第21講人教版七年級數(shù)學(xué)下代數(shù)新定義專題(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊常考點(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專項突破+精準提升)

第21講專題人教版七年級數(shù)學(xué)下代數(shù)新定義（原卷版）專題詮釋“新定義”題型問題成為近年來中考的熱點。所謂“新定義”題型，就是在問題中定義了學(xué)生還沒有學(xué)過的一些新概念、新符號、新運算，學(xué)生須在已有的知識基礎(chǔ)上讀懂題意，理解新定義，再根據(jù)新定義進行運算，推理解決問題。“新定義”題型能有效地考查學(xué)生的自學(xué)能力、思維能力、運用新知識解決問題的能力。“新定義”題型對于一些習(xí)慣于聽講然后再練的學(xué)生，一旦碰到?jīng)]有講過的“新”題型，就蒙了，傻眼了，思維短路了。解決新定義題型關(guān)鍵是把握兩點：意識根據(jù)問題原型的特點尋求問題解決的方法，二是根據(jù)變化的問題情境，認真思考探究，合理進行思想方法的遷移。第一部分典例剖析+針對訓(xùn)練類型一“新運算”型專題典例1請你閱讀如圖框內(nèi)老師的新定義運算規(guī)定，然后解答下列各小題．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分別求出x和y的值；（2）若x滿足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范圍．針對訓(xùn)練11．已知一種新運算定義為：a⊙b＝a?b﹣|a﹣2|，則不等式組(?2)⊙x＞2x⊙A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.對于任意實數(shù)m，n，定義一種運算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.請根據(jù)上述定義解決問題：若a＜2※x＜7，且關(guān)于x的解集中有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍是.3.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“⊕”，其運算規(guī)則為：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，則不等式x⊕4＜2的解集為.類型二“新概念”型典例2新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=x0y=y0，關(guān)于x，y的二元一次方程組②e1針對訓(xùn)練24.對于平面直角坐標系xOy中的點P(a，b)，若點P′的坐標為(a＋kb，ka＋b)(其中k為常數(shù)，且k≠0)，則稱點P′為點P的“k屬派生點”.例如：P(1，4)的“2屬派生點”為P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′點，且線段PP′的長度為線段OP長度的3倍，則k的值.5．喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如：1，4，9這三個數(shù)，1×4=2，1×9=3，（1）請證明：2，8，50這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出任意兩個數(shù)乘積的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；（2）已知16，a，36，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根中，最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，求a的值．

類型三“新方程”型典例3新定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解集中的一個，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+3＞x?43x?1＞?x+2的關(guān)聯(lián)方程是（2）若不等式組x?2＜11+x＞?3x+6的一個關(guān)聯(lián)方程的解是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m針對練習(xí)36．如果兩個二元一次方程只有一個未知數(shù)的系數(shù)不同，那么由這兩個方程構(gòu)成的二元一次方程組叫做和諧方程組．如：y?2x=6y?3x=6（1）下列方程組是和諧方程組的是（）A．?x+y=4x+y=?1；B．2x?2y=5x?2y=6；C．（2）請你補全和諧方程組y+2x=3()

類型四閱讀材料題型中的新定義典例4閱讀下列材料解答問題：新定義：對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果n?12≤x＜則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n?12≤x＜＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…試解決下列問題：（1）①＜π+2.4＞＝（π為圓周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，則數(shù)x的取值范圍為；（2）求出滿足＜x＞=54x﹣1的針對訓(xùn)練47．【閱讀新知】定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么和我們所學(xué)的實數(shù)對應(yīng)起來叫做復(fù)數(shù)，表示a+bi（a，b為實數(shù)），a叫做這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法等運算和法則與實數(shù)的運算類似．例如計算：i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i；（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．【應(yīng)用新知】（1）填空：i6＝；i9＝．（2）計算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．（3）請將5+i5?i化簡成a+bi

專題提優(yōu)訓(xùn)練為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文是()A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7在平面直角坐標系中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a指任意兩點橫坐標差的最大值；“鉛垂高”h指任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah，例如，三點坐標分別為A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).則“水平底”a＝4，“鉛垂高”h＝6，“矩面積”S＝ah＝24，已知點A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面積”不超過18，則m的取值范圍是.令a、b兩數(shù)中較大的數(shù)記作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k為正整數(shù)且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，則k的值是.4．對于正實數(shù)a，b作新定義：a⊙b＝2a?b，若25⊙x2＝4，則x的值為5．新定義：對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負整數(shù)時，若n?12≤x＜n+12，則（x①（1.493）＝1；②（2x）＝2（x）；③若（12x?1）＝4，則x的取值范圍是9≤④當(dāng)x≥0，m為非負整數(shù)時，有（m+2013x）＝m+（2013x）；其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確的序號）．6．一種新定義運算為：對于任意兩個數(shù)a與b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，則2x=7．對于正實數(shù)a，b作新定義：a*b＝ba?a+b，在此定義下，若9*x＝55，則x的值為8.我們用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，則關(guān)于x的方程2x－3[x]＋＝0的解為.9．新定義：對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果n?12≤x＜n+12，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n?（1）填空：①＜π＞＝；②如果＜2x﹣1＞＝3，則實數(shù)x的取值范圍為．（2）求滿足＜x＞=43x的所有非負實數(shù)（3）若關(guān)于x的不等式組2x?43≤x?1＜a＞?x＞010．（2019秋?海珠區(qū)校級期中）如果一對數(shù)m，n，滿足m3+n4=m+n3+4，我們稱這一對數(shù)m，n為“友好數(shù)對”，記為（m，n）；如果一對數(shù)a，b，滿足a+b＝7，我們稱這一數(shù)對a（1）若（m，1）是“友好數(shù)對”，則m＝；（2）若（m，n）是“友好數(shù)對”，則m＝；（用含n的代數(shù)式表示）（3）若有一數(shù)對x，y既是“友好數(shù)對”，也是“和氣數(shù)對”，求x，y的值；（4）若（m，n）是“友好數(shù)對”，[a，b]是“和氣數(shù)對”，求代數(shù)式3m?7n4?[4（a﹣n）﹣m11．（2020春?江陰市校級期中）當(dāng)m、n都是實數(shù)，且滿足2m﹣n＝6時，我們就稱（m﹣1，n2（1）請判斷（2，﹣4）是否為和諧數(shù)對？（2）已知關(guān)于x、y的方程組x+y=6x?y=2a，當(dāng)a為何值時，以方程組的解為數(shù)對，即（x，y

12．對于正實數(shù)a，b作新定義：a*b＝ba?a+b．在此定義下，若9*x＝55，則x13．喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例：1，4，9這三個數(shù)，1×4=2，1×9=3，（1）請證明2，18，8這三個數(shù)是“和諧組合”，并求出最小算術(shù)平方根和最大算術(shù)平方根．（2）已知9，a，25三個數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的3倍，求a的值．14．新定義：對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，試解決下列問題：（1）填空：①[π]＝（π為圓周率），②如果[x﹣2]＝3，則實數(shù)x的取值范圍；（2）若點P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程組x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a（3）若f（k）＝[k+14]﹣[k4]（k是正整數(shù)），例：f（3）＝[3+14①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．正確的有（填序號）．

15．【知識重現(xiàn)】我們知道，在ax＝N中，已知底數(shù)a，指數(shù)x，求冪N的運算叫做乘方運算．例如23＝8；已知冪N，指數(shù)x，求底數(shù)a的運算叫做開方運算，例如38【學(xué)習(xí)新知】現(xiàn)定義：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作x＝logaN．其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，x叫做以a為底N的對數(shù)．例如log28＝3．零沒有對數(shù)；在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有對數(shù)．【應(yīng)用新知】（1）填空：在ax＝N，已知冪N，底數(shù)a（a＞0且a≠1），求指數(shù)x的運算叫做運算；（2）選擇題：在式子log5125中，真數(shù)是A.3B.5C.10D.125（3）①計算以下各對數(shù)的值：log39；log327；log3243．②根據(jù)①中計算結(jié)果，請你直接寫出logaM，logaN，loga（MN）之間的關(guān)系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）16．新定義：對非負數(shù)“四舍五入”到個位的值記為[x]，即當(dāng)n為非負整數(shù)時，若n?12≤x＜n+12試解決下列問題（1）填空：①[π]＝②若[x]＝3，則實數(shù)x的取值范圍為；（2）在關(guān)于x，y的方程組2x+y=1+3mx+2y=2中，若未知數(shù)x，y滿足52≤x+y＜（3）當(dāng)[2x﹣1]＝4時，若y＝4x﹣9，求y的最小值．（4）求滿足[x]=32x的所有非負實數(shù)x的值，請直接寫出答案

17．有一種用“☆”定義的新運算：對于任意實數(shù)a，b都有a☆b＝b2+a．例如7☆4＝42+7＝23．（1）已知m☆2的結(jié)果是6，則m的值是多少？（2）將兩個實數(shù)n和n+2用這種新定義“☆”加以運算，結(jié)果為4，則n的值是多少？18．新定義：對非負數(shù)x“四舍五入“到個位的值記為＜x＞，即當(dāng)n為非負數(shù)時，若n?12≤x＜n+12例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…試回答下列問題：（1）填空：①＜9.6＞＝；②如果＜x＞＝2，實數(shù)x的取值范圍是．（2）若關(guān)于x的不等式組2x?43≤x?1＜m＞?x＞0（3）求滿足＜65x＞＝x的所有非負實數(shù)第21講專題人教版七年級數(shù)學(xué)下代數(shù)新定義（解析版）專題詮釋“新定義”題型問題成為近年來中考的熱點。所謂“新定義”題型，就是在問題中定義了學(xué)生還沒有學(xué)過的一些新概念、新符號、新運算，學(xué)生須在已有的知識基礎(chǔ)上讀懂題意，理解新定義，再根據(jù)新定義進行運算，推理解決問題?！靶露x”題型能有效地考查學(xué)生的自學(xué)能力、思維能力、運用新知識解決問題的能力?！靶露x”題型對于一些習(xí)慣于聽講然后再練的學(xué)生，一旦碰到?jīng)]有講過的“新”題型，就蒙了，傻眼了，思維短路了。解決新定義題型關(guān)鍵是把握兩點：意識根據(jù)問題原型的特點尋求問題解決的方法，二是根據(jù)變化的問題情境，認真思考探究，合理進行思想方法的遷移。第一部分典例剖析+針對訓(xùn)練類型一“新運算”型專題典例1請你閱讀如圖框內(nèi)老師的新定義運算規(guī)定，然后解答下列各小題．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分別求出x和y的值；（2）若x滿足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義新運算得到二元一次方程組，再解方程組即可求解；（2）根據(jù)定義新運算得到一元一次不等式組，再解不等式組即可求解．解：（1）根據(jù)題意得4x?3y=14x?3×2y=?2解得x=1y=1（2）根據(jù)題意得4x?3×2≤04×3x?3×(?8)＞0解得﹣2＜x≤3故x的取值范圍是﹣2＜x≤3點睛：此題考查解一元一次不等式組，二元一次方程組，熟練掌握解一元一次不等式組，二元一次方程組的方法是解本題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練11．已知一種新運算定義為：a⊙b＝a?b﹣|a﹣2|，則不等式組(?2)⊙x＞2x⊙A．1個 B．2個 C．3個 D．4個思路引領(lǐng)：根據(jù)“?”的運算方法對各小題整理，再根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可．解：根據(jù)新運算定義得?2x?4＞2①1解不等式①得，x＜﹣3，解不等式②得，2＜x≤20或﹣4≤x≤2，所以，不等式組的解集是﹣4≤x＜﹣3，不等式組(?2)⊙x＞2x⊙故選：A．點睛：本題考查了解一元一次不等式組，讀懂題目信息，理解“?”的運算方法是解題的關(guān)鍵．2.對于任意實數(shù)m，n，定義一種運算m※n＝mn－m－n＋3，例如：3※5＝3×5－3－5＋3.請根據(jù)上述定義解決問題：若a＜2※x＜7，且關(guān)于x的解集中有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍是.答案：4≤a＜53.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“⊕”，其運算規(guī)則為：a⊕b＝2a＋3b.如：1⊕5＝2×1＋3×5＝17，則不等式x⊕4＜2的解集為.答案：x＜－5類型二“新概念”型典例2新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=x0y=y0，關(guān)于x，y的二元一次方程組②e1思路引領(lǐng)：先求出兩個方程組的解，再根據(jù)“模糊解”的定義列出不等式組，解得m的取值范圍便可．解：解方程組x+y=2m+22x?y=10m+4得，x=4m+2解方程組x+y=10x+3y=?10得，x=20∵二元一次方程組x+y=2m+22x?y=10m+4的解是方程組x+y=10∴|4m+2?2020|≤0.1，|?2m+10解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案為4.5≤m≤5．點睛：本題考查了新定義，二元一次方程組的解，解絕對值不等式，考查了學(xué)生的閱讀理解能力、知識的遷移能力以及計算能力，難度適中．正確理解“模糊解”的定義是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練24.對于平面直角坐標系xOy中的點P(a，b)，若點P′的坐標為(a＋kb，ka＋b)(其中k為常數(shù)，且k≠0)，則稱點P′為點P的“k屬派生點”.例如：P(1，4)的“2屬派生點”為P′(1＋2×4，2×1＋4)，即P′(9，6).若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′點，且線段PP′的長度為線段OP長度的3倍，則k的值.答案：±35．喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如：1，4，9這三個數(shù)，1×4=2，1×9=3，（1）請證明：2，8，50這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出任意兩個數(shù)乘積的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；（2）已知16，a，36，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根中，最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，求a的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“老根數(shù)”“最小算術(shù)平方根”“最大算術(shù)平方根”的意義求解即可；（2）分三種情況進行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分別列方程求解即可．（1）證明：因為2×8=4，2×50=10，所以2，8，50這三個數(shù)是“老根數(shù)”；其中最小算術(shù)平方根是4，最大算術(shù)平方根是20；（2）解：當(dāng)a＜16時，則2a×16=解得a＝9，當(dāng)16＜a＜36時，則216a=36a，解得當(dāng)a＞36時，則216×36=解得a＝64，綜上所述，a＝9或a＝64．點睛：本題考查算術(shù)平方根，理解“老根數(shù)”、“最小算術(shù)平方根”、“最大算術(shù)平方根”的意義是正確解答的前提，求出“任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根”是解決問題的關(guān)鍵．類型三“新方程”型典例3新定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解集中的一個，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①2x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+3＞x?43x?1＞?x+2的關(guān)聯(lián)方程是（2）若不等式組x?2＜11+x＞?3x+6的一個關(guān)聯(lián)方程的解是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是（3）若方程6﹣x＝2x，7+x＝3（x+13）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m思路引領(lǐng)：（1）解方程和不等式組，根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的定義可得答案；（2）解不等式組求出其整數(shù)解，再根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的定義寫出以此整數(shù)為解的方程可得答案；（3）解方程和不等式組，再根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的概念可得答案．解：（1）解方程2x﹣1＝0得x=12；解方程x+1＝0得x＝﹣1；解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得解不等式組?x+3＞x?43x?1＞?x+2得34＜∴不等式組?x+3＞x?43x?1＞?x+2故答案為：③；（2）解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，解不等式1+x＞﹣3x+6，得：x＞5則不等式組的解集為54＜∴其整數(shù)解為2，則該不等式組的關(guān)聯(lián)方程可以為2x﹣4＝0．（答案不唯一）；故答案為：2x﹣4＝0；（3）解方程6﹣x＝2x得x＝2，解方程7+x＝3（x+13）得解關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m得m＜x≤m∵方程6﹣x＝2x、7+x＝3（x+13）都是關(guān)于x的不等式組∴1≤m＜2．點睛：本題主要考查解一元一次方程和一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次方程和一元一次不等式組的技能是解題的關(guān)鍵．針對練習(xí)36．如果兩個二元一次方程只有一個未知數(shù)的系數(shù)不同，那么由這兩個方程構(gòu)成的二元一次方程組叫做和諧方程組．如：y?2x=6y?3x=6（1）下列方程組是和諧方程組的是（）A．?x+y=4x+y=?1；B．2x?2y=5x?2y=6；C．（2）請你補全和諧方程組y+2x=3()思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“和諧方程組”的概念進行判斷；（2）根據(jù)“和諧方程組”的概念進行填空．解：（1）A．?x+y=4x+y=?1B．2x?2y=5x?2y=6C．m?4n=5m?3n=5故答案是：C．（2）根據(jù)題意知，y+3x=32y+3x=3解這個方程組可得：x=1y=0點睛：本題主要考查了二元一次方程組的定義，解題的關(guān)鍵是弄清楚“和諧方程組”的概念．類型四閱讀材料題型中的新定義典例4閱讀下列材料解答問題：新定義：對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果n?12≤x＜則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n?12≤x＜＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…試解決下列問題：（1）①＜π+2.4＞＝（π為圓周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，則數(shù)x的取值范圍為；（2）求出滿足＜x＞=54x﹣1的思路引領(lǐng)：（1）①利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出＜π+2.4＞的值；②利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出x的取值范圍；（2）利用＜x＞=54x﹣1，設(shè)54x＝k，k解：（1）由題意可得：＜π+2.4＞＝6；故答案為：6，②∵＜x﹣1＞＝2，∴1.5≤x﹣1＜2.5，∴2.5≤x＜3.5；故答案為：2.5≤x＜3.5；（2）∵x≥0，54x﹣1為整數(shù)，設(shè)54x＝k，則x=45∴＜45k＞＝∴k﹣1?12≤45k＜k∴52≤k∴k＝3，4，5，6，7，則x=125，165，4，24點睛：此題主要考查了新定義以及一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解＜x＞的意義是解題關(guān)鍵．針對訓(xùn)練47．【閱讀新知】定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么和我們所學(xué)的實數(shù)對應(yīng)起來叫做復(fù)數(shù)，表示a+bi（a，b為實數(shù)），a叫做這個復(fù)數(shù)的實部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法等運算和法則與實數(shù)的運算類似．例如計算：i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i；（12+i）+（13﹣14i）＝（12+13）+（1﹣14）i＝25﹣13i；（5+i）×（3﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4i2＝15﹣17i+4＝19﹣17i．【應(yīng)用新知】（1）填空：i6＝；i9＝．（2）計算：①3i（2+i）；②（1+3i）（1﹣3i）．（3）請將5+i5?i化簡成a+bi思路引領(lǐng)：（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（3）原式利用題中的新定義計算即可求出值．解：（1）i6＝i2×i2×i2＝﹣1；i9＝i2×i2×i2×i2×i＝i；故答案為：﹣1；i；（2）①原式＝6i+3i2＝6i﹣3；②原式＝1﹣9i2＝1+9＝10；（3）原式=(5+i)點睛：此題考查了實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．專題提優(yōu)訓(xùn)練1.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d.當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文是()A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7答案：B2.在平面直角坐標系中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a指任意兩點橫坐標差的最大值；“鉛垂高”h指任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S＝ah，例如，三點坐標分別為A(－1，1)，B(2，5)，C(3，－1).則“水平底”a＝4，“鉛垂高”h＝6，“矩面積”S＝ah＝24，已知點A(1，3)，B(－2，－1)，C(m，0)的“矩面積”不超過18，則m的取值范圍是.答案：－≤m≤3.令a、b兩數(shù)中較大的數(shù)記作max|a，b|，如max|2，3|＝3，已知k為正整數(shù)且使不等式max|2k＋1，－k＋5|≤5成立，則k的值是.答案：2或14．對于正實數(shù)a，b作新定義：a⊙b＝2a?b，若25⊙x2＝4，則x的值為解：由題意可得：225?則10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案為：±6．5．新定義：對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負整數(shù)時，若n?12≤x＜n+12，則（x①（1.493）＝1；②（2x）＝2（x）；③若（12x?1）＝4，則x的取值范圍是9≤④當(dāng)x≥0，m為非負整數(shù)時，有（m+2013x）＝m+（2013x）；其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確的序號）．解：①（1.493）＝1，故①符合題意；②（2x）≠2（x），例如當(dāng)x＝0.3時，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合題意；③若（12x﹣1）＝4，則4?12≤12④m為非負整數(shù)，故（m+2013x）＝m+（2013x），故④符合題意；綜上可得①③④正確．故答案為：①③④．6．一種新定義運算為：對于任意兩個數(shù)a與b，a※b＝2a+b，若4※x＝26，則2x=解：4※x＝268+x＝26x＝18，2x=故答案為：6．7．對于正實數(shù)a，b作新定義：a*b＝ba?a+b，在此定義下，若9*x＝55，則x的值為解：依題意得9*x＝x9?9+x解得：x＝16．故答案為：16．8.我們用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[－3.2]＝－4，[－3]＝3，[0.8]＝0，[2.4]＝2，則關(guān)于x的方程2x－3[x]＋＝0的解為.答案：6或7簡析：提示：2x－3[x]＝－，若x≤0，則2x－3[x]≥0，不成立，∴x＞0，且x不為整數(shù)；解法1：設(shè)x＝m＋n，其中m為正整數(shù)，0≤n＜1，[x]＝m，∴2m＋2n－3m＝－，得n＝m－，∴0≤m－＜1，≤m＜.∵m為正整數(shù)，∴m＝6或7.當(dāng)m＝6時，n＝；當(dāng)m＝7時，n＝，∴x＝6或7.解法2：設(shè)[x]＝t(t為正整數(shù))，x＝t－，由x－1≤[x]＜x得，t－≤t＜t－，解得≤t＜.∴t＝6或7，x＝6或7.解法3：設(shè)[x]＝m＋n，其中m為正整數(shù)，0≤n＜1，[x]＝m，∴2m＋2n－3m＝－，∴m－2n＝.∵0≤2n＜2，m為正整數(shù)，m－2n＝＝6－＝7－，∴m＝6，n＝或m＝7，n＝，∴x＝m＋n＝6或7.9．新定義：對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果n?12≤x＜n+12，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n?（1）填空：①＜π＞＝；②如果＜2x﹣1＞＝3，則實數(shù)x的取值范圍為．（2）求滿足＜x＞=43x的所有非負實數(shù)（3）若關(guān)于x的不等式組2x?43≤x?1＜a＞?x＞0思路引領(lǐng)：（1）①利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出＜π＞的值；②利用對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，進而得出x的取值范圍；（2）利用＜x＞=43x設(shè)設(shè)43x＝k，k（3）首先將＜a＞看作一個字母，解不等式組進而根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出a的取值范圍．解：（1）①由題意可得：＜π＞＝3；故答案為：3，②∵＜2x﹣1＞＝3，∴2.5≤2x﹣1＜3.5，∴1.75≤x＜2.25；故答案為：1.75≤x＜2.25；（2）∵x≥0，43x為整數(shù)，設(shè)43x＝k，則x=34∴＜34k＞＝∴k?12≤34k＜∴0≤k≤2，∴k＝0，1，2，則x＝0，34，3（3）解不等式組得：﹣1≤x＜＜a＞，由不等式組整數(shù)解恰有3個得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5．點睛：此題主要考查了新定義以及一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解＜x＞的意義是解題關(guān)鍵．10．（2019秋?海珠區(qū)校級期中）如果一對數(shù)m，n，滿足m3+n4=m+n3+4，我們稱這一對數(shù)m，n為“友好數(shù)對”，記為（m，n）；如果一對數(shù)a，b，滿足a+b＝7，我們稱這一數(shù)對a（1）若（m，1）是“友好數(shù)對”，則m＝；（2）若（m，n）是“友好數(shù)對”，則m＝；（用含n的代數(shù)式表示）（3）若有一數(shù)對x，y既是“友好數(shù)對”，也是“和氣數(shù)對”，求x，y的值；（4）若（m，n）是“友好數(shù)對”，[a，b]是“和氣數(shù)對”，求代數(shù)式3m?7n4?[4（a﹣n）﹣m思路引領(lǐng)：（1）由“友好數(shù)對”的定義可得關(guān)于m的一元一次方程，求解即可；（2）由“友好數(shù)對”的定義可得關(guān)于m和n的二元一次方程，將m用含n的式子表示出來即可；（3）由“友好數(shù)對”及“和氣數(shù)對”的定義可得關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解即可；（4）由“友好數(shù)對”的定義可得關(guān)于m和n的二元一次方程，將其變形整理；由和氣數(shù)對”的定義可得a+b＝7，然后將m與n的關(guān)系式及a與b的關(guān)系式代入代數(shù)式3m?7n4?[4（a﹣n）﹣m解：（1）由“友好數(shù)對”的定義得：m3解得：m=?9故答案為：?9（2）由“友好數(shù)對”的定義得：m3∴m3∴m=?916故答案為：?916（3）由題意得：x3將②代入①得：4x+3y＝12，∴x+3（x+y）＝12，∴x+3×7＝12，∴x＝﹣9，∴﹣9+y＝7，∴y＝16．∴x＝﹣9，y＝16；（4）∵（m，n）是“友好數(shù)對”，∴m3∴28m+21n＝12m+12n，∴16m+9n＝0．∵[a，b]是“和氣數(shù)對”，∴a+b＝7，∴3m?7n4?[4（a﹣n）﹣＝3m?7n4?4a+4n+＝4m+94n﹣（4a+4=14（16m+9n）﹣4（a+＝0﹣4×7＝﹣28．點睛：本題考查了一元一次方程、二元一次方程組在新定義習(xí)題中的應(yīng)用及代數(shù)式求值，讀懂題中的定義并熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2020春?江陰市校級期中）當(dāng)m、n都是實數(shù)，且滿足2m﹣n＝6時，我們就稱（m﹣1，n2（1）請判斷（2，﹣4）是否為和諧數(shù)對？（2）已知關(guān)于x、y的方程組x+y=6x?y=2a，當(dāng)a為何值時，以方程組的解為數(shù)對，即（x，y思路引領(lǐng)：（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）表示出方程組的解，根據(jù)題中的新定義判斷即可．解：（1）根據(jù)題意得：m?1=2n解得：m=3n=?10代入得：2m﹣n＝6+10＝16≠6，則（2，﹣4）不是和諧數(shù)對；（2）x+y=6①x?y=2a②①+②得：2x＝2a+6，解得：x＝a+3，把x＝a+3代入①得：y＝3﹣a，根據(jù)題意得：m?1=a+3n解得：m=a+4n=4?2a代入得：2m﹣n＝2a+8﹣4+2a＝4a+4，當(dāng)4a+4＝6，即a=12時，滿足2m﹣n＝6，即以方程組的解為數(shù)對即（x，點睛：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．12．對于正實數(shù)a，b作新定義：a*b＝ba?a+b．在此定義下，若9*x＝55，則x思路引領(lǐng)：根據(jù)a*b＝ba?a+b，以及9*x＝55，可得：9x﹣9+x＝55，據(jù)此求出x解：∵a*b＝ba?a+b，9*x∴9x﹣9+x＝55，∴4x＝64，解得x＝16．點睛：此題主要考查了定義新運算，以及實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．13．喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例：1，4，9這三個數(shù)，1×4=2，1×9=3，（1）請證明2，18，8這三個數(shù)是“和諧組合”，并求出最小算術(shù)平方根和最大算術(shù)平方根．（2）已知9，a，25三個數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的3倍，求a的值．思路引領(lǐng)：（1）對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”；（2）分三種情況討論：①當(dāng)9≤a≤25時，②當(dāng)a≤9＜25時，③當(dāng)9＜25≤a時，分別依據(jù)“和諧組合”的定義進行計算即可．解：（1）∵2×18=6，2×8=4，∴2，18，8這三個數(shù)是“和諧組合”，∴最小算術(shù)平方根是4，最大算術(shù)平方根是12．（2）分三種情況討論：①當(dāng)9≤a≤25時，25a=39a解得a＝0（不合題意）；②當(dāng)a≤9＜25時，9×25=39a解得a=25③當(dāng)9＜25≤a時，25a=39×25解得a＝81，綜上所述，a的值為81．點睛：本題主要考查了算術(shù)平方根，一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．14．新定義：對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.4]＝1，[2]＝2，[﹣3.5]＝﹣4，試解決下列問題：（1）填空：①[π]＝（π為圓周率），②如果[x﹣2]＝3，則實數(shù)x的取值范圍；（2）若點P（x，y）位于第一象限，其中x，y是方程組x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a（3）若f（k）＝[k+14]﹣[k4]（k是正整數(shù)），例：f（3）＝[3+14①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k+1）≥f（k）；④f（k）＝0或1．正確的有（填序號）．思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，可得答案；②根據(jù)規(guī)定可得3≤x﹣2＜4，解不等式組即可求解；（2）解方程組得x=5?2[a]y=3[a]?3，由點P位于第一象限知5?2[a]＞03[a]?3＞0，據(jù)此得1＜[a]（3）根據(jù)題意可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．解：（1）①根據(jù)題意知[π]＝3；②∵[x﹣2]＝3，∴3≤x﹣2＜4，解得5≤x＜6，故答案為：①3；②5≤x＜6．（2）解關(guān)于x，y是方程組x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3得x=5?2[a]∵點P位于第一象限，∴5?2[a]＞03[a]?3＞0解得1＜[a]＜5則[a]＝2，∴2≤a＜3；（3）f（1）＝[1+14]﹣[1f（k+4）＝[k+4+14]﹣[k+44]＝[k+14+1]﹣[k4+1]＝[k+14當(dāng)k＝3時，f（3+1）＝[4+14]﹣[44]＝1﹣1＝0，而當(dāng)k＝3+4n（n為自然數(shù)）時，f（k）＝1，當(dāng)k為其它的正整數(shù)時，f（k）＝0，所以④正確；故答案為：①②④．點睛：本題考查取整函數(shù)、解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成立．15．【知識重現(xiàn)】我們知道，在ax＝N中，已知底數(shù)a，指數(shù)x，求冪N的運算叫做乘方運算．例如23＝8；已知冪N，指數(shù)x，求底數(shù)a的運算叫做開方運算，例如38【學(xué)習(xí)新知】現(xiàn)定義：如果ax＝N（a＞0且a≠1），即a的x次方等于N（a＞0且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作x＝logaN．其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，x叫做以a為底N的對數(shù)．例如log28＝3．零沒有對數(shù)；在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有對數(shù)．【應(yīng)用新知】（1）填空：在ax＝N，已知冪N，底數(shù)a（a＞0且a≠1），求指數(shù)x的運算叫做運算；（2）選擇題：在式子log5125中，真數(shù)是A.3B.5C.10D.125（3）①計算以下各對數(shù)的值：log39；log327；log3243．②根據(jù)①中計算結(jié)果，請你直接寫出logaM，logaN，loga（MN）之間的關(guān)系．（其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）思路引領(lǐng)：根據(jù)閱讀材料中的方法將各式計算，找出關(guān)系即可．解：（1）填空：在ax＝N，已知冪N，底數(shù)a（a＞0且a≠1），求指數(shù)x的運算叫做對數(shù)運算；（2）選擇題：在式子log5125中，真數(shù)是D，A.3B.5C.10D.125；故答案為：（1）對數(shù)；（2）D（3）①計算以下各對數(shù)的值：log39＝log332＝2；log327＝log333＝3；