專題25直角三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題(原卷版+解析)

專題25直角三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題【模型展示】特點(diǎn)解直角三角形的動點(diǎn)問題，一般分三步走第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用【題型演練】一、單選題1．如圖，M，A，N是直線l上的三點(diǎn)，，P是直線l外一點(diǎn)，且，若動點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，向點(diǎn)N移動，移動到點(diǎn)N停止，在形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等邊三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等邊三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形二、填空題2．如圖，中，，，cm，為的中點(diǎn)，若動點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為_____________．3．如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)，將沿折疊到，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為___________．4．已知：如圖，正方形中，，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段，的端點(diǎn)重合）．且，連接，，．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的過程中，有下列四個(gè)說法：①是等腰直角三角形；②面積的最小值是；③至少存在一個(gè)，使得的周長是；④四邊形的面積是1．其中正確結(jié)論的序號有_______________．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一動點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點(diǎn)F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．6．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點(diǎn)P為∠ABC的邊BC上一動點(diǎn)，則當(dāng)BP2＝________cm時(shí)，△BAP為直角三角形．7．如圖，長方形中，，．為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在處．題：當(dāng)時(shí)，的長為___________．題：當(dāng)為直角三角形時(shí)的長為____________．8．如圖，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，連接BF，則BF的最小值是_____．9．如圖，等邊的邊長是，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則線段的長度為______．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個(gè)動點(diǎn)，則線段CM長的最小值為_________．三、解答題11．已知：如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒．(1)求邊的長；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．12．如圖，在矩形中，設(shè)，，且．(1)若為方程的兩根，且，求的值．(2)在（1）的條件下，為上一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），在什么位置時(shí)，為直角三角形？(3)為上一動點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），當(dāng)滿足什么條件時(shí)，使為直角三角形的點(diǎn)有且只有一個(gè)？請直接寫出滿足的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點(diǎn)運(yùn)動的速度是，點(diǎn)運(yùn)動的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，與的位置關(guān)系如何？請說明理由.(2)在點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出，若不能，請說明理由.(3)則當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？14．已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AD上的動點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到BF，連接EF、CF、AF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論，若不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；(3)點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動，當(dāng)△ACF是等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．15．如圖，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，點(diǎn)D是AC上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)四邊形ADFE為菱形時(shí)，則∠AED＝_____．（2）當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，則CD＝_____．16．如圖，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，3)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12，0)，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S．(1)當(dāng)t=___________時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．17．如圖，在中，，，P是BC邊上一動點(diǎn)，，過A點(diǎn)作射線，交射線PN于點(diǎn)D．(1)求AC的長；(2)求證：；(3)連接CD，若為直角三角形，求BP的長．18．矩形的邊在x軸上，點(diǎn)C、D在第一象限，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖（1）．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）；(2)過點(diǎn)A的直線與矩形的一條邊交于點(diǎn)E，如果直線把矩形分成兩部分圖形的面積比為，求直線的解析式；(3)P是線段上動點(diǎn)，，連接，以為直角邊在的逆時(shí)針方向作等腰直角三角形，且，，如圖（2）．①求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；②連接，當(dāng)線段的長度最短時(shí)，求m的值；19．問題的提出：如果點(diǎn)P是銳角內(nèi)一動點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最??？(1)問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：；(2)問題的解決：當(dāng)點(diǎn)P到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí)，則∠APB的度數(shù)是___________，∠APC的度數(shù)是___________；(3)問題的延伸：如圖2是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動點(diǎn)，請你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M，N分別是直線，在第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，且，連接MN．(1)直接寫出m的值，點(diǎn)B的坐標(biāo)，及的度數(shù)；(2)求的值；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，，，且a，b滿足．(1)證明為等邊三角形；(2)現(xiàn)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A沿y軸負(fù)方向運(yùn)動，速度為1個(gè)單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點(diǎn)Q作軸，垂足為D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關(guān)系式；（用含t的式子表示d）(3)在（2）問的條件下，已知，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．22．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，延長交的延長線于點(diǎn)G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．23．如圖，矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動．、兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當(dāng)______時(shí)，的邊經(jīng)過點(diǎn)；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠ACB＝90°，點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)D作直線DE⊥OB，垂足為E．(1)求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AC的解析式；(3)若點(diǎn)N在射線DE上，是否存在點(diǎn)N使BCN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(4)連接AD，當(dāng)AD平分∠CAB時(shí)，請直接寫出直線AD的解析式．25．已知是等腰直角三角形，動點(diǎn)在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰，探究并解決下列問題：(1)如圖，若點(diǎn)在線段上，，，則線段______；______；(2)如圖，若點(diǎn)在的延長線上，猜想、、的數(shù)量關(guān)系______，并證明；(3)如圖，若動點(diǎn)滿足，則的值為______．專題25直角三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題【模型展示】特點(diǎn)解直角三角形的動點(diǎn)問題，一般分三步走第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用【題型演練】一、單選題1．如圖，M，A，N是直線l上的三點(diǎn)，，P是直線l外一點(diǎn)，且，若動點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，向點(diǎn)N移動，移動到點(diǎn)N停止，在形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等邊三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等邊三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)，按照在線段和線段上進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵，∴，①當(dāng)在線段上，只能形成等腰三角形，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；②當(dāng)在線段上時(shí)，逐漸減小，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴為直角三角形，此時(shí)；∴形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查特殊三角形的判定．熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．如圖，中，，，cm，為的中點(diǎn)，若動點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為_____________．【答案】2或3.5或4.5或6【分析】先求出AB的長，再分①∠BDE＝90°時(shí)，DE是△ABC的中位線，然后求出AE的長度，再分點(diǎn)E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可；②∠BED＝90°時(shí)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出BE，然后分點(diǎn)E在AB上和在BA上兩種情況列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,∴，AB＝2BC＝4（cm），①∠BDE＝90°時(shí)，∵，∴，∴∴AE＝（cm），點(diǎn)E在AB上時(shí)，t＝2÷1＝2（秒），點(diǎn)E在BA上時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動的路程為4×2?2＝6（cm），∴t＝6÷1＝6（秒）；②∠BED＝90°時(shí)，BE＝＝0.5（cm），點(diǎn)E在AB上時(shí)，t＝（4?0.5）÷1＝3.5（秒），點(diǎn)E在BA上時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動的路程為4＋0.5＝4.5（cm），t＝4.5÷1＝4.5（秒），∵綜上所述，t的值為2或3.5或4.5或6，故答案為：2或3.5或4.5或6．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論．3．如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)，將沿折疊到，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為___________．【答案】或5【分析】分兩種情況進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，求CE的長；②當(dāng)時(shí)，求CE的長．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，，，，，是的中點(diǎn)，．②如圖2，當(dāng)時(shí)，由折疊性質(zhì)知，，三點(diǎn)共線．，在中，，設(shè)，，在中，，．綜上所述，CE的長為：5或．【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理以及學(xué)會用分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵．4．已知：如圖，正方形中，，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段，的端點(diǎn)重合）．且，連接，，．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的過程中，有下列四個(gè)說法：①是等腰直角三角形；②面積的最小值是；③至少存在一個(gè)，使得的周長是；④四邊形的面積是1．其中正確結(jié)論的序號有_______________．【答案】①②④【分析】證明，可得，可得到①；再由當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，可得面積的最小值是，可得到②正確；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，得③錯(cuò)誤；再根據(jù)，可得，可得④正確；即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故①正確；當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴面積的最小值是，故②正確；∵，∴，設(shè)，則，∴，∴的周長是，∵，∴，∴∴不存在一個(gè)，使得的周長是，故③錯(cuò)誤；∵，∴，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)．注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一動點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點(diǎn)F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．【答案】2或4##4或2【分析】當(dāng)△為直角三角形時(shí)，需要分類討論，點(diǎn)，，分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，畫出圖形求解即可．【詳解】解：在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，由折疊可知，，∴①由點(diǎn)運(yùn)動可知點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，即，，，，，，；③如圖，當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，即，連接，在△中，∴△，，故答案為：或4．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點(diǎn)P為∠ABC的邊BC上一動點(diǎn)，則當(dāng)BP2＝________cm時(shí)，△BAP為直角三角形．【答案】2或8【分析】由于直角頂點(diǎn)不能確定，故應(yīng)分∠APB=90°與∠BAP=90°兩種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】解：①當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴，∴，∴；②當(dāng)∠BAP＝90°時(shí)，∵∠B＝45°，AB＝2cm，∴AB＝AP2＝2，∴．故本題答案為：2或8．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．7．如圖，長方形中，，．為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在處．題：當(dāng)時(shí)，的長為___________．題：當(dāng)為直角三角形時(shí)的長為____________．【答案】

或者1【分析】A題：設(shè)，則，根據(jù)矩形折疊性質(zhì)易得三點(diǎn)共線，由勾股定理求出的長度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到的長度；B題：找出直角三角形，再根據(jù)勾股定理分情況求解即可．【詳解】解：題：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴，∴，解得：，∴，題：當(dāng)，；當(dāng)，如圖所示恰好落在上，，則，故答案為：；或1．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉折疊的性質(zhì)和勾股定理．8．如圖，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，連接BF，則BF的最小值是_____．【答案】2【分析】由△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，可得出：△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠ABE，推出點(diǎn)A，D，B，E四點(diǎn)共圓，得到∠DBE=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，當(dāng)DE最小時(shí)，BF的值最小，DE最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4∴∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABE，∴點(diǎn)A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∵∠DAE=90°，∴∠DBE=90°，∵F是DE的中點(diǎn)，，∴當(dāng)DE最小時(shí)，BF的值最小，∵若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，∴當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE最小，此時(shí)，DE最小，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，∴，，∵△ABC∽△ADE，，，∴，∴BF=2，∴BF的最小值是2．故答案為:2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì)，確定出當(dāng)DE最小時(shí)，BF的值最小是解題的關(guān)鍵．9．如圖，等邊的邊長是，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則線段的長度為______．【答案】或【分析】是直角三角形分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形三線合一，得．②延長到使，連接、，過作交延長線于，根據(jù)相全等三角形的判定得≌，即，設(shè)，則，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，再由相似三角形的判定得出∽，再由相似的性質(zhì)得出，即；③當(dāng)時(shí)，，不成立．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，是等邊三角形且邊長為，，，，旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，是的中點(diǎn)，，，即時(shí)，，；，如圖，延長到使，連接、，過作交延長線于，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，即，在和中，，≌，，，，，，，，設(shè)，則，是中點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，，∽，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，不成立，綜上，或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形中動點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)問題．通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造另外的等邊三角形以及全等手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點(diǎn)的位置，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個(gè)動點(diǎn)，則線段CM長的最小值為_________．【答案】【分析】連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，首先證明，可推導(dǎo)，，再證明，在中，由勾股定理計(jì)算，然后借助三角形面積求出，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．【詳解】解：連接CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點(diǎn)M是DE上一個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長取最小值，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建全等三角形是解題關(guān)鍵．三、解答題11．已知：如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒．(1)求邊的長；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出結(jié)論；（2）由題意可得：，，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識即可解答；（3）當(dāng)為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)三線合一、勾股定理等知識即可解答．（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，即；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴．∵，∴，解得：．綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；（3）解：當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∵，∴，即．當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：則，，在中，，即，解得：．綜上：當(dāng)為軸對稱圖形時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．12．如圖，在矩形中，設(shè)，，且．(1)若為方程的兩根，且，求的值．(2)在（1）的條件下，為上一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），在什么位置時(shí)，為直角三角形？(3)為上一動點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），當(dāng)滿足什么條件時(shí)，使為直角三角形的點(diǎn)有且只有一個(gè)？請直接寫出滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)在或位置時(shí)，為直角三角形(3)【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出斜邊與兩直角邊的關(guān)系，根據(jù)兩直角邊又是一元二次方程的解，由此即可求解；（2）在矩形中，為直角三角形，則可找出，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等，即可求解；（3）求唯一值，可以根據(jù)一元二次方程的判別式來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊與點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，由此即可求解．（1）解：∵且是矩形的對角線，在中，，，∴，即，∵為方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得，∴，，∴，解一元二次不等式得，，．當(dāng)時(shí)，原方程得，則不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，原方程得，則，∴，，符合題意，故答案是：．（2）解：根據(jù)（1）得，，，如圖所示，設(shè)，則，若為直角三角形，在矩形中，，∴，即，解分式方程得，，，∴在或位置時(shí)，為直角三角形．（3）解：根據(jù)題意設(shè)，則，若為直角三角形，在矩形中，，∴，即，，∵點(diǎn)有且只有一個(gè)，∴，即，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的矩形的性質(zhì)，相似三角形的運(yùn)用，理解和掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點(diǎn)運(yùn)動的速度是，點(diǎn)運(yùn)動的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，與的位置關(guān)系如何？請說明理由.(2)在點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出，若不能，請說明理由.(3)則當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)與垂直，見解析(2)能，4(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)題意求出的長度，則可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）若是等邊三角形，則，列出相應(yīng)方程求解即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．（1）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，與垂直，理由如下：∵，∴當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，可得，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴；（2）假設(shè)在點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動過程中，能成為等邊三角形，∴，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，是等邊三角形；（3）根據(jù)題意得，，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∵，∴，即，解得秒；當(dāng)時(shí)，同理可得，解得秒，∴當(dāng)秒或秒，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，幾何動點(diǎn)問題，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵．14．已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AD上的動點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到BF，連接EF、CF、AF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論，若不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；(3)點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動，當(dāng)△ACF是等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可證，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可證，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE，再分這情況討論，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求解．（1）解：，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴，∵將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到BF，∴BE=BF，∠EBF=，∴∠EBF=∠ABC，∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，∴（SAS）∴∠BAE=∠BCF=，∴∠ACF=，∴∠AFC+∠FAC=；（2）（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=，∵將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到BF，∴BE=BF，∠EBF=，∴∠EBF=∠ABC，∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，∴（SAS）∴∠BAE=∠BCF=，∴∠ACF=，∴∠AFC+∠FAC=；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時(shí)，∵△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF，∵△ABE≌△CBF，∴CF=AE，∴AC=AE=AB，∴∠ABE=，∴∠EBC=，如圖，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A上方時(shí)，同理可得：∴∴∠EBC=．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．15．如圖，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，點(diǎn)D是AC上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)四邊形ADFE為菱形時(shí)，則∠AED＝_____．（2）當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，則CD＝_____．【答案】

60°

3或4.8【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理可得，利用菱形的性質(zhì)即可得出答案；（2）利用分類討論結(jié)合①當(dāng)時(shí)．②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別分析得出符合題意的答案．【詳解】解：（1）∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵四邊形ADFE為菱形，∴，∴．故答案為：；（2）①當(dāng)時(shí)．∵，∴，∴，∴這種情況不存在；②當(dāng)時(shí)，如圖2，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，即，解得：，③當(dāng)時(shí)，如圖3，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∴，在中，，∴，即，解得：．綜上所述，當(dāng)△FED是直角三角形時(shí)，CD的值為3或4.8．故答案為：3或4.8．【點(diǎn)睛】本題考查三角形和平行四邊形綜合應(yīng)用．熟練掌握直角三角形的判定和含的直角三角形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，3)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12，0)，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S．(1)當(dāng)t=___________時(shí)，△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)B在上時(shí)，根據(jù)是等腰直角三角形求出的長度，進(jìn)而求出的長度，從而得出結(jié)果．（2）由點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動情況可知，和矩形的重合部分分為3類情況；按照三種情況的特點(diǎn)，分別用矩形、梯形、等腰直角三角形的面積關(guān)系分類求解即可．（1）解：為等腰直角三角形∴∵四邊形為矩形∴當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，為等腰直角三角形∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，3)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12，0)∴，此時(shí)，運(yùn)動時(shí)間（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H則，∴②當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)S、T，則

，∴．③當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)T，則，．∴綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、函數(shù)與圖像、矩形的性質(zhì)；其中根據(jù)圖像的變化情況對重合部分的面積進(jìn)行分類討論是解決此題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，，P是BC邊上一動點(diǎn)，，過A點(diǎn)作射線，交射線PN于點(diǎn)D．(1)求AC的長；(2)求證：；(3)連接CD，若為直角三角形，求BP的長．【答案】(1)(2)證明見解析(3)滿足條件的PB的長為4或【分析】（1）如圖1中，作于H，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出BH、AH，再利用勾股定理求出AC即可；（2）證明即可證明；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．（1）如圖1中，作于H，在中，∵，，∴，，∴在中，，（2）如圖2中，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）①如圖3中，當(dāng)時(shí)，作于H，連接CD，∴四邊形AHCD是矩形，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形AHCD是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，解得；如圖4中，當(dāng)時(shí)，作于H，于G，連接CD，則有∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴解得或（舍去），∴滿足條件的PB的長為4或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)的知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．18．矩形的邊在x軸上，點(diǎn)C、D在第一象限，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖（1）．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）；(2)過點(diǎn)A的直線與矩形的一條邊交于點(diǎn)E，如果直線把矩形分成兩部分圖形的面積比為，求直線的解析式；(3)P是線段上動點(diǎn)，，連接，以為直角邊在的逆時(shí)針方向作等腰直角三角形，且，，如圖（2）．①求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；②連接，當(dāng)線段的長度最短時(shí)，求m的值；【答案】(1)；(2)或；(3)，．【分析】（1）求出和的值即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）分類討論，當(dāng)點(diǎn)E在上和當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，兩種情況，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由A、E兩點(diǎn)確定直線表達(dá)式．（3）添加輔助線，構(gòu)造“三垂直”全等，表示,即可表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；再用配方法確定當(dāng)最小時(shí)，．（1）解：由題意知：，，；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖：設(shè)：，則，由題意得：，即，∴，，，設(shè)直線l的表達(dá)式為：則：，，，②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖：設(shè)：，則，由題意得：，即，∴，，，設(shè)直線l的表達(dá)式為：，則：，綜上可知直線l的表達(dá)式為：或；（3）解：①如圖作PN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，作QM⊥PN，垂足為點(diǎn)M，，，，在與中，，,，,，②，∴當(dāng)最小時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用幾何圖形求點(diǎn)的坐標(biāo)，確定一次函數(shù)表達(dá)式，三角形全等轉(zhuǎn)化線段，二次函數(shù)求最值，轉(zhuǎn)化思想和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．問題的提出：如果點(diǎn)P是銳角內(nèi)一動點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最??？(1)問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：；(2)問題的解決：當(dāng)點(diǎn)P到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí)，則∠APB的度數(shù)是___________，∠APC的度數(shù)是___________；(3)問題的延伸：如圖2是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點(diǎn)P是這個(gè)三角形內(nèi)一動點(diǎn)，請你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．【答案】(1)畫圖見解析；證明見解析(2)120°；120°(3)【分析】（1）問題的轉(zhuǎn)化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形，則，可得結(jié)論；（2）問題的解決：運(yùn)用類比的思想，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)在同一直線上時(shí)，的值為最小，當(dāng)滿足時(shí)，滿足三點(diǎn)共線；（3）問題的延伸：如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角，利用勾股定理求的長，即是點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．（1）解：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可知，，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；（2）滿足時(shí)，PA+PB+PC的值為最小，理由如下：如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由“問題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)在同一直線上時(shí)，的值最?。尚D(zhuǎn)可知，，，∴是等邊三角形，∴，∴，，故答案為：，；（3）如圖3，在中，∵，，∴，，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，∴是等邊三角形，∴，∴，當(dāng)在同一直線上時(shí)，的值最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴在中，，∴，∴，則點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，將待求線段的和通過旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M，N分別是直線，在第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，且，連接MN．(1)直接寫出m的值，點(diǎn)B的坐標(biāo)，及的度數(shù)；(2)求的值；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)m=3,B2,0,，(2)6(3)或【分析】(1)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得m的值；在中，令，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；分別求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)解直角三角形，即可求得及的度數(shù)；(2)根據(jù)，，，可證得，即可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得；(3)過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，交的延長線于點(diǎn)F，分兩種情況分別計(jì)算，即可分別求得．（1）解：把代入，得m=3；在中，令，即，解得，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)；在中，令，即，解得，如圖：故點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，，，；在中，令x=0，得，如圖：故點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，，，；（2）解：，，，，，，又，，，即，；（3）解：如圖：當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，交的延長線于點(diǎn)F，，四邊形是矩形，，，，設(shè)點(diǎn)，則，，，，，，，，，，，把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入，得，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；如圖：當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)C，交的延長線于點(diǎn)F，，四邊形是矩形，，，，設(shè)點(diǎn)，則，，，，，，，，，，，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形，特殊角的三角形函數(shù)值，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線及采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，，，且a，b滿足．(1)證明為等邊三角形；(2)現(xiàn)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A沿y軸負(fù)方向運(yùn)動，速度為1個(gè)單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點(diǎn)Q作軸，垂足為D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關(guān)系式；（用含t的式子表示d）(3)在（2）問的條件下，已知，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)，或，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出a，b可得AB=AC=BC，即可求證；（2）過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，證明，可得CD=CG，DQ=PG，從而得到AP=2DQ，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上，當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長線上，即可求解．（1）證明∶∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴AB=4，OB=OC=2，∴OA⊥BC，∴AB=AC，∵BC=OB+OC=4，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：根據(jù)題意得：AP=t，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PG，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCG=∠DCQ，在△CGP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CG，DQ=PG，∴AP=2DQ，∵QD的長度為d，∴；（3）解：根據(jù)題意得：AP=t，∵為等腰直角三角形，且∠POC=90°，∴OP=OC=2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上，即時(shí)，則，即，點(diǎn)P（0，2），∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，設(shè)直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，，∴點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長線上，即時(shí)，則，即，點(diǎn)P（0，-2），過點(diǎn)P作PF⊥AC交AC延長線于點(diǎn)F，由（1）知，△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AO⊥BC，∴，∴AP=2PF，∵△CPQ為等邊三角形，∴∠PCQ=∠ACB=60°，CP=CQ，∴∠PCF=∠DCQ，在△CEP和△CDQ中，∵，∴，∴CD=CF，DQ=PF，∴AP=2DQ，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，設(shè)直線PQ的解析式為，∴，解得：，∴直線PQ的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，，∴點(diǎn)；綜上所述，，或，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．22．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，延長交的延長線于點(diǎn)G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)①見解析；②或2【分析】（1）由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（2）①由計(jì)算出的長度，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形即可證明；②若是直角三角形，則有兩種情況，一是當(dāng)時(shí)，二是當(dāng)時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可計(jì)算得出．（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，，∴，在中，則有：，∴，∴．（2）①證明：∵四邊形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴，由（1）可得：，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．②∵，∴若是直角三角形，則有兩種情況，當(dāng)時(shí)，∵，∴又∵，∴∴，又∵，，∴∴，即，∴；當(dāng)時(shí)，則，又∵，，∴，∴，∴，∵s，∵，∴，∴，∵∴∴，即解得：，綜上所述：或2．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．23．如圖，矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動．、兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，相遇時(shí)停止．在運(yùn)動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當(dāng)______時(shí)，的邊經(jīng)過點(diǎn)；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）的邊經(jīng)過B時(shí)，構(gòu)成等腰直角三角形，則有，由此列方程求出t的值．（2）在圖形運(yùn)動的過程中，有三種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，進(jìn)行分類討論求出答案．（1）的邊經(jīng)過B時(shí)，構(gòu)成等腰直角三角形，，即3=4，，即當(dāng)秒時(shí)，的邊經(jīng)過點(diǎn)B．（2）①當(dāng)時(shí)，如圖所示：設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)則，．∴．②當(dāng)時(shí)，如圖所示：設(shè)交于點(diǎn)，交、于點(diǎn)、，則，．∴．③當(dāng)時(shí)，如圖所示：設(shè)與交于點(diǎn)，則，，．∴．綜上所述，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合問題，涉及矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及動點(diǎn)問題，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠ACB＝90°，點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)D作直線DE⊥OB，垂足為E．(1)求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AC的解析式；(3)若點(diǎn)N在射線DE上，是否存在點(diǎn)N使BCN是等