第06講實際問題與一元二次方程（6種題型）（原卷版）

第06講實際問題與一元二次方程（6種題型）【知識梳理】列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.【考點剖析】題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)例1．（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢．某地92號汽油價格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增長率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9例2．（2022?上海）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．例3.隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛(wèi)計委通過嚴打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當行為，某種藥品原價200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．例4．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）今年五一“網(wǎng)紅長沙”再次火出“圈”，27個旅游景區(qū)五天累計接待游客萬人，成為全國十大必到城市之一．長沙美食也吸引了無數(shù)游客紛紛打卡，某網(wǎng)紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營業(yè)額達到10萬元，第4天營業(yè)額為萬元，據(jù)估計第3天、第4天營業(yè)額的增長率相同．(1)求該網(wǎng)紅店第3，4天營業(yè)額的平均增長率；(2)若第1天的營業(yè)額為萬元，第五天由于游客人數(shù)下降，營業(yè)額是前四天總營業(yè)額的，求該網(wǎng)紅店第5天營業(yè)額．題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.例5.如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米．求雞場的長和寬各多少米？例6.如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？例7.（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．例8.（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？題型3：數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x2，x+2.例9.已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．例10.一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個兩位數(shù).題型4：利潤（利息）問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

例11.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應將銷售單價定位多少元？例12.商場某種新商品每件進價是120元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當每件商品售價為130元時，每天可銷售70件，當每件商品售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件．據(jù)此規(guī)律，請回答：①當每件商品售價定為170元時，每天可銷售多少件商品？商場獲得的日盈利是多少？②在上述條件不變、商品銷售正常的情況下，每件商品的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．（1）求4月份再生紙的產(chǎn)量；（2）若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加m%．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加%，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求m的值；（3）若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分數(shù)相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了25%．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？題型5：比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．例14．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9例15.首屆中國象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？題型6：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．例16．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據(jù)題意列出方程為（

）A． B．C． D．例17．（2023·全國·九年級專題練習）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個人．【過關檢測】一、單選題1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）在“雙減政策”的推動下，我縣某中學學生每天書面作業(yè)時長明顯減少，2022年上學期每天書面作業(yè)平均時長為，經(jīng)過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業(yè)時長為，設該校這兩學期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設綠地長為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？级＃㎞K中學秋季運動會上安排了8行12列的鮮花儀仗隊，后來又增加了69人，使得隊伍增加的行、列數(shù)相同，設增加了x行，則可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2022秋·天津武清·九年級?？茧A段練習）一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．645．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為，那么水渠應挖多寬？若設水渠應挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．6．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┯幸粋€人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染個人，可到方程為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．20222023CBA常規(guī)賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（）A．80個 B．120個 C．15個 D．16個8．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2022秋·遼寧沈陽·九年級?？计谥校┤裟硟晌粩?shù)的十位數(shù)字是方程的根，則它的十位數(shù)字是_____．10．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶?；顒又?，每個參加活動的同學都給其余參加活動的同學各送1張賀卡，共送賀卡42張，設參加活動的同學有人，根據(jù)題意，可列方程是______11．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？级＃┠成虉鰧⑦M貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調查發(fā)現(xiàn)：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應降價________元．三、解答題12．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校?？既＃┠吵鞘?020年底已有綠化面積500公頃，經(jīng)過努力，綠化面積以相同的增長率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長率．13．（2023·山東德州·校考一模）某服裝銷售商用元購進了一批時髦服裝，通過網(wǎng)絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用元購進了同種服裝，第二次購進數(shù)量是第一次購進數(shù)量的倍，每件的進價多了元．(1)該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：若按每件元銷售，每天平均能賣出件，銷售價每降低元，則多賣出件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為元，銷售價應為多少？14．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為30m，20m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數(shù)為10萬人，5月份接待游客人數(shù)增加到12.1萬人．(1)求這兩個月游客人數(shù)的月平均增長率；(2)若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數(shù)是多少？16．（2022秋·福建泉州·九年級校考階段練習）為了響應“踐行核心價值觀，青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務者”，假定從一開始號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務者．”(1)求出m的值；(2)經(jīng)過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始起號召，但剛剛開始，他們就發(fā)現(xiàn)了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，他們三人的成功率也各不相同，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．①分別求出他們三人號召的成功率；②求出n的值．17．（2022秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票18．（2022秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大型小區(qū)設置了、兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知點平均每人采樣720份，點平均每人采樣700份．(1)求、兩點各有多少名醫(yī)護人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從點抽調部分醫(yī)護人員到點經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360份，求從點抽調了多少名醫(yī)護人員到點？19．（2022秋·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動．問：(1)P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形的面積為？(2)幾秒時點P點Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點間距離何時最小？20．（2023春·山西長治·九年級校聯(lián)考階段練習）小米又稱栗米，古稱栗，是中國古代的“五谷”之一，“人說山西好風光，地肥水美五谷香”、我省晉中、晉東南、陽泉盛產(chǎn)小米、某超市計劃用元的價格購進一批優(yōu)質小米，根據(jù)銷售經(jīng)驗，當該小米的售價為元時，月銷售量為，每千克小米售價每增長元，月銷售量就相應減少．(1)若使這種小米的月銷售量不低于，每千克小米售價應不高于多少元？(2)在實際銷售過程中，每千克小米的進價為元，而每千克小米的售價比（1）中最高售價減少了，月銷售量比（1）中最低月銷售量增加