全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（一）

全等三角形基本模型綜合訓(xùn)練（一）1．如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)(0，4)，B為x軸上一動點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到BC，連接OC，則B在運(yùn)動過程中，線段OC的最小值是（

）A．4 B．4 C．2 D．2【答案】C【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠CDB=90°又線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴∠ABC=90°，AB=BC∵∠ABO+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABO=∠BCD由圖可知，∠AOB=90°，∴∠AOB=∠CDB∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OB=CD，OA=BD=4，令點(diǎn)B（x，0）①當(dāng)x>0時，如圖1，在Rt△COD中OC===，∴當(dāng)x=2時，OC有最小值，又x>0∴x=2不符合題意，舍去②當(dāng)x<0時，如圖2，在Rt△COD中OC===∴當(dāng)x=2時，OC有最小值，且最小值為2，故選：C．2．如圖，在中，，，為邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長為（）A． B．2 C． D．4【答案】D【詳解】解：如圖，作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD＝BD∴△ADB是等腰三角形，∠ABD＝∠A＝40°∴AB＝2AF＝2BF∵，，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝80°，∴∠DBE＝∠ABC－∠ABD＝40°∴∠DBE＝∠ABD∵∴∠DE＝DF∵BD＝BD∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）∴BF＝BE＝2∴AB＝2BF＝4，故選：D3．如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵，，∴，∴,得DF=3，∵，平分，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故選：A．4．正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是射線AD上的一個動點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊往右側(cè)作正方形CEFG，連結(jié)DF、DG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD延長線上，且DE=AD時，DG=________．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，且△DGF為等腰三角形時，DG=________．【答案】

4或或【詳解】解：（1）過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD延長線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，且DE=AD，∴DE=AD=CD，∠ADC=∠CDE=90°，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠DEC=45°，∵四邊形CEFG是正方形，∴CG=CE=EF，∠GCE=∠CEF=90°，∴∠DCG=∠DEF=135°，∴△DCG≌△DEF，∴DG=DF，∵∠DEC=45°，∠CEF=90°，∴∠HEF=45°，∴△EHF是等腰直角三角形，∵CE=EF，∴DE=CD=EH=FH=4，在Rt△DFH中，F(xiàn)H=4，DH=8，∴DG=DF=；（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，DG=DF，∴DG=DE=DC=4；當(dāng)DG=GF時，過點(diǎn)G作GI⊥CD于點(diǎn)I，∵四邊形CEFG是正方形，∴CG=GF=CE，∠GCE=90°，∴DG=GC，∴CI=DI=CD=2，∠DCE+∠ICG=90°，∠IGC+∠ICG=90°，∴∠DCE=∠IGC，∴△DCE≌△IGC，∴IG=DC=4，∴DG=GC=；點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，DF=GF，此時，F(xiàn)G=FD=DC=4，∴DG=；綜上，△DGF為等腰三角形時，DG=4或或．故答案為：4或或．5．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF=2CF，DE，AF相交于點(diǎn)G，則DG的長為___________．【答案】【詳解】如圖，延長DG、CB，二線交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，∴∠DAE=∠HBE=90°，AE=BE，∵∠AED=∠BEH∴△DAE≌△HBE，∴BH=AD=3，∵BF=2CF，BC=3，∴BF=2，CF=1，∴FH=FB+BH=3+2=5，CH=FH+CF=1+5=6，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°，AD∥BC，∴△DAG∽△HFG，DH=，∴，∴，∴=，故答案為：．6．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點(diǎn)F，∠FAC=60°，若AD=5，AB=7，則EF的長為__________．【答案】【詳解】解：延長AE至點(diǎn)G，使得AE＝EG，∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE，在△ADE和△GBE中，∴△ADE≌△GBE（SAS），∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，過點(diǎn)B作BH⊥GE于點(diǎn)H，在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴GH＝BG＝，BH＝，在Rt△ABH中，AH＝，∴AG＝AH+GH＝8，∴AE＝GE＝4，過點(diǎn)D作DMEF，交BC于點(diǎn)M．∴，設(shè)EF＝x，則DM＝2x，∵DMEF，∴，∴AF＝7x，∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，∴x＝，∴EF＝，故答案為：．7．如圖，將矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，使點(diǎn)C恰好落到線段AD上的E點(diǎn)處，連接CE，連接CG交BE于點(diǎn)H．(1)求證：CE平分∠BED；(2)取BC的中點(diǎn)M，連接MH，求證：MHBG；(3)若BC＝2AB＝4，求CG的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=BE，DE∥BC，∴∠BEC=∠BCE，∠BCE=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．(2)過點(diǎn)C作CN⊥BE，垂足為N，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥DE，∵CE平分∠BED，∴CD=CN，∵矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，∴CD=BG，∠GBH=∠CNH=90°，∴CN=BG，∠BHG=∠NHC，∴△BHG≌△CHN，∴HG=HC，∴H是GC的中點(diǎn)，∵BC的中點(diǎn)是M，∴MH是△BGC中位線，∴MHBG．(3)過點(diǎn)C作CN⊥BE，垂足為N，∵四邊形ABCD是矩形，BC＝2AB＝4，矩形ABCD繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF，∴GB⊥BH，GB=BM=2，∵M(jìn)H是△BGC中位線，∴MH=1，∴∠HBM=∠QGB，∵GB=BM=2，∠BHM=∠GQB，∴△QBG≌△HMB，∴QB=MH=1，GQ=BH=，QC=5，∴CG=．8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接AE．過點(diǎn)C作，交AE的延長線于點(diǎn)F，連接DF．過點(diǎn)D作交AF于點(diǎn)G．若，則正方形ABCD的邊長為________．【答案】【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵CF⊥AE，∴∠ECF+∠CEF=90°，∴∠DAE=∠ECF，同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，在△AGD與△CFD中，，∴△AGD≌△CFD（ASA），∴DG=DF，AG=CF，∵DG⊥DF，∴△DGF是等腰直角三角形，∴過點(diǎn)D作DK⊥AE于點(diǎn)K，則，在△DKE與△CFE中，，∴△DKE≌△CFE（AAS），∴DK=CF，∴，∴，∴，故答案為：．9．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AC+BD=AB，理由見見解析【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．10．如圖1，，，點(diǎn)，分別在邊，上，點(diǎn)為中點(diǎn)．(1)請直接寫出線段與的關(guān)系；(2)連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，請寫出與的關(guān)系，并說明理由；(3)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，若，，請直接寫出的長．【答案】(1)，；(2)，，理由見解析；(3)或【解析】(1)，，理由如下，設(shè)BM與CE相交于點(diǎn)N，如圖，∵，∠ABC=90°，∴AF=CE，∠A=∠C，∴∠A+∠AFB=90°，∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴BM=AM=FM=AF，∴BM=CE，即2BM=CE，∠AFB=∠CBM，∴∠C+∠CBM=90°，∴∠CNB=90°，∴BM⊥CE，故BM與CE的關(guān)系為：，，(2)，，理由如下：證明：延長至點(diǎn)，使，連接∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)∴為的中位線∴∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵為的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，綜上且；(3)當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，如圖，∵∠ABC=∠ABE=90°，AB=BC=3，BE=BF，∴在等腰Rt△BEF中，有EF=BE=BF，又∵EF=，∴BE=BF=1，∴AF=ABEF=31=2，∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴FM=AF=1，∴，當(dāng)點(diǎn)E在CB上時，如圖，同理可求得BF=BE=1，∴AF=AB+BF=3+1=4，∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴FM=AF=2，∴BM=FMBF=21=1，∴，即CM的長為或．11．在四邊形ABCD中，，對角線AC平分∠BAD．(1)推理證明：如圖1，若，且，求證：；(2)問題探究：如圖2，若，試探究AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系；(3)遷移應(yīng)用：如圖3，若，AD=2，AB=4，求線段AC的長度．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】(1)證明：∵平分，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，，∴．(2)解：；過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)F，∵平分，∴，，∵，而，∴，在與中，∴，∴，∴，由（1）知，∴．(3)過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作的延長線于點(diǎn)N，由（2）知：，∴，∴，而，平分，∴，∴，∴，又，，∴．12．如圖，點(diǎn)在四邊形的邊上．(1)如圖，當(dāng)四邊形是正方形時，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)求證：；(2)當(dāng)四邊形是矩形，，時，①如圖，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)恰好落在對角線上，求的值；②如圖，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)恰好落在對角線上，延長、交于點(diǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的值．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②．【解析】(1)證明：四邊形是正方形，，，于點(diǎn)，，，≌，．(2)解：如圖，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，于點(diǎn)，，，，∽，，，，∽，，同理，，，；如圖，連接、，，，，，∽，，，，∽，，，；，，∽，，，，，，∽，，．13．將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在邊長為1的正方形ABCD的對角線AC上滑動,一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一條直角邊與射線DC交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上時（如圖1），求證：①△PBC≌△PDC；②PB=PE．(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊DC的延長線上時（如圖2）,（1）中的結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請說明理由；如果成立，請給予證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)（1）中的結(jié)論②仍然成立，證明見解析【解析】(1)①∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCP=∠DCP=45°,又∵CP=CP，∴△PBC≌△PDC，②過點(diǎn)P分別作PF⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥CD于點(diǎn)G，易證四邊形PFCG為正方形，∴∠BFP=∠EGP=90°，PF=PG，∵∠EPG+∠EPF=90°=∠BPF+∠EPF，∴∠BFP=∠EGP∴△PGE≌△PFB(ASA)，∴PB=PE.(2)PB=PE成立，證明：設(shè)PE交BC于點(diǎn)O，∵∠BPE=∠BCE=90°，∠BOP=∠COE，∴∠PBC=∠PEC，由（1）得：∠PBC=∠PDC，∴∠PDC=∠PEC，PB=PD，∴PE=PD=PB，故（1）中的結(jié)論②仍然成．14．在中，，D是BC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，①BC、CF的位置關(guān)系為___________；②BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為___________．(2)探究證明：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．(3)問題解決：如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE.若，時，直接寫出GE的長．【答案】(1)①，②；(2)（1）中結(jié)論①成立，②不成立，理由見解析；(3)【解析】(1)①在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DAF=90°∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=180°∠BAC=90°，∴BC⊥CF；故答案為：BC⊥CF；②由①知，△DAB≌△FAC，∴BD=CF，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；(2)（1）中結(jié)論①成立．②不成立．理由如下：∵四邊形ADEF是正方形：∴，．∵，，∴，，∴，，∴，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴（1）中結(jié)論①成立．②不成立．(3)如圖，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．易證，，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．由（2）得，．∵，，，∴四邊形是矩形，∴，．∵，∴，，∴．∵，∴，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴．∴15．【探究建模】已知正方形ABCD，E，F(xiàn)為平面