西工大、西交大自動(dòng)控制原理-第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-2

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(blockdiagram)是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，表示了系統(tǒng)中各變量間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換（equivalenttransform）后，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖概述2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

1信號(hào)線：信號(hào)線是帶有箭頭的直線。箭頭表示信號(hào)的流向。在直線上可寫(xiě)出信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或是其拉氏變換。一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成2引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）：引出點(diǎn)表示把一路信號(hào)分兩路或多路引出的位置。從同一位置引出的信號(hào)彼此間在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。

3比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）：

比較點(diǎn)表示對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“＋”號(hào)表示相加，“－”號(hào)表示相減。通常情況下，“＋”號(hào)可省略不寫(xiě)。

4方框（或環(huán)節(jié)）：方框表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫(xiě)入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。顯然，方框的輸出量等于方框的輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積，即：例：已知速度控制系統(tǒng)如下圖所示，試?yán)L制速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。SM負(fù)載TG功率放大器速度控制系統(tǒng)二繪制控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)由比較電路、放大器、電動(dòng)機(jī)、減速器、測(cè)速發(fā)電機(jī)等組成。SM負(fù)載TG功率放大器速度控制系統(tǒng)速度控制系統(tǒng)方塊圖如下輸出量

比較元件

放大元件

執(zhí)行元件

被控對(duì)象

測(cè)量元件輸入量解：系統(tǒng)由比較電路、放大器、電動(dòng)機(jī)、減速器、測(cè)速發(fā)電機(jī)等組成。

首先考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫(xiě)速度控制系統(tǒng)的各元部件的運(yùn)動(dòng)方程，并在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換，求得傳遞函數(shù)，并用方框來(lái)表示：(1)運(yùn)算放大器1：(2)運(yùn)算放大器2：(3)功率放大器：(4)直流電動(dòng)機(jī)：(5)齒輪系：(6)測(cè)速發(fā)電機(jī)：按信號(hào)的流向把各方框圖連接起來(lái)：由此得到速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例題畢。繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟1考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫(xiě)系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)；2用方框圖表示上述方程；3根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，依次用信號(hào)線將各方框連接起來(lái)，就得到了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的特點(diǎn)

1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)方塊圖與數(shù)學(xué)方程兩者的結(jié)合2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖補(bǔ)充了原理圖所缺少的定量描述3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖避免了純數(shù)學(xué)的抽象運(yùn)算4由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可以更方便的求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等效變換實(shí)際上對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)方程中消去中間變量的過(guò)程。所謂的“等效”是指輸入量與輸出量間的數(shù)學(xué)關(guān)系不變。等效簡(jiǎn)化也就是找出合并方框、簡(jiǎn)化方框圖的規(guī)則。方框圖簡(jiǎn)化的一般思路是：移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，使方框間連接成為三種基本連接的一種，再按一定法則進(jìn)行方框運(yùn)算、合并。在簡(jiǎn)化的過(guò)程中應(yīng)堅(jiān)持“等效原則”，保持變換前后變量間關(guān)系保持等效。三結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡(jiǎn)1串聯(lián)方框的等效簡(jiǎn)化若前一方框的輸出為后一方框的輸入，則這兩個(gè)方框?yàn)榇?lián)連接。若兩個(gè)方框，有相同的輸入量，輸出量等于兩個(gè)方框的代數(shù)和，則兩方框?yàn)椴⒙?lián)連接。2并聯(lián)方框的等效簡(jiǎn)化若兩個(gè)方框如下圖所示形式連接，則稱為反饋連接?！?”號(hào)為正反饋，表示輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相加；“-”則表示相減，為負(fù)反饋。3反饋連接方框的等效簡(jiǎn)化稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接方框的等效傳遞函數(shù)，式中負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋連接，正號(hào)對(duì)應(yīng)負(fù)反饋連接。3反饋連接方框的等效簡(jiǎn)化引出點(diǎn)的前移：若要將引出點(diǎn)由方框后移至方框的前面，為保持信號(hào)的等效，要在移動(dòng)后的信號(hào)線上加入一個(gè)引出點(diǎn)所越過(guò)的方框。4引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)的后移：若要將引出點(diǎn)由方框前面移至方框的后面，為保持信號(hào)的等效，要在移動(dòng)后的信號(hào)線上加入一個(gè)引出點(diǎn)所越過(guò)的方框的倒數(shù)。4引出點(diǎn)的移動(dòng)比較點(diǎn)的前移：若要將比較點(diǎn)由方框后移至方框的前面，為保持信號(hào)的等效，要在移動(dòng)后的信號(hào)線上加入一個(gè)比較點(diǎn)所越過(guò)的方框的倒數(shù)。5比較點(diǎn)的移動(dòng)比較點(diǎn)的后移：若要將比較點(diǎn)由方框前移至方框的后面，為保持信號(hào)的等效，要在移動(dòng)后的信號(hào)線上加入一個(gè)比較點(diǎn)所越過(guò)的方框。5比較點(diǎn)的移動(dòng)相鄰的比較點(diǎn)可以互換或合并。（相鄰是指兩個(gè)比較點(diǎn)間沒(méi)有引出點(diǎn)、方框等，直接由信號(hào)線連接）5比較點(diǎn)的移動(dòng)例引出點(diǎn)的移動(dòng)

A2A1A3C例綜合點(diǎn)的移動(dòng)錯(cuò)！無(wú)用！A1A2ab例作用分解四、自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及其求取

任何一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)圖的等效變換，可化為如下所示的典型形式：R(s)R(s)圖中：R(s)--------控制信號(hào)（參考輸入）

C(s)---------被控信號(hào)（輸出）

ε(s)---------偏差信號(hào)

F(s)----------擾動(dòng)信號(hào)

B(s)----------反饋信號(hào)（一）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)1、定義當(dāng)反饋線斷開(kāi)，并使F(s)=0，系統(tǒng)工作在開(kāi)環(huán)狀態(tài)，將反饋信號(hào)B(s)的拉氏變換與偏差信號(hào)ε(s)拉氏變換之比定義為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。R(s)2、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的求取若令：為前向通路傳遞函數(shù)，則：可見(jiàn)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)等于前向通路傳遞函數(shù)G(s)=G1(s)G2(s)與反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的乘積。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)（二）閉環(huán)傳遞函數(shù)

1、定義：系統(tǒng)輸出量C(s)的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量

R(s)的拉氏變換之比定義為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分為對(duì)控制量的閉環(huán)傳遞函數(shù)和對(duì)擾動(dòng)量的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

對(duì)控制量的閉環(huán)傳遞函數(shù)記為：

對(duì)擾動(dòng)量的閉環(huán)傳遞函數(shù)記為：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、對(duì)控制量r(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取令f(t)=0對(duì)單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1有：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)3、對(duì)擾動(dòng)量f(t)的閉環(huán)傳遞函數(shù)фf(t)的求取

此時(shí)令r(t)=0，為了求取方便，可將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變形，畫(huà)為：G2(s)H(s)-1G1(s)F(s)R(s)=0C(s)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1,有4、系統(tǒng)的輸出量當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)存在控制量（參考輸入）r(t)和擾動(dòng)量f(t)時(shí)，應(yīng)用疊加原理，得：其中Cr(s)=ф(s)R(s)為系統(tǒng)單獨(dú)在r(t)作用下的輸出；

Cf(s)=фf(s)F(s)為系統(tǒng)單獨(dú)在f(t)作用下的輸出。C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函

數(shù)和。解：可應(yīng)用線性疊加原理，首先令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：

化簡(jiǎn)內(nèi)回路：得到：

-1再令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：

再令，則系統(tǒng)方框圖可表示為：可將方框和方框間的比較點(diǎn)后移至方框和方框間：再化簡(jiǎn)內(nèi)回路

可將方框后的比較點(diǎn)后移至主通道上：再化簡(jiǎn)內(nèi)回路得到：最后可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：例題畢?？膳c原結(jié)構(gòu)圖相比較（三）系統(tǒng)的偏（誤）差傳遞函數(shù)

1、定義

系統(tǒng)偏差量的拉氏變換ζ(s)與系統(tǒng)輸入信號(hào)的拉氏變換R(s)(或F(s))之比，定義為系統(tǒng)的偏（誤）差傳遞函數(shù)。

根據(jù)輸入信號(hào)的不同，也應(yīng)把系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)分為對(duì)控制量（參考輸入)的偏差傳遞函數(shù)，記為：和對(duì)被擾動(dòng)量的偏差傳遞函數(shù)，記為：C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)2、對(duì)控制信號(hào)（參考輸入）r(t)的偏差傳遞函數(shù)的求取

為求取方便，可將系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖變形為如下形式：

H(s)G2(s)H(s)R(s)ε(s)F(s)C(s)此時(shí)令f(t)=0注意：上式只適用于單位反饋系統(tǒng)。單位反饋時(shí)，3、對(duì)擾動(dòng)信號(hào)f(t)的偏差傳遞函數(shù)此時(shí)令r(t)=0單位反饋時(shí)，H(s)=1,可得C(S)G1(s)H(s)R(S)ε(s)B(S)G2(s)F(s)4、系統(tǒng)的偏差量根據(jù)疊加原理，有：其中：為在r(t)單獨(dú)作用下的偏差；為在f(t)單獨(dú)作用下的偏差。（四）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式閉環(huán)傳遞函數(shù)分母都相同，均為D(s)=1+G(s)H(s)，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式；方程式D(s)=0稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式，其根稱為系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。本章要求1學(xué)會(huì)列寫(xiě)常見(jiàn)元件（電路、電機(jī)、機(jī)械等）的數(shù)學(xué)模型；2學(xué)會(huì)列寫(xiě)一般自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；

3牢固掌握傳遞函數(shù)的概念；

4熟練掌握自動(dòng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化，并會(huì)求取自動(dòng)控制系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)；

*5了解自動(dòng)控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖；并會(huì)用Mason公式求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)本章小結(jié)線性定常系統(tǒng)/元件數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖建立小偏差法線性化求解定義建立零極點(diǎn)分布與響應(yīng)特性模型之間的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)例1：對(duì)彈簧-阻尼器系統(tǒng)的建模問(wèn)題

取A,B兩點(diǎn)分別進(jìn)行受力分析。對(duì)A點(diǎn)有對(duì)B點(diǎn)有將上兩式拉氏變換例1：對(duì)彈簧-阻尼器系統(tǒng)的建模問(wèn)題

已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。附：matlab應(yīng)用（一）1、matlab中傳遞