2024-2025學年高一數(shù)學必修第一冊（配湘教版）教學課件 1.1.2 子集和補集

第1章集合與邏輯1.1.2子集和補集課標要求1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.3.能使用Venn圖表達集合之間的關系,尤其要注意空集這一特殊集合的意義.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一子集、真子集、集合相等的概念1.子集.①文字語言:如果集合A的

都是集合B的元素,就說A包含于B,或者說B包含A,記作A?B(或B?A),讀作“A包含于B”(或“B包含A”).若A包含于B,則稱A是B的一個子集.

②符號語言:若由

能推出x∈B,就說A?B.

2.集合相等.如果A?B并且

,就說兩個集合相等,記作A=B.

3.真子集.如果

但A≠B,就說A是B的真子集,記作

,讀作“A真包含于B”.

每個元素x∈AB?AA?BA?B名師點睛對真子集的理解(1)真子集的概念也可以敘述為:若集合A?B,存在元素x∈B且x?A,則稱集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要滿足以下兩個條件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x?A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)?是任何非空集合的真子集,這里強調的是“非空”兩字,解題時不能丟掉空集這一情況.(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集沒有真子集,一個集合的真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1.過關自診1.用“?”或“=”填空.(1){0,1}

N;

(2){0}

{x|x2=x};

(3){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

??=2.下列寫法哪些是正確的?(1)0={0};(2){0}?{0};(3)0∈{0};(4)0?{0}.提示

只有(2)(3)寫法是正確的,一般地,元素與集合之間是屬于關系,而反映兩個集合間的關系一般用子集、真子集或相等.知識點二子集、真子集的性質由子集、真子集和空集的概念可得:1.空集是任何集合的子集;2.任何一個集合是它自身的子集;3.空集只有一個子集,即它自身;4.對于集合A,B,C,由A?B,B?C可得

;

5.對于集合A,B,C,由A?B,B?C可得

.

A?CA?C名師點睛有限集合的子集問題若有限非空集合A中含有n個元素,則有:①集合A的子集的個數(shù)為2n;②集合A的真子集的個數(shù)為2n-1;③集合A的非空子集的個數(shù)為2n-1;④集合A的非空真子集的個數(shù)為2n-2.如,集合{1,2}的元素個數(shù)為2,其子集個數(shù)為22=4,子集分別為?,{1},{2},{1,2};真子集個數(shù)為22-1=3,真子集分別為?,{1},{2};非空子集個數(shù)為22-1=3,非空子集分別為{1},{2},{1,2};非空真子集個數(shù)為22-2=2,非空真子集分別為{1},{2}.過關自診1.若{1,2}?A?{1,2,3,4,5},則集合A的個數(shù)是(

)A.8 B.7

C.4

D.3A解析

(方法1

列舉法)滿足條件{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8個.(方法2

計數(shù)法)因為集合A滿足{1,2}?A?{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有元素1,2(可不考慮),可能含有元素3,4,5,故集合A的個數(shù)即集合{3,4,5}的子集個數(shù),即23=8.2.?與{?}的關系如何?提示

??{?}與?∈{?}的寫法都是正確的,前者是從兩個集合間的關系來考慮的,后者則把?看成集合{?}中的元素來考慮.知識點三Venn圖表示集合間關系的示意圖叫作Venn圖.名師點睛對Venn圖的理解(1)Venn圖為利用數(shù)形結合法求解集合問題創(chuàng)造了條件.(2)用Venn圖表示集合的優(yōu)點是能夠直觀地表示集合與集合間的關系,缺點是集合中元素的特征性質不明顯.過關自診集合能用直觀圖形來表示嗎?提示

能,可以用封閉的曲線表示集合,解決問題更加直觀.

知識點四補集1.全集如果在某個特定的場合,要討論的對象都是集合U的

和

,就可以把

約定為全集(或基本集).

元素子集集合U2.補集自然語言若A是全集U的

,U中所有不屬于A的元素組成的子集叫作A的補集,記作

.當U可以從上下文確定時,A的補集也可以記作

符號語言?UA=

圖形語言

補集的性質?U(?UA)=

子集?UA{x|x∈U,且x?A}A名師點睛1.?UA表示集合U為全集時,集合A在全集U中的補集,則?UA?U.如果全集換成其他集合(如R),那么記號中“U”也必須換成相應的集合(如?RA).2.求?UA的前提條件為集合A是全集U的子集.3.若x∈U,則x∈A,x∈?UA必居其一.過關自診1.若U={x|x>0},A={x|x>3},則

=

.

2.(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果從全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素構成的集合是什么?提示

剩余元素構成的集合為{a,c,d,e}.(2)上述問題中所求得的集合應該怎樣命名?提示

集合{a,c,d,e}可稱為子集A在全集U中的補集.符號表示為:?UA={a,c,d,e}.{x|0<x≤3}重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一集合的子集、真子集問題【例1】

(1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},則A與B的關系是(

)A.A?B

B.A=BC.B?A

D.A∈BA解析

由題意知,B={x|x≥1},將A,B表示在數(shù)軸上,如圖所示.由數(shù)軸可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一個元素不屬于集合A,所以A?B.A?B解析

將集合A,B中元素的表達式通分,

∵2k+1可以表示任何奇數(shù),k可以表示任何整數(shù),∴A?B.規(guī)律方法

判斷兩個集合之間關系的方法1.依據(jù)子集等相關定義分析.對于兩個連續(xù)數(shù)集,則可將集合用數(shù)軸表示出來,數(shù)形結合判斷,需注意端點值的取舍.2.將集合中元素的特征性質進行等價變形,從而發(fā)現(xiàn)各性質之間的關系,最后得到集合之間的關系.變式訓練1則A,B,C滿足的關系為(

)A.A=B?C B.A?B=CC.A?B?C D.B?C?AB當a∈Z時,6a+1表示被6除余1的數(shù);b∈Z時,3b-2表示被3除余1的數(shù);c∈Z時,3c+1表示被3除余1的數(shù),所以A?B=C.探究點二確定集合的子集、真子集【例2】

(1)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},則集合A=

.若集合B滿足{0}?B?A,則集合B=

.

{-1,0}{-1,0}解析

因為解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因為集合B滿足{0}?B?A,所以集合B={-1,0}.(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},試寫出A的所有子集.解

因為A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},

{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.規(guī)律方法

1.求集合子集、真子集的步驟

2.求元素個數(shù)有限的集合的子集的兩個關注點(1)要注意兩個特殊的子集:?和自身;(2)按集合中含有元素的個數(shù)由少到多,分類一一寫出,保證不重不漏.變式訓練2(1)若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},則滿足條件的集合A的個數(shù)為(

)A.2 B.3

C.4

D.5B解析

集合{1,2,3}是集合A的真子集,同時集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3個.(2)設含有4個元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由2個元素組成的子集數(shù)為T,則

的值為

.

解析

含有4個元素的集合的全部子集數(shù)S=24=16,

探究點三兩個集合相等及其應用【例3】

已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.規(guī)律方法

1.判斷兩個集合相等可以看兩個集合中的元素是否相同,有兩種方法:(1)將兩個集合的元素一一列舉出來,進行比較;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致,若均一致,則兩個集合相等.2.兩個集合相等的問題一般轉化為解方程(組),但要注意最后需檢驗,看是否滿足集合元素的互異性.3.找好問題的切入點是解決集合相等問題的關鍵.探究點四補集運算【例4】

已知全集U=R,集合A={x|-3<x<3},集合B={x|x<2}.求A,B的補集.解

∵A={x|-3<x<3},B={x|x<2}.在數(shù)軸上分別表示出集合A,B,如圖所示.規(guī)律方法

求集合補集的解題策略(1)如果所給集合是有限集,則先把集合中的元素一一列舉出來,再結合補集的定義來求解.另外針對此類問題,在解答過程中也常常借助于Venn圖來求解.這樣處理起來,相對來說比較直觀、形象且解答時不易出錯.(2)如果所給集合是無限集,則常借助于數(shù)軸,先把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上,再根據(jù)補集的定義求解,這樣處理比較形象直觀,解答過程中注意端點值能否取得.探究點五由集合間的關系求參數(shù)的值或取值范圍【例5】

(1)設全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},?UA={5},則a等于

.

-4或2解析

由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.當a=-4時,U={2,3,5},A={3,2},滿足?UA={5};當a=2時,U={2,3,5},A={3,2},滿足?UA={5}.所以a的值為-4或2.(2)已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.①若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在包含關系;②若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.解

①若a=-1,則B={x|-5<x<-3}.如圖在數(shù)軸上標出集合A,B.由圖可知,B?A.②由已知A?B.(i)當B=?時,2a-3≥a-2,解得a≥1.顯然成立.(ii)當B≠?時,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A?B,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合,又因為a<1,所以-1≤a<1.綜上,a的取值范圍為[-1,+∞).變式探究本例(2)中,是否存在實數(shù)a,使得A?B?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,試說明理由.解

因為A={x|-5<x<2},所以若A?B,則B一定不是空集.規(guī)律方法

由集合間的關系求參數(shù)的值或取值范圍問題中的兩點注意事項(1)求解此類問題通常是借助于數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),同時還要注意驗證端點值,做到準確無誤,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心點表示.(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的問題,一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應引起足夠的重視.學以致用·隨堂檢測促達標123451.[2024甘肅白銀高一校考期中]已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,則a等于(

)A.-1或3

B.0或-1

C.3

D.-1C解析

因為A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},且A=B,所以a2=2a+3,解得a=-1或a=3.當a=-1時,a2=2a+3=1,不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當a=3