=(1,0,0),所以cos〈〃,p〉=」*=—二

Inilp|3

由題知，二面角FTE-P為銳角，所以其余弦值為亞

3

(3)直線AG在平面AEF內(nèi).

PG2—?

因?yàn)辄c(diǎn)G在尸3上，且=—,PB—(2,—1,—2),

PB3

所以用=2而=(△,-23]而=而+用=(822]

3(333)(333)

由(2)知,平面4￡尸的法向量〃=(一1,一1,1).

―.422

所以AG-〃=——+—+—=0.

333

所以直線4G在平面AE尸內(nèi).

名師點(diǎn)評(píng)(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(3)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面AEb的法向量和直線AG的方向向量即可判斷直線是否在

平面內(nèi).

15.如圖，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

(1)求證：跖〃平面AOE；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)若二面角后一如一尸的余弦值為工，求線段CF的長(zhǎng).

3

48

答案(1)見；(2)—；(3)—.

97

依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以通，而，正的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐

標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),。(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CE=6(//>?),

則尸(1,2,〃).

(1)依題意，通=(1,0,0)是平面AO石的法向量，又而=(0,2,〃)，可得麗?麗=0,又因?yàn)橹?/p>

線3FZ平面AOE,所以BF〃平面A￡>E.

(2)依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).

n-BD-0,f-x+y=0,

設(shè)”=(x,y,z)為平面BOE的法向量，則4_即/"不妨令z=l,

n-BE=0,〔一x+2z=0,

可得〃=(2,2,1).因此有cos(赤,〃)=三〃=一±

'/|CE||n|9

4

所以，直線CE與平面所成角的正弦值為一.

9

fm-BD-0,f-x+y=0,

⑶設(shè)m=(x,y,z)為平面B/W的法向量，貝必_.即！"

mBF=0,(2y+〃z=0,

不妨令y=l,可得機(jī)

1Q

由題意，有|cos〈/n1〉|=-,解得。=2.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

37

Q

所以，線段CF的長(zhǎng)為2.

7

名師點(diǎn)評(píng)本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向

量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

16.如圖，在直三棱柱4BC-A由?中，D,E分別為BC,4c的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：（I）4囪〃平面DEC”

（2）BE±CiE.

答案（1）見；（2）見.

（1）因?yàn)?。，E分別為BC,4c的中點(diǎn)，

所以瓦3〃AB.

在直三棱柱N8C-42I。中，AB//AtBi,

所以4Bi〃ED.

又因?yàn)镋Du平面。EG,450平面￡＞芯?,

所以43〃平面。EG.

（2）因?yàn)锳B=8C,E為AC的中點(diǎn)，所以8EL4c.

因?yàn)槿庵?8C-48G是直棱柱，所以CGJ_平面ABC.

又因?yàn)锽Eu平面ABC,所以CC」BE.

因?yàn)镃iCu平面AIACCI,ACu平面AMCCi,CiCHAC=C,

所以BE,平面4ACG.

因?yàn)镚Eu平面4ACG，所以BEIGE.

名師點(diǎn)評(píng)本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想

象能力和推理論證能力.

17.（本小題滿分is分）如圖，已知三棱柱ABC-AQC，平面4ACG平面ABC,NABC=90°,

NBAC=30°,A,A=A,。=AC,E,F分別是AC,AS的中點(diǎn).

(1)證明：EFYBC；

(2)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.

3

答案(1)見；(2)j.

方法一：

(1)連接4E,因?yàn)锳iA=AC,E是AC的中點(diǎn)，所以4E_LAC.

又平面Ai4CG_L平面48C,4Eu平面A4CG,

平面AiACCiCl平面ABC=4C,

所以，AiEL平面ABC,則A|EJ_BC.

又因?yàn)?尸〃AB,ZABC=90°,故8C_L4E

所以BC_L平面4EF.

因此EFLBC.

(2)取BC中點(diǎn)G,連接EG,GF,則EGF4是平行四邊形.

由于4E_L平面A8C,故4ELEG,所以平行四邊形EGE4i為矩形.

由(1)得BCJ_平面EGE4i,則平面ABC,平面EGF4,

所以E尸在平面4BC上的射影在直線4G上.

連接AiG交EF于。，則/EOG是直線EF與平面4BC所成的角(或其補(bǔ)角).

不妨設(shè)AC=4,則在RsAiEG中，AiE=2百，EG=6

由于。為AiG的中點(diǎn)，故EO=OG=49=叱3

22

3

因此，直線EF與平面48c所成角的余弦值是

方法二：

(1)連接4E,因?yàn)锳A=4C,E是AC的中點(diǎn)，所以4E_LAC.

又平面AIACCIJ_平面ABC,AiEu平面4ACC|,

平面AiACGn平面48C=AC,所以，AiEJ_平面ABC.

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC,E4為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Efyz.

不妨設(shè)AC=4,則

4(0,0,26)，8(6,I,0),4(g,3,28)，F(xiàn)(—,|,273)rC(0,2,0).

因此,之,2底,前=(一6,1,0).

2

由萬灰=0得。LBC.

(2)設(shè)直線EF與平面AiBC所成角為仇

由(1)可得前=(-6,1,0),而=(0,2,-26).

設(shè)平面4BC的法向量為"=(x,y,z),

->/3x+y=0

y-yfiz=0

取”=（1,6,1）,故singgcos（前⑺1=]：；='，

3

因此，直線E尸與平面ABC所成的角的余弦值為j.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想

象能力和運(yùn)算求解能力.

18.云南省昆明市2020屆高三高考5月模擬數(shù)學(xué)試題已知直線/，平面a,直線〃〃?平面夕，若C”,

則下列結(jié)論正確的是

卜.1〃B或IaBB.inm

C.ml.aD.IX.m

答案A

對(duì)于A,直線/，平面a,a，（3,貝i"〃￡或/u尸，A正確；

對(duì)于B,直線/，平面a,直線機(jī)〃平面夕，且a，/?,則〃/加或/與，"相交或/與，"異面，；.B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,直線加〃平面夕，且。，月，則加_La或"?與a相交或mua或加〃a，.?（錯(cuò)誤；

對(duì)于D,直線/_L平面a,直線機(jī)〃平面尸，且。，尸，則/〃加或/與加相交或/與優(yōu)異面，；.D錯(cuò)

誤.

故選A.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了空間平面與平面關(guān)系的判定及直線與直線關(guān)系的確定問題，也考查了幾何符號(hào)語(yǔ)

言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

19.陜西省2020屆高三年級(jí)第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題已知三棱柱ABC-4AG的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A在

底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線A3與CG所成的角的余弦值為

AB3

B.-

44

「755

D.-

44

答案B

如圖，設(shè)8c的中點(diǎn)為。，連接A。、AD、48,

易知NAAB即為異面直線AB與CC1所成的角（或其補(bǔ)角）.

設(shè)三棱柱ABC-A4cl的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1,

則AO=g\D=~,A、B=顯,

2212

由余弦定理，得cos"AB=A」普="J2=2.

2AA,鈣二2xlxl=Z

故應(yīng)選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查了異面直線所成角的求解，通過平移找到所成角是解這類問題的關(guān)鍵，若平移

不好作，可采用建系，利用空間向量的運(yùn)算求解，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)，易知即為異面直線

A8與CG所成的角（或其補(bǔ)角），進(jìn)而通過計(jì)算^ABA的各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求解即可.

20.四川省宜賓市2020屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形4BCD中，民廠分別

是3C,CD的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿及￡7?把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B,C,O三點(diǎn)重合，重合后

的點(diǎn)記為P，則四面體P-AEb的高為

￡

A.

3

3

C.

4

答案B

如圖，由題意可知Q4,PE,PF兩兩垂直,

???/》,平面「石尸，

xxxx

VA_PEF=—S&PEF-PA=~-ll2=—,

設(shè)尸到平面AEb的距離為〃，

]I]3

又S/\FF=*——xlx2——xlx2——xlxl=-,

"2222

..z_13,_h

??VP-AEF=~X2,

h142

??一=—，故//=一，

233

故選B.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了平面幾何的折疊問題，空間幾何體的體積計(jì)算，屬于中檔題.折疊后，利用

V

匕-PEF=P-AEF即可求得P到平面AEF的距離?

21.廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2020屆高三適應(yīng)性考試（6月）數(shù)學(xué)試題在三棱錐P-ABC中，平面243_1平

面ABC,ZXABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，△PAB是以A6為斜邊的等腰直角三角形，則該三棱錐

外接球的表面積為.

答案48兀

如圖，在等邊三角形ABC中，取AB的中點(diǎn)尸，設(shè)等邊三角形ABC的中心為O,連接尸尸，CF,OP.

由AB=6,^AO=BO=CO=ZcF=2g,OF=g,

3

MAB是以AB為斜邊的等腰角三角形，.?.PF±AB,

又平面平面ABC,平面ABC,

.'.PF工OF,OP=Jo尸2+尸產(chǎn)2=2百,

則。為棱錐P-ABC的外接球球心，外接球半徑R=0C=2百，

???該三棱錐外接球的表面積為4兀x