專題3.1勾股定理（原卷版）

專題3.1勾股定理【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握勾股定理的內(nèi)容；2、會(huì)用面積法證明勾股定理，能利用勾股定理求出邊長(zhǎng)；【題型目錄】亮題一：用勾股定理解三角形亮題二：利用勾股定理求面積亮題三：勾股定理與折疊問題亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【知識(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)一勾股定理的概念勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．?dāng)?shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時(shí)，首先看題目中有沒有具備這個(gè)條件，只有具有這個(gè)條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時(shí)要注意它的訓(xùn)練：（3）應(yīng)用勾股定理時(shí)要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時(shí)，，若，則。（4）在實(shí)際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的驗(yàn)證方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．亮題一：用勾股定理解三角形1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，若BC＝8，BD＝5，則AC的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．132．在中，，垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是（）A．8 B．10 C．12 D．13．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm4．如圖在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．5．在中，，若，，則＝______．6．小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地ABCD（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度．小東經(jīng)測(cè)量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長(zhǎng)度為_____．7．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為_____．8．如圖，在一個(gè)直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，折痕交邊BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為________cm．9．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．10．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米11．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．12．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為______尺．亮題二：利用勾股定理求面積1．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．2．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長(zhǎng)是（

）A．12.5 B．13 C．14 D．153．有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖①），其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．如圖是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的股弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和小正方形拼成的一個(gè)大正方形．已知大正方形的面積是26，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么的值為（

）．A．28 B．50 C．26 D．1695．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為9和16，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_____．6．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個(gè)正方形的面積的和是10cm2，則圖中正方形A的面積為_________cm2．7．用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，則正方形S2的面積為_____．8．如圖是“勾股樹”的部分圖，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_____．9．定義：如圖①．如果點(diǎn)D在的邊上且滿足．那么稱點(diǎn)D為的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，連接．求的長(zhǎng)．10．甲同學(xué)在拼圖探索活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)；用4個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為，a，b，斜邊長(zhǎng)為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個(gè)等式．（1）請(qǐng)你寫出這一結(jié)論：，并給出驗(yàn)證過程；（2）試用上述結(jié)論解決問題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．亮題三：勾股定理與折疊問題1．如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（

）A． B．1.5 C． D．32．在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．43．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．4．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點(diǎn)A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長(zhǎng)為（

）A．5 B．4 C．3 D．25．如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)是______．6．如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是________．7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為______．8．如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為__________．9．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．10．如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD．（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）求DE的長(zhǎng)．亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題1．兩只螞蟻在水平地面上從同一地點(diǎn)出發(fā)，一只以每分鐘12cm的速度朝正東方向爬行，一只以每分鐘16cm的速度朝正南方向爬行，10分鐘之后兩只螞蟻相距（

）A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm2．（九章算術(shù)）是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記我的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高幾何？“題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺．則折斷處離地面的高度為（

）A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.83．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為尺，將它向前水平推送尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》第九章有如下題目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長(zhǎng)幾何？譯文是：今有墻高1丈，倚木桿于墻．使木桿之上端與墻平齊．牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．間木桿長(zhǎng)是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（

）A．5尺5寸 B．1丈1尺 C．5丈5寸 D．5丈5尺5．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．6．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為________米7．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．8．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為______尺．9．我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直至算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詩(shī)的意思是：當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的，求這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)．40．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問題．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】訓(xùn)練一：勾股定理基本計(jì)算【訓(xùn)練1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝__________；【訓(xùn)練2】★若已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為30cm，其中一個(gè)直角邊長(zhǎng)為12cm，則它的斜邊為__________cm．【訓(xùn)練3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，則下列等式中成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋c2＝b2C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2【訓(xùn)練4】★一直角三角形兩邊分別為3和5，則第三邊為（）A.4 B. C.4或 D.2【訓(xùn)練5】★一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和2，則三角形的周長(zhǎng)為________．訓(xùn)練二：利用勾股定理求面積【訓(xùn)練1】★★如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【訓(xùn)練2】★★如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為A．16 B．8 C．4 D．2【訓(xùn)練3】★如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40訓(xùn)練三：利用勾股定理求長(zhǎng)度【訓(xùn)練1】★★在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【訓(xùn)練2】★★如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．【訓(xùn)練3】★★★如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【訓(xùn)練4】★★如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．求E應(yīng)建立在距A多遠(yuǎn)外？【培優(yōu)檢測(cè)】一、單選題1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是(

)A．6，7，8 B．0.6，0.8，1 C．5，12，13 D．2，4，52．（2022·新疆阿克蘇·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．6 D．83．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，，．則＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或164．（2022·廣東·陸河縣河城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，，則的值為（

）A．50 B．35 C．34 D．255．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（

）．A．5 B．6 C．7 D．86．（2021·云南曲靖·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

)A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，27．（2022·湖北孝感·八年級(jí)階段練習(xí)）2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，那么的值為（

）A．25 B．16 C．14 D．128．（2022·湖北宜昌·八年級(jí)期中）如圖，各小方格的邊長(zhǎng)為1，△ABC的各頂點(diǎn)都在個(gè)點(diǎn)上，則BC邊上的高等于（

）A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.69．（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．二、填空題11．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為______°．12．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）中，，若，則_______．13．（2022·湖南·株洲縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D．若，，，則點(diǎn)D到AB的距離是_________．14．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC邊上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接EB，AF＝3，EFB的周長(zhǎng)為12，則EB的長(zhǎng)為____．15．（2022·廣西·南寧二中八年級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是，整個(gè)圖形連同空白部分的面積是，則大正方形的邊長(zhǎng)是______．16．（2022·寧夏吳忠·八年級(jí)期末）在中，，若，則__________．17．（2022·重慶一中七年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，線段BD上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△PAE周長(zhǎng)的最小值為______．18．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的長(zhǎng)為4，則四邊形BFDE的面積為___．19．（2022·河北·秦皇島市第七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)A落在邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，若折痕與邊交于點(diǎn)E、與邊交于點(diǎn)F，則的取值范圍是________．20．（2021·陜西·西北大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，已知、、、都是等腰直角三角形．若陰影部分的面積是20cm2，則、的面積之和是______cm2．三、解答題21．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）已知：如圖，在中，于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)已知，，求AF的長(zhǎng)．22．（2021·福建龍巖·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，英西中學(xué)有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)在測(cè)量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高為4m，請(qǐng)你求出這塊花圃的面積？23．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法，證法如下：把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AB上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB＝b、BA＝a，斜邊長(zhǎng)為AC＝c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理(1)請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理；(2)如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個(gè)村莊的距離為多少千米．24．（2022·廣東潮州·八年級(jí)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC=6，BC=8，CD=3．(1)求AB和DE的長(zhǎng)；(2)求△ADB的面積．25．（2022·福建福州·八年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是；(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正