專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題【模型展示】特點解直角三角形的動點問題，一般分三步走第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．結論直角三角形的性質并能靈活應用【題型演練】一、單選題1．如圖，M，A，N是直線l上的三點，，P是直線l外一點，且，若動點Q從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在形狀的變化過程中，依次出現的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等邊三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等邊三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形二、填空題2．如圖，中，，，cm，為的中點，若動點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為_____________．3．如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，將沿折疊到，連接，當是直角三角形時，的長為___________．4．已知：如圖，正方形中，，，相交于點O，E，F分別為邊，上的動點（點E，F不與線段，的端點重合）．且，連接，，．在點E，F運動的過程中，有下列四個說法：①是等腰直角三角形；②面積的最小值是；③至少存在一個，使得的周長是；④四邊形的面積是1．其中正確結論的序號有_______________．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點D是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．6．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點P為∠ABC的邊BC上一動點，則當BP2＝________cm時，△BAP為直角三角形．7．如圖，長方形中，，．為邊上的一個動點，將沿折疊，使點落在處．題：當時，的長為___________．題：當為直角三角形時的長為____________．8．如圖，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中點，若點E是直線BC上的動點，連接BF，則BF的最小值是_____．9．如圖，等邊的邊長是，點是線段上一動點，連接，點是的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，當是直角三角形時，則線段的長度為______．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點M是DE上一個動點，則線段CM長的最小值為_________．三、解答題11．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設運動的時間為秒．(1)求邊的長；(2)當為直角三角形時，求t的值；(3)當為等腰三角形時，求t的值．12．如圖，在矩形中，設，，且．(1)若為方程的兩根，且，求的值．(2)在（1）的條件下，為上一點（異于兩點），在什么位置時，為直角三角形？(3)為上一動點（異于兩點），當滿足什么條件時，使為直角三角形的點有且只有一個？請直接寫出滿足的數量關系．13．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點，同時從，兩點出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點運動的速度是，點運動的速度是，當點到達點時，、兩點都停止運動，設運動時間為，解答下列問題：(1)當點到達點時，與的位置關系如何？請說明理由.(2)在點與點的運動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出，若不能，請說明理由.(3)則當為何值時，是直角三角形？14．已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E是直線AD上的動點，將BE繞點B順時針方向旋轉得到BF，連接EF、CF、AF．(1)如圖1，當點E在線段AD上時，猜想∠AFC和∠FAC的數量關系；（直接寫出結果）(2)如圖2，當點E在線段AD的延長線上時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的結論，若不成立，請寫出你的結論，并證明你的結論；(3)點E在直線AD上運動，當△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出∠EBC的度數．15．如圖，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，點D是AC上一個動點，過點D作DF⊥BC于點F，過點F作，交AB于點E．（1）當四邊形ADFE為菱形時，則∠AED＝_____．（2）當△DEF為直角三角形時，則CD＝_____．16．如圖，矩形OABC頂點B的坐標為(8，3)，定點D的坐標為(12，0)，動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR，設運動時間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S．(1)當t=___________時，△PQR的邊QR經過點B(2)求S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．17．如圖，在中，，，P是BC邊上一動點，，過A點作射線，交射線PN于點D．(1)求AC的長；(2)求證：；(3)連接CD，若為直角三角形，求BP的長．18．矩形的邊在x軸上，點C、D在第一象限，且，點A的坐標為，如圖（1）．(1)直接寫出點C的坐標為（，）；(2)過點A的直線與矩形的一條邊交于點E，如果直線把矩形分成兩部分圖形的面積比為，求直線的解析式；(3)P是線段上動點，，連接，以為直角邊在的逆時針方向作等腰直角三角形，且，，如圖（2）．①求出點Q的坐標（用含m的式子表示）；②連接，當線段的長度最短時，求m的值；19．問題的提出：如果點P是銳角內一動點，如何確定一個位置，使點P到的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最??？(1)問題的轉化：如圖，把繞點A逆時針旋轉60°得到，連接，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：；(2)問題的解決：當點P到銳角的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，則∠APB的度數是___________，∠APC的度數是___________；(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．20．如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點，直線與x軸交于點B，點M，N分別是直線，在第一象限內的動點，且，連接MN．(1)直接寫出m的值，點B的坐標，及的度數；(2)求的值；(3)當是直角三角形時，直接寫出點M的坐標．21．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點B和點C在x軸上，點A在y軸上，，，且a，b滿足．(1)證明為等邊三角形；(2)現有一動點P從點A沿y軸負方向運動，速度為1個單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點Q作軸，垂足為D，設點P的運動時間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關系式；（用含t的式子表示d）(3)在（2）問的條件下，已知，當為等腰直角三角形時，求t的值，并求出此時直線與x軸的交點E的坐標．22．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點（與端點不重合），且，設．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．23．如圖，矩形頂點的坐標為，定點的坐標為．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿軸的正方向勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸的負方向勻速運動．、兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設運動時間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當______時，的邊經過點；(2)求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍．24．如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB＝90°，點A坐標（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點D是線段BC上一動點（不與點B、點C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．(1)求點B、點C的坐標；(2)求直線AC的解析式；(3)若點N在射線DE上，是否存在點N使BCN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．(4)連接AD，當AD平分∠CAB時，請直接寫出直線AD的解析式．25．已知是等腰直角三角形，動點在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰，探究并解決下列問題：(1)如圖，若點在線段上，，，則線段______；______；(2)如圖，若點在的延長線上，猜想、、的數量關系______，并證明；(3)如圖，若動點滿足，則的值為______．專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題【模型展示】特點解直角三角形的動點問題，一般分三步走第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．結論直角三角形的性質并能靈活應用【題型演練】一、單選題1．如圖，M，A，N是直線l上的三點，，P是直線l外一點，且，若動點Q從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在形狀的變化過程中，依次出現的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等邊三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等邊三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形【答案】D【分析】根據，按照在線段和線段上進行分類討論即可．【詳解】解：∵，∴，①當在線段上，只能形成等腰三角形，當時，為等腰三角形；②當在線段上時，逐漸減小，當時，為直角三角形，此時；當時，為等邊三角形，此時；當時，∵，∴，∴為直角三角形，此時；∴形狀的變化過程中，依次出現的特殊三角形是：等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形；故選D．【點睛】本題考查特殊三角形的判定．熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判定方法是解題的關鍵．二、填空題2．如圖，中，，，cm，為的中點，若動點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿著的方向運動，設點的運動時間為秒（），連接，當是直角三角形時，的值為_____________．【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的長，再分①∠BDE＝90°時，DE是△ABC的中位線，然后求出AE的長度，再分點E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可；②∠BED＝90°時，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求出BE，然后分點E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°時，∵，∴，∴∴AE＝（cm），點E在AB上時，t＝2÷1＝2（秒），點E在BA上時，點E運動的路程為4×2?2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°時，BE＝＝0.5（cm），點E在AB上時，t＝（4?0.5）÷1＝3.5（秒），點E在BA上時，點E運動的路程為4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵綜上所述，t的值為2或3.5或4.5或6，故答案為：2或3.5或4.5或6．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是分情況討論．3．如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，將沿折疊到，連接，當是直角三角形時，的長為___________．【答案】或5【分析】分兩種情況進行分類討論：①當時，求CE的長；②當時，求CE的長．【詳解】解：①如圖1，當時，，，，，是的中點，．②如圖2，當時，由折疊性質知，，三點共線．，在中，，設，，在中，，．綜上所述，CE的長為：5或．【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學會用分類討論的思想思考問題是解題的關鍵．4．已知：如圖，正方形中，，，相交于點O，E，F分別為邊，上的動點（點E，F不與線段，的端點重合）．且，連接，，．在點E，F運動的過程中，有下列四個說法：①是等腰直角三角形；②面積的最小值是；③至少存在一個，使得的周長是；④四邊形的面積是1．其中正確結論的序號有_______________．【答案】①②④【分析】證明，可得，可得到①；再由當時，最小，此時，可得面積的最小值是，可得到②正確；設，則，根據勾股定理可得，從而得到，得③錯誤；再根據，可得，可得④正確；即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故①正確；當時，最小，此時，∴面積的最小值是，故②正確；∵，∴，設，則，∴，∴的周長是，∵，∴，∴∴不存在一個，使得的周長是，故③錯誤；∵，∴，故④正確；故答案為：①②④【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質、勾股定理以及等腰直角三角形的性質．注意掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點D是AB的中點，點E是邊BC上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．【答案】2或4##4或2【分析】當△為直角三角形時，需要分類討論，點，，分別為直角頂點時，畫出圖形求解即可．【詳解】解：在中，，，，點是的中點，，，，由折疊可知，，∴①由點運動可知點不可能是直角頂點；②如圖，當點為直角頂點，即，，，，，，；③如圖，當點是直角頂點時，即，連接，在△中，∴△，，故答案為：或4．【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．6．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點P為∠ABC的邊BC上一動點，則當BP2＝________cm時，△BAP為直角三角形．【答案】2或8【分析】由于直角頂點不能確定，故應分∠APB=90°與∠BAP=90°兩種情況進行分類討論．【詳解】解：①當∠APB＝90°時，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴，∴，∴；②當∠BAP＝90°時，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴AB＝AP2＝2，∴．故本題答案為：2或8．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解．7．如圖，長方形中，，．為邊上的一個動點，將沿折疊，使點落在處．題：當時，的長為___________．題：當為直角三角形時的長為____________．【答案】

或者1【分析】A題：設，則，根據矩形折疊性質易得三點共線，由勾股定理求出的長度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到的長度；B題：找出直角三角形，再根據勾股定理分情況求解即可．【詳解】解：題：設，則，由折疊的性質可得，∵，∴三點共線，根據勾股定理得，，∴，∴，∴，解得：，∴，題：當，；當，如圖所示恰好落在上，，則，故答案為：；或1．【點睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關鍵是熟悉折疊的性質和勾股定理．8．如圖，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中點，若點E是直線BC上的動點，連接BF，則BF的最小值是_____．【答案】2【分析】由△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，可得出：△ABC∽△ADE，根據相似三角形的性質得到∠ADE=∠ABE，推出點A，D，B，E四點共圓，得到∠DBE=90°，根據直角三角形的性質得到，當DE最小時，BF的值最小，DE最小，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：如圖，∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4∴∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABE，∴點A，D，B，E四點共圓，∵∠DAE=90°，∴∠DBE=90°，∵F是DE的中點，，∴當DE最小時，BF的值最小，∵若點E是直線BC上的動點，∴當AE⊥BC時，AE最小，此時，DE最小，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，∴，，∵△ABC∽△ADE，，，∴，∴BF=2，∴BF的最小值是2．故答案為:2．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積公式，四點共圓，直角三角形的性質，確定出當DE最小時，BF的值最小是解題的關鍵．9．如圖，等邊的邊長是，點是線段上一動點，連接，點是的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，當是直角三角形時，則線段的長度為______．【答案】或【分析】是直角三角形分三種情況討論：①當時，當點在上時，根據等邊三角形的性質得，根據旋轉的性質得，根據等腰三角形三線合一，得．②延長到使，連接、，過作交延長線于，根據相全等三角形的判定得≌，即，設，則，由旋轉性質得出，再由相似三角形的判定得出∽，再由相似的性質得出，即；③當時，，不成立．【詳解】解：當時，當點在上時，是等邊三角形且邊長為，，，，旋轉得到線段，，，，，是的中點，，，即時，，；，如圖，延長到使，連接、，過作交延長線于，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，，，設，則，是中點，，由旋轉性質可知，，，，，∽，，，，，，，；當時，，，不成立，綜上，或；故答案為：或．【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉問題．通過旋轉構造另外的等邊三角形以及全等手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點M是DE上一個動點，則線段CM長的最小值為_________．【答案】【分析】連接CE，過點C作于點H，首先證明，可推導，，再證明，在中，由勾股定理計算，然后借助三角形面積求出，根據“垂線段最短”可知，當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．【詳解】解：連接CE，過點C作于點H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點M是DE上一個動點，則當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，此時．故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構建全等三角形是解題關鍵．三、解答題11．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設運動的時間為秒．(1)求邊的長；(2)當為直角三角形時，求t的值；(3)當為等腰三角形時，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出結論；（2）由題意可得：，，然后根據直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識即可解答；（3）當為等腰三角形，根據等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應的圖形，根據三線合一、勾股定理等知識即可解答．（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：當時，點與點重合，∴，即；當時，如下圖所示：∴．∵，∴，解得：．綜上：當為直角三角形時，或；（3）解：當時，如下圖所示：∵，∴，即．當時，如下圖所示：∴；當時，如下圖所示：則，，在中，，即，解得：．綜上：當為軸對稱圖形時，或或．【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質，掌握勾股定理、等腰三角形的性質是解決此題的關鍵．12．如圖，在矩形中，設，，且．(1)若為方程的兩根，且，求的值．(2)在（1）的條件下，為上一點（異于兩點），在什么位置時，為直角三角形？(3)為上一動點（異于兩點），當滿足什么條件時，使為直角三角形的點有且只有一個？請直接寫出滿足的數量關系．【答案】(1)(2)在或位置時，為直角三角形(3)【分析】（1）根據矩形性質求出斜邊與兩直角邊的關系，根據兩直角邊又是一元二次方程的解，由此即可求解；（2）在矩形中，為直角三角形，則可找出，根據對應邊的比相等，即可求解；（3）求唯一值，可以根據一元二次方程的判別式來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊與點的數量關系，由此即可求解．（1）解：∵且是矩形的對角線，在中，，，∴，即，∵為方程的兩根，根據韋達定理得，∴，，∴，解一元二次不等式得，，．當時，原方程得，則不符合題意，故舍去；當時，原方程得，則，∴，，符合題意，故答案是：．（2）解：根據（1）得，，，如圖所示，設，則，若為直角三角形，在矩形中，，∴，即，解分式方程得，，，∴在或位置時，為直角三角形．（3）解：根據題意設，則，若為直角三角形，在矩形中，，∴，即，，∵點有且只有一個，∴，即，∴，故答案是：．【點睛】本題主要考查的矩形的性質，相似三角形的運用，理解和掌握矩形的性質，相似三角形的性質是解題的關鍵．13．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點，同時從，兩點出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點運動的速度是，點運動的速度是，當點到達點時，、兩點都停止運動，設運動時間為，解答下列問題：(1)當點到達點時，與的位置關系如何？請說明理由.(2)在點與點的運動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出，若不能，請說明理由.(3)則當為何值時，是直角三角形？【答案】(1)與垂直，見解析(2)能，4(3)秒或秒【分析】（1）根據題意求出的長度，則可知點為的中點，根據等邊三角形的性質即可得出答案；（2）若是等邊三角形，則，列出相應方程求解即可；（3）分兩種情況進行討論：當時；當時．（1）當點到達點時，與垂直，理由如下：∵，∴當點到達點時，可得，∴點為的中點，∴；（2）假設在點與點的運動過程中，能成為等邊三角形，∴，∴，解得，∴當時，是等邊三角形；（3）根據題意得，，∴，當時，∵，∵，∴，即，解得秒；當時，同理可得，解得秒，∴當秒或秒，是直角三角形．【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含的直角三角形，等邊三角形的性質，幾何動點問題，讀懂題意，根據題意列出相應的方程是解本題的關鍵．14．已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點D，點E是直線AD上的動點，將BE繞點B順時針方向旋轉得到BF，連接EF、CF、AF．(1)如圖1，當點E在線段AD上時，猜想∠AFC和∠FAC的數量關系；（直接寫出結果）(2)如圖2，當點E在線段AD的延長線上時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明你的結論，若不成立，請寫出你的結論，并證明你的結論；(3)點E在直線AD上運動，當△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出∠EBC的度數．【答案】(1)證明見解析(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）由旋轉的性質可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可證，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性質可得結論；（2）由旋轉的性質可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可證，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性質可得結論；（3）由全等三角形的性質和等邊三角形的性質可得AB=AE，再分這情況討論，結合等腰三角形的性質可求解．（1）解：，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴，∵將BE繞點B順時針方向旋轉得到BF，∴BE=BF，∠EBF=，∴∠EBF=∠ABC，∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，∴（SAS）∴∠BAE=∠BCF=，∴∠ACF=，∴∠AFC+∠FAC=；（2）（1）的結論仍然成立，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=，∵將BE繞點B順時針方向旋轉得到BF，∴BE=BF，∠EBF=，∴∠EBF=∠ABC，∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，∴（SAS）∴∠BAE=∠BCF=，∴∠ACF=，∴∠AFC+∠FAC=；（3）如圖，當點E在點A下方時，∵△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF，∵△ABE≌△CBF，∴CF=AE，∴AC=AE=AB，∴∠ABE=，∴∠EBC=，如圖，當點E在點A上方時，同理可得：∴∴∠EBC=．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．15．如圖，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，點D是AC上一個動點，過點D作DF⊥BC于點F，過點F作，交AB于點E．（1）當四邊形ADFE為菱形時，則∠AED＝_____．（2）當△DEF為直角三角形時，則CD＝_____．【答案】

60°

3或4.8【分析】（1）根據勾股定理逆定理可得，利用菱形的性質即可得出答案；（2）利用分類討論結合①當時．②當時，③當時，分別分析得出符合題意的答案．【詳解】解：（1）∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵四邊形ADFE為菱形，∴，∴．故答案為：；（2）①當時．∵，∴，∴，∴這種情況不存在；②當時，如圖2，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，即，解得：，③當時，如圖3，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∴，在中，，∴，即，解得：．綜上所述，當△FED是直角三角形時，CD的值為3或4.8．故答案為：3或4.8．【點睛】本題考查三角形和平行四邊形綜合應用．熟練掌握直角三角形的判定和含的直角三角形的性質，以及平行四邊形的判定和性質，菱形的性質是解題的關鍵．16．如圖，矩形OABC頂點B的坐標為(8，3)，定點D的坐標為(12，0)，動點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR，設運動時間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S．(1)當t=___________時，△PQR的邊QR經過點B(2)求S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）當點B在上時，根據是等腰直角三角形求出的長度，進而求出的長度，從而得出結果．（2）由點P和點Q的運動情況可知，和矩形的重合部分分為3類情況；按照三種情況的特點，分別用矩形、梯形、等腰直角三角形的面積關系分類求解即可．（1）解：為等腰直角三角形∴∵四邊形為矩形∴當經過點B時，為等腰直角三角形∵點B的坐標為(8，3)，點D的坐標為(12，0)∴，此時，運動時間（2）解：①當時，如圖，設交于點G，過點P作于點H則，∴②當時，如圖，設交于點G，交于點S、T，則

，∴．③當時，如圖，設與交于點T，則，．∴綜上所述，S關于t的函數關系式為：【點睛】此題考查了等腰三角形的性質、函數與圖像、矩形的性質；其中根據圖像的變化情況對重合部分的面積進行分類討論是解決此題的關鍵．17．如圖，在中，，，P是BC邊上一動點，，過A點作射線，交射線PN于點D．(1)求AC的長；(2)求證：；(3)連接CD，若為直角三角形，求BP的長．【答案】(1)(2)證明見解析(3)滿足條件的PB的長為4或【分析】（1）如圖1中，作于H，根據含的直角三角形的性質求出BH、AH，再利用勾股定理求出AC即可；（2）證明即可證明；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．（1）如圖1中，作于H，在中，∵，，∴，，∴在中，，（2）如圖2中，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）①如圖3中，當時，作于H，連接CD，∴四邊形AHCD是矩形，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形AHCD是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，解得；如圖4中，當時，作于H，于G，連接CD，則有∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴解得或（舍去），∴滿足條件的PB的長為4或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、含的直角三角形的性質和勾股定理，解決本題的關鍵是靈活運用所學的知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．18．矩形的邊在x軸上，點C、D在第一象限，且，點A的坐標為，如圖（1）．(1)直接寫出點C的坐標為（，）；(2)過點A的直線與矩形的一條邊交于點E，如果直線把矩形分成兩部分圖形的面積比為，求直線的解析式；(3)P是線段上動點，，連接，以為直角邊在的逆時針方向作等腰直角三角形，且，，如圖（2）．①求出點Q的坐標（用含m的式子表示）；②連接，當線段的長度最短時，求m的值；【答案】(1)；(2)或；(3)，．【分析】（1）求出和的值即可求出點C的坐標．（2）分類討論，當點E在上和當點E在上時，兩種情況，求出點E坐標，利用即可求出點E的坐標，再由A、E兩點確定直線表達式．（3）添加輔助線，構造“三垂直”全等，表示,即可表示點Q的坐標；再用配方法確定當最小時，．（1）解：由題意知：，，；（2）解：①當點E在上時，如圖：設：，則，由題意得：，即，∴，，，設直線l的表達式為：則：，，，②當點E在上時，如圖：設：，則，由題意得：，即，∴，，，設直線l的表達式為：，則：，綜上可知直線l的表達式為：或；（3）解：①如圖作PN⊥AB，交AB于點N，作QM⊥PN，垂足為點M，，，，在與中，，,，,，②，∴當最小時，．【點睛】本題主要考查了利用幾何圖形求點的坐標，確定一次函數表達式，三角形全等轉化線段，二次函數求最值，轉化思想和添加合適的輔助線是解題的關鍵．19．問題的提出：如果點P是銳角內一動點，如何確定一個位置，使點P到的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最??？(1)問題的轉化：如圖，把繞點A逆時針旋轉60°得到，連接，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：；(2)問題的解決：當點P到銳角的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，則∠APB的度數是___________，∠APC的度數是___________；(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．【答案】(1)畫圖見解析；證明見解析(2)120°；120°(3)【分析】（1）問題的轉化：根據旋轉的性質證明是等邊三角形，則，可得結論；（2）問題的解決：運用類比的思想，把繞點A逆時針旋轉60°得到，連接，由“問題的轉化”可知：當在同一直線上時，的值為最小，當滿足時，滿足三點共線；（3）問題的延伸：如圖3，作輔助線，構建直角，利用勾股定理求的長，即是點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．（1）解：如圖1，由旋轉可知，，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；（2）滿足時，PA+PB+PC的值為最小，理由如下：如圖2，把繞點A逆時針旋轉60°得到，連接，由“問題的轉化”可知：當在同一直線上時，的值最?。尚D可知，，，∴是等邊三角形，∴，∴，，故答案為：，；（3）如圖3，在中，∵，，∴，，把繞點B逆時針旋轉60°得到，連接，由旋轉可得，，，，，∴是等邊三角形，∴，∴，當在同一直線上時，的值最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴在中，，∴，∴，則點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值為．【點睛】本題主要考查三角形的旋轉變換的性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質等知識點，將待求線段的和通過旋轉變換轉化為同一直線上的線段來求是解題的關鍵，學會利用旋轉的方法添加輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．20．如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于點，直線與x軸交于點B，點M，N分別是直線，在第一象限內的動點，且，連接MN．(1)直接寫出m的值，點B的坐標，及的度數；(2)求的值；(3)當是直角三角形時，直接寫出點M的坐標．【答案】(1)m=3,B2,0,，(2)6(3)或【分析】(1)將A點坐標代入，即可求得m的值；在中，令，即可求得點B的坐標；分別求出與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標，再根據解直角三角形，即可求得及的度數；(2)根據，，，可證得，即可證得，再根據相似三角形的性質，即可求得；(3)過點M作軸于點E，過點N作軸于點C，交的延長線于點F，分兩種情況分別計算，即可分別求得．（1）解：把代入，得m=3；在中，令，即，解得，故點B的坐標為(2,0)；在中，令，即，解得，如圖：故點C的坐標為，，，，；在中，令x=0，得，如圖：故點D的坐標為，，，，；（2）解：，，，，，，又，，，即，；（3）解：如圖：當時，過點M作軸于點E，過點N作軸于點C，交的延長線于點F，，四邊形是矩形，，，，設點，則，，，，，，，，，，，把點N的坐標代入，得，解得，點M的坐標為；如圖：當時，過點M作軸于點E，過點N作軸于點C，交的延長線于點F，，四邊形是矩形，，，，設點，則，，，，，，，，，，，把點M的坐標代入，得，解得，點M的坐標為；綜上，點M的坐標為或．【點睛】本題考查了求一次函數與坐標軸的交點坐標，坐標與圖形，特殊角的三角形函數值，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，作出輔助線及采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．21．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點B和點C在x軸上，點A在y軸上，，，且a，b滿足．(1)證明為等邊三角形；(2)現有一動點P從點A沿y軸負方向運動，速度為1個單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點Q作軸，垂足為D，設點P的運動時間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關系式；（用含t的式子表示d）(3)在（2）問的條件下，已知，當為等腰直角三角形時，求t的值，并求出此時直線與x軸的交點E的坐標．【答案】(1)證明見解析(2)(3)，或，【分析】（1）根據非負數的性質，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求證；（2）過點P作PG⊥AC于G，證明，可得CD=CG，DQ=PG，從而得到AP=2DQ，即可求解；（3）分兩種情況討論：當點P在線段OA上，當點P在AO的延長線上，即可求解．（1）證明∶∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴AB=4，OB=OC=2，∴OA⊥BC，∴AB=AC，∵BC=OB+OC=4，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：根據題意得：AP=t，如圖，過點P作PG⊥AC于G，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PG，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCG=∠DCQ，在△CGP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CG，DQ=PG，∴AP=2DQ，∵QD的長度為d，∴；（3）解：根據題意得：AP=t，∵為等腰直角三角形，且∠POC=90°，∴OP=OC=2，當點P在線段OA上，即時，則，即，點P（0，2），∴，∴，∴，∴，∴點，設直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當y=0時，，∴點；當點P在AO的延長線上，即時，則，即，點P（0，-2），過點P作PF⊥AC交AC延長線于點F，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PF，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCF=∠DCQ，在△CEP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CF，DQ=PF，∴AP=2DQ，∴，∴，∴，∴，∴點，設直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當y=0時，，∴點；綜上所述，，或，．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，待定系數法，解本題的關鍵是判斷出點Q的坐標．22．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點（與端點不重合），且，設．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)①見解析；②或2【分析】（1）由翻折可知：．，設，則．在中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．（2）①由計算出的長度，再證明四邊形是平行四邊形，根據一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形即可證明；②若是直角三角形，則有兩種情況，一是當時，二是當時，分別利用相似三角形的性質以及銳角三角函數的定義即可計算得出．（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由翻折可知：．，設，則．在中，，∴，在中，則有：，∴，∴．（2）①證明：∵四邊形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴，由（1）可得：，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．②∵，∴若是直角三角形，則有兩種情況，當時，∵，∴又∵，∴∴，又∵，，∴∴，即，∴；當時，則，又∵，，∴，∴，∴，∵s，∵，∴，∴，∵∴∴，即解得：，綜上所述：或2．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．23．如圖，矩形頂點的坐標為，定點的坐標為．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿軸的正方向勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸的負方向勻速運動．、兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設運動時間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當______時，的邊經過點；(2)求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）的邊經過B時，構成等腰直角三角形，則有，由此列方程求出t的值．（2）在圖形運動的過程中，有三種情況，當時，當時，當時，進行分類討論求出答案．（1）的邊經過B時，構成等腰直角三角形，，即3=4，，即當秒時，的邊經過點B．（2）①當時，如圖所示：設交于點，過點作于點則，．∴．②當時，如圖所示：設交于點，交、于點、，則，．∴．③當時，如圖所示：設與交于點，則，，．∴．綜上所述，關于的函數關系式為：【點睛】本題考查了四邊形的綜合問題，涉及矩形的性質、等腰直角三角形的性質以及動點問題，解決本題的關鍵是分類討論思想的應用．24．如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB＝90°，點A坐標（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點D是線段BC上一動點（不與點B、點C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．(1)求點B、點C的坐標；(2)求直線AC的解析式；(3)若點N在射線DE上，是否存在點N使BCN是等