清單12角平行垂直（3個(gè)考點(diǎn)梳理18種題型解讀提升訓(xùn)練）

清單12角、平行、垂直（3個(gè)考點(diǎn)梳理+18種題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一角角的概念：由公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角（靜態(tài)），角也可以看做由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖（動(dòng)態(tài)）。角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示法（四種）：1)角可以用三個(gè)大寫字母表示,但表示頂點(diǎn)的字母一定要寫在中間。2)用一個(gè)字母表示角,必須是以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角，而且只有一個(gè)。3)用一個(gè)數(shù)字表示角,在靠近頂點(diǎn)處畫上弧線,寫上數(shù)字。4)用一個(gè)希臘字母表示,在靠近頂點(diǎn)處畫上弧線,寫上希臘字母。角的度量：1°=60′；1′=60″；1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°角的大小的比較：1）疊合法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，再進(jìn)行比較。角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。余角概念：如果兩個(gè)角的和等于直角，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的余角。補(bǔ)角概念：如果兩個(gè)角的和等于平角，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的補(bǔ)角?！拘再|(zhì)】同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補(bǔ)角相等。時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋虹姳硪恢転?60°，每一個(gè)大格為30°，每一個(gè)小格為6°.（每小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°，即一個(gè)大格，分針轉(zhuǎn)過(guò)360°，即一周；每分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)6°即一個(gè)小格）種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角（∠1與∠2）112有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線∠1=∠2鄰補(bǔ)角（∠3與∠4）4343有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠3+∠4=180°【注意事項(xiàng)】1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；2）如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角；3）如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角；4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)?！究荚囶}型1】角的概念理解1．如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB也可用∠O來(lái)表示B．∠β與∠BOC是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1與∠AOB是同一個(gè)角【答案】A【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、∠1與∠AOB是同一個(gè)角，不可用∠O來(lái)表示，說(shuō)法錯(cuò)誤；B、∠β與∠BOC是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；C、圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，說(shuō)法正確；D、∠1與∠AOB是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法．2．如圖，∠AOB的一邊OB經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．P點(diǎn) B．Q點(diǎn) C．M點(diǎn) D．N點(diǎn)【答案】D【分析】組成角的兩邊是射線，射線的特點(diǎn)有：①只有一個(gè)端點(diǎn)；②直的；③向一邊無(wú)線延伸．據(jù)此可用直尺去連接OB，看矩形內(nèi)的哪個(gè)點(diǎn)在這條射線上即可．【詳解】解：畫出射線OB可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角、射線的定義和畫法，解題的關(guān)鍵是知道射線是直的．3．將量角器按如圖方式放置，其中角度為45°的角是（

）A．∠AOB B．∠BOC C．∠COD D．∠DOE【答案】B【分析】根據(jù)量角器分別得出每個(gè)角的度數(shù)即可．【詳解】解：由量角器可知，∠AOB＝40°，∠BOC＝45°，∠COD＝55°，∠DOE＝35°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的概念，熟練掌握角的概念是解題的關(guān)鍵．4．∠ACB的兩邊分別是（

A．射線AC、BC B．射線CA，CB C．線段AC，BC D．直線CA，CB【答案】B【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：∠ACB的兩邊分別是射線CA，CB故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【考試題型2】角的表示方法1．如圖，下列說(shuō)法中不正確的是（）A．∠1與∠AOB是同一個(gè)角 B．∠α與∠COB是同一個(gè)角C．∠AOC可以用∠O來(lái)表示 D．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【答案】C【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，這個(gè)角才可以用一個(gè)頂點(diǎn)字母來(lái)表示，由此可得結(jié)論．【詳解】解：A、∠1與∠AOB表示的是同一個(gè)角，故A說(shuō)法正確，不符合題意；B、∠α與∠COB是同一個(gè)角，故B說(shuō)法正確，不符合題意；C、以O(shè)為頂點(diǎn)的角一共有三個(gè)，不能用一個(gè)頂點(diǎn)字母表示，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、由圖可知，圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故D說(shuō)法正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．2．下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．角還可以用一個(gè)希臘字母表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字表示．【詳解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是選項(xiàng)A中的圖，選項(xiàng)B，C，D中的圖都不能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的概念，有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．角可以用三個(gè)大寫字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．【考試題型3】角的單位及角度制1．把40°??12'A．40．11° B．40．21° C．【答案】B【分析】根據(jù)1°等于60′，1′等于60″計(jì)算即可．【詳解】40°12′36″中的12′36″化為秒為12×60″+36″=756″，756″÷3600=0.21°，即40°12′36″用度表示為：40.21°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的單位于角度制的知識(shí)，掌握度分秒之間時(shí)60進(jìn)制是解答本題的關(guān)鍵．2．用度、分、秒表示31.21°為（

）A．31°12'36″ B．31°21' C．31°12'23″ D．31°20'1″【答案】A【分析】根據(jù)1度等于60分，1分等于60秒，31.21°由大單位轉(zhuǎn)換成小單位乘以60，按此轉(zhuǎn)化即可.【詳解】解：31.21°=31°12'36″故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了度分秒的換算，掌握換算公式是解題的關(guān)鍵.【考試題型4】角的度數(shù)的大小比較1．若∠1=25°15'，∠2=25°13'3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行大小比較，即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠1=25°15'，∠2=25°13'3∴∠3>∠1>∠2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖，∠1與∠2之間的關(guān)系是（

）A．∠1>∠2 B．∠1=∠2 C．∠1<∠2 D．∠1與∠2的大小無(wú)法比較【答案】B【分析】利用度量法測(cè)量各角，故可求解．【詳解】用度量法測(cè)得∠1=24°，∠2=24°∴∠1=∠2．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的使用．3．已知∠α與∠β都小于平角，在平面內(nèi)把這兩個(gè)角的一條邊重合，若∠α的另一條邊恰好落在∠β的內(nèi)部，則（）．A．∠α<∠β B．∠α=∠β C．∠α>∠β D．不能比較∠α與∠β的大小【答案】A【分析】如圖所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，∠AOC＞∠BOC，【詳解】解：如圖所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∵∠AOC＞∠BOC，∴∠α<∠β，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，解題的關(guān)鍵在于能夠畫出圖形進(jìn)行求解．【考試題型5】鐘表上有關(guān)角的計(jì)算1．已知在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成一直角，則這時(shí)可能是（）A．3：30 B．6：15 C．9：00 D．12：45【答案】C【分析】根據(jù)鐘面角的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由鐘面角的定義可知，鐘面上每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為360°×112＝30°當(dāng)時(shí)間為9：00時(shí)，時(shí)針指向數(shù)字9，分針指向數(shù)字12，這時(shí)分針與時(shí)針的夾角為30°×（12﹣9）＝90°，其余選項(xiàng)均不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時(shí)鐘的時(shí)針與分針相差的大格數(shù)．2．小明晚上放學(xué)到家時(shí)，鐘表的時(shí)間顯示為6點(diǎn)15分（如圖），此時(shí)時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是（

）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°【答案】C【分析】根據(jù)鐘面平均分為12份，每份的圓心角度數(shù)為30°，再根據(jù)時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)乘以30°即可求解．【詳解】解：6點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)是3+1560=13∴6點(diǎn)15分時(shí)時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是134×30°=97.5°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，確定時(shí)針和分鐘相距的份數(shù)是解答的關(guān)鍵．3．4點(diǎn)10分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A．55° B．65°C．70° D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】B【詳解】因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€(gè)圓平均分成了12等份，每一份是30°，4點(diǎn)10分時(shí)，分針從12到2轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)格轉(zhuǎn)動(dòng)角度為：30°×2=60°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)1060×30°=5°，4點(diǎn)10分時(shí)，分針與時(shí)針的夾角是2×30°+5°=65°故選B．點(diǎn)睛：本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角．用到的知識(shí)點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°．【考試題型6】方位角的表示1．淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向【答案】D【分析】根據(jù)方向角的定義可得答案．【詳解】解：如圖：∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向．

故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查方向角，理解方向角的定義是正確解答的關(guān)鍵．2．如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對(duì)于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【答案】C【分析】根據(jù)B在A的北偏東40°方向，即可得出直線AB與B點(diǎn)正南方向的夾角為40°，再根據(jù)A的位置即可得到答案．【詳解】解：B在A的北偏東40°方向，∴小島A相對(duì)于小島B的方向是南偏西40°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法．【考試題型7】與方向角有關(guān)的計(jì)算1．如圖，點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A的方向是（

）．A．南偏東43° B．北偏西47° C．西偏北47° D．東偏南47°【答案】B【分析】先根據(jù)題意得出∠1的角度，再根據(jù)方位即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：在A的正西方于點(diǎn)C．由題意可得，∠CAB=43°，所以，∠1=90°-∠CAB=90°-43°=47°,故由點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A的方向是：北偏西47°,故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了方向角，根據(jù)題意得出∠1的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．一艘海上搜救船借助雷達(dá)探測(cè)儀尋找到事故船的位置，雷達(dá)示意圖如圖所示，搜救船位于圖中點(diǎn)O處，事故船位于距O點(diǎn)40海里的A處，雷達(dá)操作員要用方位角把事故船相對(duì)于搜救船的位置匯報(bào)給船長(zhǎng)，以便調(diào)整航向，下列四種表述方式中正確的為（

）A．事故船在搜救船的北偏東60°方向 B．事故船在搜救船的北偏東30°方向C．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D．事故船在搜救船的南偏東30°方向【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)的位置確定應(yīng)該有方向以及距離，進(jìn)而利用方位角轉(zhuǎn)化為方向角得出即可．【詳解】A.事故船在搜救船的北偏東60°方向，是從0°算起30°方向不是事故船方向，故選項(xiàng)A不正確；

B.事故船在搜救船的北偏東30°方向，是從0°算起60°方向是事故船的方向，故選項(xiàng)B正確；C.事故船在搜救船的北偏西60°方向，是從0°算起150°方向，不是事故船出現(xiàn)的方向，故選項(xiàng)C不正確；

D.事故船在搜救船的南偏東30°方向，是從0°算起300°方向，不是事故船的方向，故選項(xiàng)D不正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的定義，確定方位角的兩個(gè)要素：一是方向；二是角度，掌握理解定義是解題關(guān)鍵．3．如圖，學(xué)校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，點(diǎn)C表示超市所在的位置，∠ABC=90°，則超市C在蕾蕾家的（）A．北偏東55°的方向上 B．南偏東55°的方向上C．北偏東65°的方向上 D．南偏東65°的方向上【答案】D【分析】直接利用方向角的定義得出∠2的度數(shù)．【詳解】如圖所示：由題意可得：∠1＝25°，∠ABC則∠2＝65°故超市（記作C）在蕾蕾家的南偏東65°的方向上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的定義，解題的關(guān)鍵是正確根據(jù)圖形得出∠2的度數(shù)是．4．如圖,射線OA表示北偏東30°方向,射線OB表示北偏西50°方向,則∠AOB的度數(shù)是（

）A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠AOB=30°+50°，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵射線OA表示北偏東30°方向，射線OB表示北偏西50°方向，∴∠AOB=30°+50°=80°．故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了方向角問(wèn)題，根據(jù)題意借助互余兩角的關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．【考試題型8】與角平分線有關(guān)的計(jì)算1．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=30°，則∠CON的度數(shù)為（

）A．30°B．40°C．60°D．50°【答案】C【分析】由∠AOM=30°和射線OM平分∠AOC，可求∠MOC=30°；再根據(jù)ON⊥OM，即可求得∠CON．【詳解】解：∵∠AOM=30°，射線OM平分∠AOC，∴∠MOC=∠AOM=30°∵ON⊥OM∴∠CON=∠MON∠MOC=90°30°=60°，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線和角的和差的知識(shí)，正確運(yùn)用角的和差是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，則∠AOA4的大小為（

）A．1° B．2° C．4° D．8°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠AOA1=12∠AOB=32°【詳解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=12∠AOB=32°∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=12∠AOA1=16°同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的應(yīng)用，掌握角平分線的定義是關(guān)鍵．3．已知：如圖，直線BO⊥AO于點(diǎn)O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．則∠AOC的度數(shù)是(

)A．22° B．46° C．68° D．78°【答案】C【分析】由垂直的定義可知∠AOB=90°，由角平分線的定義可知∠BOC=∠BOD=22°，從而求得∠AOC的度數(shù).【詳解】解：∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=22°，∴∠AOC=90°22°=68°.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，角平分線的定義.【考試題型9】與角n等分線有關(guān)的計(jì)算1．在銳角∠AOB內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA?OB可組成的角的個(gè)數(shù)是（

）A．595 B．406 C．35 D．666【答案】B【分析】設(shè)銳角∠AOB=α，第1種中間由9條射線，每個(gè)小角為α10，第2種中間由11條射線，每個(gè)小角為α12，第3種中間由14條射線，每個(gè)小角為α15，利用∠AOB內(nèi)部的三種射線與OA形成的角相等求出重合的射線，第一種第m被倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12，與第三種p倍小角pα15相同，則m10=n12=p15，先看三種分法中無(wú)同時(shí)重合的，再看每?jī)煞N分法重合情況，第1種,第2種,共重合1條，第1種,第3種，共重合4條，，第2種,第3【詳解】設(shè)銳角∠AOB第1種是將∠AOB分成10等份；中間由9條射線，每個(gè)小角為α10第2種是將∠AOB分成12等份；中間由11條射線，每個(gè)小角為α12第3種是將∠AOB分成15等份，中間由14條射線，每個(gè)小角為α15設(shè)第1種,第2種，第3種中相等的角的射線重合為1條，第一種第m倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12，與第三種p倍小角則m10先看三種分法中同時(shí)重合情況m:n:p=10:12:15除OA，OB外沒(méi)有重合的，再看每?jī)煞N分法重合情況第1種,第2種,m:n=5:6，第一種第5條與第二種第6條重合，共重合1條，第1種,第3種，m:p=2:3，m=2，4，6，8,與P=3，6，9，12重合，共重合4條，第2種,第3種,n:p=4:5,n=4，8與p=5，10重合，共重合2條，在∠AOB中一共有射線數(shù)=2+9+11+14124=29條射線，29條射線分成的所有角=1+2+3+…+28=12故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查射線分角問(wèn)題，不同角的個(gè)數(shù)求法，掌握掌握三種分法中排出重合射線的條數(shù)是解題關(guān)鍵．2．如圖，∠AOB＝12∠BOD，OC平分∠AOD①∠BOC＝13∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝12∠BOA；④∠COD＝A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)∠AOB＝12∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=13∠AOD，∠AOC=∠DOC=12∠AOD，進(jìn)而得到∠BOC=12∠AOB，∠DOC＝3∠BOC從而判斷出【詳解】解：因?yàn)椤螦OB＝12∠BOD所以∠AOB=13∠AOD因?yàn)镺C平分∠AOD，所以∠AOC=∠DOC=12∠AOD所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝12∠AOD－13∠AOD=16∠AOD=故①錯(cuò)誤，③正確；因?yàn)椤螪OC=12∠AOD，∠BOC=16所以∠DOC＝3∠BOC故②錯(cuò)誤，④正確．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意表示∠AOB=13∠AOD，∠AOC=∠DOC=123．在∠AOB的內(nèi)部作射線OC，射線OC把∠AOB分成兩個(gè)角，分別為∠AOC和∠BOC，若∠AOC=13∠AOB或∠BOC=13∠AOB，則稱射線OC為∠AOB的三等分線．若∠AOB=60°，射線OCA．20° B．40° C．20°或40° D．20°或30°【答案】C【分析】根據(jù)題意得出∠AOC=20°或∠BOC=20°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠AOC=40°，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵∠AOB=60°，射線OC為∠AOB的三等分線．∴∠AOC=13∠AOB=20°∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-20°=40°，∴∠AOC的度數(shù)為20°或40°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．【考試題型10】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算1．將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中∠α與∠β一定互余的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余角：若兩角和為90°則兩角互余；計(jì)算判斷即可；【詳解】解：A．兩角不一定互余，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．∠α=45°，∠β=30°，兩角不互余，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．∠α+∠β=180°90°=90°，兩角互余，選項(xiàng)正確，符合題意；D．∠α+∠β=180°，兩角互補(bǔ)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，掌握互余的兩角和是90°是解題關(guān)鍵．2．若∠A=40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【答案】A【分析】用90°減去40°即可求解．【詳解】解：∵∠A=40°，∴∠A的余角=90°-40°=50°，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)角的余角，掌握和為90°的兩角互為余角是解題的關(guān)鍵．3．如果一個(gè)角的度數(shù)比它的補(bǔ)角的度數(shù)2倍多30°，那么這個(gè)角的度數(shù)是（

）A．50° B．70° C．130° D．160°【答案】C【分析】根據(jù)互為補(bǔ)角的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角是x，則它的補(bǔ)角是：(180-x)，根據(jù)題意，得：x=2(180-x)+30，解得：x=130，即這個(gè)角的度數(shù)為130°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了補(bǔ)角的知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)定義是解題的關(guān)鍵．【考試題型11】同（等）角的余角或補(bǔ)角相等的運(yùn)用1．如圖，小明將自己用的一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠COA=∠DOB B．∠AOD=∠BC．∠COA與∠DOA互余 D．∠AOD與∠COB互補(bǔ)【答案】B【分析】根據(jù)余角的定義和補(bǔ)角的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.∵∠COA+∠AOD=∠DOB+∠AOD=90°,∴∠COA=∠DOB，故此項(xiàng)不合題意；B.無(wú)法判斷∠AOD=∠B，故此項(xiàng)符合題意；C.∵∠COA+∠DOA=90°，∴∠COA與∠DOA互余，故此項(xiàng)不合題意；D.∵∠COA+∠AOD=∠DOB+∠AOD=90°，∴∠AOD+∠COB=∠AOD+∠COA+∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOD與∠COB互補(bǔ)，故此項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟記余角和補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．2．圖，C是直線AB上一點(diǎn)，CD⊥AB，EC⊥CF，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)與互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)分別是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義即可得．【詳解】∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD=90°，∴∠ACE+∠DCE=90°，∠BCF+∠DCF=90°，∵EC⊥CF，∴∠ECF=90°，∴∠DCE+∠DCF=90°，∴∠ACE=∠DCF，∠BCF=∠DCE，∴∠BCF+∠ACE=90°，則圖中互余的角的對(duì)數(shù)為4對(duì)；∵∠ACD=∠BCD=∠ECF=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ECF=∠BCD+∠ECF=180°，∵點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，∴∠ACB=180°，∴∠ACE+∠BCE=180°，∠ACF+∠BCF=180°，又∵∠ACE=∠DCF，∠BCF=∠DCE，∴∠DCF+∠BCE=180°，∠ACF+∠DCE=180°，則圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)為7對(duì)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、角互余與互補(bǔ)的定義，熟練掌握各定義是解題關(guān)鍵．3．如果∠A的兩邊分別垂直于∠B的兩邊，那么∠A和∠B的數(shù)量關(guān)系是（）A．相等 B．互余或互補(bǔ) C．互補(bǔ) D．相等或互補(bǔ)【答案】D【分析】由題意直接根據(jù)∠A的兩邊分別垂直于∠B的兩邊畫出符合條件的圖形進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：BD⊥AD，CE⊥AB，如圖：∵∠A＝90°﹣∠ABD＝∠DBC，∴∠A與∠DBC兩邊分別垂直，它們相等，而∠DBE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣∠A，∴∠A與∠DBE兩邊分別垂直，它們互補(bǔ)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線及角的關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知畫出符合條件的圖形．4．如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和互余的定義，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴圖中與∠B互余的角有2個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，互余定義，找到與∠B和為90°的角是關(guān)鍵．5．已知∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，則（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠2 D．∠1=∠2=∠3【答案】A【分析】根據(jù)同角的補(bǔ)角相等作答即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了同角的補(bǔ)角相等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．6．如果∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠4互補(bǔ)，且∠1＝∠3，那么（

）A．∠2＞∠4 B．∠2＜∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2與∠4的大小不定【答案】C【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠1與∠2互補(bǔ)，∴∠1+∠2=180°，∵∠3與∠4互補(bǔ)，∴∠3+∠4=180°，∵∠1=∠3，∴∠2=∠4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)角的定義．【考試題型12】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的識(shí)別1．下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角的概念逐一判斷即可．【詳解】解：A、∠1與∠2的頂點(diǎn)不相同，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意；B、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意；C、∠1與∠2是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)符合題意；D、∠1與∠2的一邊不是反向延長(zhǎng)線，故不是對(duì)頂角，此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的判斷，有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角,解題關(guān)鍵是熟練掌握定義，正確判斷．2．如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠COF的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠EOC B．∠DOF C．∠DOF和∠AOC D．∠EOC和∠DOF【答案】D【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念解答即可．【詳解】：解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，∠COF的鄰補(bǔ)角是∠DOF和∠EOC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的概念，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．【考試題型13】利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)1．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，則∠BOD的大小為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】由題意易得∠COB=60°，∠COD=90°，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD，∴∠AOC+∠COB=180°，∠COD=90°，∵∠AOC=120°，∴∠COB=60°，∴∠BOD=90°-∠COB=30°；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握垂直的定義及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD=75°，之后根據(jù)∠1=25°，即可求出∠2．【詳解】解：由題可知∠BOD=∠AOC=75°，∵∠1=25°，∴∠2=∠BOD-∠1=75°-25°=50°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角和角的和與差，掌握對(duì)頂角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．如圖，利用工具測(cè)量角，則∠1的大小為（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】利用對(duì)頂角相等求解．【詳解】解：量角器測(cè)量的度數(shù)為30°，由對(duì)頂角相等可得，∠1=30°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查量角器的使用和對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握對(duì)頂角相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二平行與垂直直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足?！咀⒁馐马?xiàng)】線段與線段及射線與射線互相垂直，是指它們所在的直線互相垂直。垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角。3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條。垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短?！咀⒁馐马?xiàng)】垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離平行公理（唯一性）：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行?！究荚囶}型14】平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系1．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是（

）A．平行和垂直 B．平行和相交 C．垂直和相交 D．平行、垂直和相交【答案】B【分析】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種情況，平行或相交．【詳解】解：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨(dú)作為一類．2．在同一平面內(nèi)，不重合的兩直線的位置關(guān)系必是（）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行【答案】D【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系只有兩種，即可判定【詳解】解：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系，注意“在同一平面內(nèi)”這一條件限制．【考試題型15】平行公理的應(yīng)用1．圖，在同一平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)M且平行于直線a的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【答案】B【分析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行判斷即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)M且平行于直線a的直線只有1條．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的知識(shí)，掌握平行公理是解題的關(guān)鍵．【考試題型16】畫垂線1．下列選項(xiàng)中，過(guò)點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】根據(jù)畫垂線的方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵三角板有一個(gè)角是直角，∴三角板的一條直角邊與直線AB重合，∵過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線，∴三角板的另一條直角邊過(guò)點(diǎn)P，∴符合上述條件的圖形只有選項(xiàng)C．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用三角板畫垂線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用三角板畫垂線的方法．2．過(guò)點(diǎn)P向線段AB所在的直線畫垂線，正確的畫法是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法判斷即可．【詳解】解：A．沒(méi)有過(guò)點(diǎn)P，故該選項(xiàng)不符合題意；B．過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項(xiàng)符合題意；C．PO為垂線段，不是直線，故該選項(xiàng)不符合題意；D．PA沒(méi)有垂直于AB，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，掌握當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直是解題的關(guān)鍵．【考試題型17】點(diǎn)到直線的距離1．下列圖形中，線段AD的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線BC的距離的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【詳解】解：A．AD與BC不垂直，故線段AD的長(zhǎng)不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意；B．AD⊥BC于D，則線段AD的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線BC的距離，符合題意；C．AD與BC不垂直，故線段AD的長(zhǎng)不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意；D．AD與BC不垂直，故線段AD的長(zhǎng)不能表示點(diǎn)A到直線BC距離，不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，注意從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．2．如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語(yǔ)句是（）A．線段PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線a的距離B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離D．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離【答案】C【分析】利用點(diǎn)到直線的距離的定義、垂線段最短分析判斷即可．【詳解】解：A．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：即點(diǎn)到這一直線的垂線段的長(zhǎng)度．因?yàn)镻B⊥a，垂足是B，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．根據(jù)垂線段最短，PB⊥a，垂足是B，可知此選項(xiàng)正確，不符合題意；C．線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離．故此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，及垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，AD⊥BC，ED⊥AB，表示點(diǎn)D到直線AB距離的是線段（

）的長(zhǎng)度A．DB B．DE C．DA D．AE【答案】B【分析】根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離解答．【詳解】解：∵ED⊥AB，∴點(diǎn)D到直線AB距離的是線段DE的長(zhǎng)度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【考試題型18】垂線段最短1．如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關(guān)鍵．2．如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．兩點(diǎn)之間，直線最短C．兩點(diǎn)確定一條直線D．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短【答案】D【分析】根據(jù)垂線段最短即可完成．【詳解】根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，可知D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，掌握垂線段最短的性質(zhì)并能運(yùn)用于實(shí)際生活中是關(guān)鍵．【提升練習(xí)】1．如圖，兩直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，如果∠AOC:∠AOD=7:11，

(1)求∠COE；(2)若OF⊥OE，求∠COF．【答案】(1)145(2)125【分析】（1）首先依據(jù)∠AOC:∠AOD=7:11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度數(shù)，然后可求得∠BOD的度數(shù)，依據(jù)角平分線的定義可求得∠DOE的度數(shù)，最后可求得∠COE的度數(shù)；（2）先求得∠FOD的度數(shù)，然后依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC:∠AOD=7:11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°．∴∠BOD=70°．∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°-35°=145°．（2）解：∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°-55°=125°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的定義、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．2．如圖，已知∠AOC:∠BOC=1:5，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB的度數(shù)．【答案】108°【分析】設(shè)∠AOC=x，則∠BOC、∠AOB、∠AOD均可用x表示出來(lái)，由∠COD=36°來(lái)列方程，求出x，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)∠AOC=x，則∠BOC=5x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=1又∵∠COD=∠AOD-∠AOC，∴3x-x=36°，解得，x=18°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=x+5x=108°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，正確理清角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∠AOE=150°，∠AOB=40°．求∠AOD的度數(shù)．【答案】115°【分析】先由OB是∠AOC的平分線求出∠AOC，從而求出∠EOC，再用OD是∠COE的平分線求出∠EOD，最后用∠AOD=∠AOE-∠EOD計(jì)算即可．【詳解】∵OB是∠AOC的平分線，∠AOB=40°，∴∠AOC=2∠AOB=80°，∴∠EOC=∠AOE-∠AOC=70°．又∵OD是∠COE的平分線，∴∠EOD=1又∵∠AOE=150°，∴∠AOD=∠AOE-∠EOD=150°-35°=115°．【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．已知，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠COD=90°，OE是∠AOD的平分線．（1）如圖1，若∠COE=63°，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，OF是∠BOC的平分線，求∠EOF的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，OP是∠BOD的一條三等分線，∠DOP=13∠BOD，若∠AOC+∠DOF=∠EOF【答案】（1）126°；（2）45°；（3）35°【分析】（1）由互余得∠DOE度數(shù)，進(jìn)而由角平分線得到∠AOD度數(shù)，根據(jù)BOD=180°∠AOD可得∠BOD度數(shù)；（2）由角平分線得出∠AOE=12∠AOD=12(∠AOC+90°)，∠BOF=12(∠BOD+90°)，繼而由∠EOF=180°（3）∠DOF=45°12∠BOD，結(jié)合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP【詳解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，∴∠DOE=∠COD∠COE=27°，∵OE是∠AOD的平分線，∴∠AOD=2∠DOE=54°，∴∠BOD=180°∠AOD=180°54°=126°；答：∠BOD的度數(shù)為126°；（2）∵OE是∠AOD的平分線，∴∠AOE=∵OF是∠BOC的平分線，∴∠BOF=∠COF=1∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=1∵∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，∴∠EOF=1答：∠EOF的度數(shù)為45°；（3）由（2）得∠EOF=45°，∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，∴∠DOF=45°∠AOC，又∵∠DOF=∠COD-∠COF=90°-1∴45°-∠AOC=45°-1∴∠AOC=1∵∠AOC+∠BOD=90°，∴∠AOC=30°，∠BOD=60°，∴∠DOF=45°-30°=15°，∵∠DOP=1∴∠DOP=20°，∴∠FOP=∠DOF+∠DOP=15°+20°=35°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、余角和補(bǔ)角的計(jì)算、平角的定義及角的和與差，能根據(jù)圖形確定所求角和已知各角的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．5．【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”．(1)∠AOB的角平分線這個(gè)角的“幸運(yùn)線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運(yùn)線”，則∠AOC＝．【問(wèn)題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說(shuō)明理由．【答案】(1)是；(2)40°或60°或80°；(3)154或157或【分析】（1）由角平分線的定義可得；（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°可以求出∠AOC．（3）分三種情況討論，由“幸運(yùn)線”的定義，列出方程可求t的值．【詳解】（1）解：∵一個(gè)角的平分線平分這個(gè)角，且這個(gè)角是所分兩個(gè)角的兩倍，∴一個(gè)角的角平分線是這個(gè)角的“幸運(yùn)線”，故答案為：是．（2）解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°．①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時(shí)，∠AOC+∠BOC=3∠BOC=120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC=120°，∴∠AOC=40°．③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時(shí)，OC平分∠AOB，∴∠AOC=12∠AOB=60°綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案為：40°或60°或80°．（3）解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運(yùn)線”，∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：∴∠AOP=20t°，∠BOQ=10t°，∴∠POQ=∠AOB∠AOP∠BOQ=(15020t10t)°=(15030t)°,∠AOQ=∠AOB∠BOQ==(15010t)°．①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時(shí)，則20t=2×(15030t)，∴t=154②若∠POQ=2∠AOP，則15030t=2×20t，∴t=157③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=15010t，∴t=3．綜上所述：t=154或157或【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．一副三角板按如圖1所示放置，邊OA,OC在直線MN上，∠AOB=60°,∠COD=45°．(1)求圖1中∠BOD的度數(shù)；(2)如圖2，將三角板AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為5°/s，同時(shí)將三角板COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/s，當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到射線ON上時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t①在0<t<5范圍內(nèi)，當(dāng)OB⊥OC時(shí)，求t的值；②如圖3，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，作∠BOD的角平分線OE，當(dāng)∠AOE=15°時(shí)．直接寫出時(shí)間t的值．【答案】(1)75°(2)①2s；②t=11s或15s或35s．【分析】（1）利用角的和差關(guān)系可得∠BOD=180°-∠AOB-∠COD,從而可得答案；（2）①先求解OB,OD重合的時(shí)間，再畫出圖形，結(jié)合幾何圖形與角的和差關(guān)系列方程，再解方程即可；②分情況討論：當(dāng)0<t≤5時(shí)，結(jié)合①可得∠AOE>15°,當(dāng)5<t≤9時(shí)，∠AOE>15°,當(dāng)9<t≤12時(shí)，利用角的和差關(guān)系列方程15+15t-135=12(15t-75),解方程即可，當(dāng)12<t≤13.5時(shí)，如圖，當(dāng)13.5<t<18,利用角的和差關(guān)系列方程15t-135-15=12(15t-75),再解方程即可，當(dāng)18≤t<29時(shí)，∠AOE>15°,【詳解】（1）解：∵∠AOB=60°,∠COD=45°，∠AOC=180°,∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°.（2）解：①∵∠BOD=75°,則OB,OD重合時(shí)的時(shí)間為：755+15當(dāng)0<t<5時(shí)，∠AOM=5t,∠CON=10t,∵OB⊥OC,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°,∴5t+10t=180-150,解得：t=2,所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)2s時(shí)，OB⊥OC.②當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到射線ON上時(shí)，t=1805=36當(dāng)0<t≤5時(shí)，結(jié)合①可得∠AOE>15°,當(dāng)OB,OC重合時(shí)，t=1205+10=8（s），OA,OD重合時(shí)，t=所以當(dāng)5<t≤9時(shí)，∠AOE>15°,當(dāng)OC,OA重合時(shí)，t=1805+10=12當(dāng)9<t≤12時(shí)，∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=180°-15t,∠MOD=180°-45°-10t=135°-10t,∠BON=180°-60°-5t=120°-5t,∴∠BOD=180°-∠MOD-∠BON=15t-75°,∠AOD=∠AOM-∠DOM=15t-135°,∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,∴∠AOE+∠AOD=1∴15+15t-135=1解得：t=11,當(dāng)OD,OM重合時(shí)，t=13510=13.5當(dāng)12<t≤13.5時(shí)，如圖，∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=15t-180°,∠MOD=180°-45°-10t=135°-10t,∠BON=180°-60°-5t=120°-5t,∴∠BOD=180°-∠MOD-∠BON=15t-75°,∠AOD=∠AOM-∠DOM=15t-135°,∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,∴∠AOD-∠AOE=1∴15t-135-15=1解得：t=15,不符合題意，舍去，當(dāng)OC,OM重合時(shí)，t=18010=18當(dāng)13.5<t<18,∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=15t-180°,∠MOD=45°+∴∠BOD=180°+∠MOD-∠BON=15t-75°,∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,∴∠AOD-∠AOE=1∴15t-135-15=1解得：t=15,如圖，當(dāng)OD,OB再次重合時(shí)，t=360+75當(dāng)18≤t<29時(shí)，∠AOE>15°,如圖，當(dāng)OA,ON重合時(shí)，t=36（s）當(dāng)29≤t≤36時(shí)，∴∠MOA=5t,∠AON=180°-5t,∠CON=360°-10t,∠AOC=∠AON+∠CON=540°-15t,∠NOD=10t-135°-180°=10t-315°,∠BON=5t-120°,∴∠BOD=∠DON+∠BON=15t-435°,∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,∴∠AOD+∠AOE=1∴15t-495+15=1解得：t=35綜上：當(dāng)∠AOE=15°時(shí)，t=11s或15s或35s．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何圖形中角的和差關(guān)系，角的動(dòng)態(tài)定義的理解，一元一次方程的應(yīng)用，“數(shù)形結(jié)合與利用一元一次方程解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題”是解本題的關(guān)鍵.7．已知直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_________秒．【答案】（1）60，75；（2）152秒；（3）3或12或21或【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．（2）由題意先根據(jù)α=60°，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時(shí)，其OE'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)+OF'運(yùn)動(dòng)的度數(shù)=150，列式解出即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個(gè)方程可得時(shí)間．【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°30°=60°，∠AOD=180°30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=12∠AOD=12故答案為：60，75；（2）當(dāng)α=60°，∠EOF=90°+60°=150°．設(shè)當(dāng)射線OE'與射線OF可得12t+8t=150，解得：t=15答：當(dāng)射線OE'與射線OF（3）設(shè)射線OE'轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為由題意得：12t+8t=150-90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150-90或12t+8t=360+150+90，解得：t=3或12或21或30．答：射線OE'轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為3或12或21或【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計(jì)算，第三問(wèn)有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．8．如圖，已知∠A