信號與系統(tǒng)第2版 課件 5離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析

信號與系統(tǒng)主講：嚴國志信號與系統(tǒng)

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析第6章離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析2024/10/162第5章

離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析典型離散時間信號及其基本特性離散時間信號的基本運算離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和性質(zhì)離散時間系統(tǒng)的響應(yīng)單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)離散系統(tǒng)的卷積和單位樣值響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性5.2典型離散時間信號及其特性離散時間信號的表示基本離散時間序列

實指數(shù)序列

虛指數(shù)序列和正弦序列

復(fù)指數(shù)序列

單位脈沖序列

單位階躍序列5.2離散時間信號的表示(1)圖解表示離散時間信號又稱作序列。通常，離散時間信號的間隔為T，且是均勻的，故用x(n)表示在nT的值.

注意：n只能取整數(shù)，對于非整數(shù)，n沒有意義。T為采樣間隔，nT不僅代表采樣時刻，而且代表前后順序。省略T5.2離散時間信號的表示(2)有序序列表示表示n=0的位置5.2離散時間信號的表示(3)解析式表示5.2離散時間信號的表示離散序列的產(chǎn)生(1)對連續(xù)信號抽樣

x(n)=x(nT),T為采樣間隔(2)信號本身是離散的(3)計算機產(chǎn)生5.2離散時間信號的表示也稱單位脈沖序列，是一個普通函數(shù)(1)單位樣值序列延遲m個單位10123┅n5.2離散時間信號的表示任一序列可以分解為單位樣值序列的線性加權(quán)之和乘積性質(zhì)5.2離散時間信號的表示抽樣性質(zhì)偶函數(shù)5.2離散時間信號的表示(2)單位階躍序列------差分關(guān)系------求和關(guān)系------微分關(guān)系------積分關(guān)系5.2離散時間信號的表示n=-5:1:5;x=0*(n<0)+1*(n>=0);stem(n,x,'filled');axis([-6,6,-0.2,1.2])5.2離散時間信號的表示(3)單位矩形序列5.2離散時間信號的表示(4)正弦序列（包絡(luò)為正、余弦）正弦型序列是包絡(luò)為正、余弦變化的序列34567012891011125.2離散時間信號的表示為周期周期序列:如果存在一個最小的正整數(shù)N,滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期性序列,N為周期。5.2離散時間信號的表示正弦序列討論正弦序列的周期性正弦序列為周期序列，且其周期為若為周期函數(shù)，則即則5.2離散時間信號的表示三種情況討論為整數(shù)時，只需即為最小正整數(shù)，此時正弦序列的周期就是是一個有理數(shù)時，由于有理數(shù)可以表示為有理分數(shù)才為最小正整數(shù)只有為無理數(shù)時，則任何m值均不能使N為正整數(shù)。5.2離散時間信號的表示離散信號和連續(xù)信號的區(qū)別在于時間上和圖形的繪制上，所以適合連續(xù)信號的函數(shù)基本上適合離散信號，時間上不同，如k=-3:3圖形上不同，不用plot繪圖，而用stem繪圖。正弦序列的表示w=pi/10;n=0:50;f=sin(w.*n);stem(n,f,’filled’);axis([050-1.21.2]);gridon;title('抽樣序列w=pi/10');5.2離散時間信號的表示例為數(shù)字域頻率,單位是rad數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率取歸一化值對模擬正、余弦信號采樣可以得到正、余弦序列。為采樣周期抽樣角頻率5.2離散時間信號的表示例5-1：判斷下面離散信號是不是周期序列。(1)故離散序列的周期N=12(2)由于12π不是有理數(shù)，故離散序列是非周期的(3)對，以抽樣所得序列由于8/3是不可約的有理數(shù)，故離散序列的周期為85.2離散時間信號的表示5.2離散時間信號的表示(5)指數(shù)序列實指數(shù)序列5.2離散時間信號的表示虛指數(shù)序列數(shù)字頻率不僅與模擬頻率有關(guān)，而且和抽樣間隔T相聯(lián)系數(shù)字角頻率W與模擬角頻率w之間的關(guān)系為

W=wT兩者區(qū)別：虛指數(shù)序列

x(n)=ejWn不一定為周期序列。

而連續(xù)虛指數(shù)信號x(t)=ejwt必是周期信號。5.2離散時間信號的表示復(fù)指數(shù)序列5.3離散時間信號的基本運算序列相加序列相乘序列位移序列差分與求和序列翻轉(zhuǎn)序列尺度變換5.3離散時間信號的基本運算1.序列的和同序號(n)

的序列值逐項對應(yīng)相加得一新序列。5.3離散時間信號的基本運算序列相乘指若干離散序列序號相同的數(shù)值相乘標(biāo)量乘以序列為序列的每一項乘以標(biāo)量5.3離散時間信號的基本運算2.序列移位表示將左移m個單位表示將右移m個單位5.3離散時間信號的基本運算3.序列的差分序列的一階前向差分運算（先左移后相減）序列的一階后向差分運算（先右移后相減）5.3離散時間信號的基本運算序列的N階前向差分運算序列的N階后向差分運算單位脈沖序列可用單位階躍序列的差分表示5.3離散時間信號的基本運算4.序列的累加即表示n以前的所有x(n)的和。序列的累加運算對應(yīng)著連續(xù)信號的積分運算。5.3離散時間信號的基本運算5.序列反折表示以n=0為對稱軸將翻轉(zhuǎn)而成的序列5.3離散時間信號的基本運算6.序列尺度變換抽取M為正整數(shù)序列每M點取一點形成的，即時間軸n壓縮了M倍5.3離散時間信號的基本運算內(nèi)插L為正整數(shù)在序列兩點之間插入L-1個零值點5.3離散時間信號的基本運算對于離散信號壓縮后再展寬不能恢復(fù)原序列。5.3離散時間信號的基本運算反折后位移：逐項左移（時延）m位逐項右移（時延）m位位逐項左移（時延）位逐項右移（時延）對比：5.3離散時間信號的基本運算任意序列可以分解為單位脈沖序列及其位移的加權(quán)和7.離散序列分解為脈沖序列的線性組合5.3離散時間信號的基本運算例如：5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入激勵與輸出響應(yīng)都必須為離散時間信號離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程式。映射關(guān)系5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)1、線性具有線性特性的離散時間系統(tǒng)可表示為離散系統(tǒng)x2(n)y2(n)離散系統(tǒng)x1(n)y1(n)線性（均勻性和疊加性）離散系統(tǒng)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性差分方程式5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)2.移不變特性移不變的離散時間系統(tǒng)表示為線性移不變系統(tǒng)可由定常系數(shù)的差分方程式描述。5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)3．因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)：當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號激勵系統(tǒng)時才產(chǎn)生系統(tǒng)輸出響應(yīng)的系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)：不具有因果特性的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)4.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)輸入有界而輸出無界若輸入x(n)滿足則對穩(wěn)定離散系統(tǒng)，其輸出y(n)有均為實數(shù)5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)例5-3判斷其線性、移不變性和穩(wěn)定性線性移變非穩(wěn)定5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)

對于離散(時間)系統(tǒng)，自變量n是時間離散的整型值,輸入輸出序列值定義在這種離散點上，不存在導(dǎo)數(shù)和微分的概念，因而只能用信號相鄰兩點處的值之差表示它們的變化，即用差分代替微分表示函數(shù)的變化率。因此，離散系統(tǒng)的行為和性能描述，不能象對待連續(xù)時間系統(tǒng)那樣，再用微分方程來描述，而必須用差分方程進行描述。5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)LSI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——常系數(shù)線性差分方程LSI離散系統(tǒng)滿足可分解、疊加、比例以及時不變特性基本運算可以由基本運算單元實現(xiàn)LSI離散系統(tǒng)的基本運算有延時（移序）、乘法、加法差分方程的階數(shù)：輸出序列y(n)的變量序號最高與最低值之差。N階向后差分方程N階向前差分方程5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)構(gòu)成離散系統(tǒng)的基本運算單元是延時器、乘法器、加法器延時器加法器y(n)y(n-1)DD表示單位移位或單位延時x(n)

x(n)+y(n)y(n)乘系數(shù)ay(n)

ay(n)y(n)

ay(n)ay(n)

ay(n)5.4離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與基本性質(zhì)例5-4:

系統(tǒng)方框如圖所示，寫出其差分方程。僅差一個移位序列，是常系數(shù)一階后向差分方程x(n)

ay(n)解:圍繞加法器建立差分方程：該離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為：

+5.5離散時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)典時域法求系統(tǒng)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)5.5離散時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)響應(yīng)求解方法1、迭代法2、經(jīng)典時域分析方法3、零輸入+零狀態(tài)法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)5.5.1迭代法已知N個初始條件{y(-1),y(-2),…,y(-N)}和輸入x(n)，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出5.5.1迭代法例5-5：一階線性常系數(shù)差分方程y(-1)=1，用迭代法求解差分方程解：將差分方程寫成：帶入初始條件，可求得以此類推缺點：很難得到閉合形式的解5.5.2經(jīng)典時域分析方法 差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(n)和特解yp(n)組成:齊次解yh(n)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(n)的形式由方程右邊激勵信號的形式確定5.5.2經(jīng)典時域分析方法齊次解的形式（1）特征根是不等實根（2）特征根是相等實根（3）特征根是成對共軛復(fù)根5.5.2經(jīng)典時域分析方法常用激勵信號對應(yīng)的特解形式5.5.2經(jīng)典時域分析方法例5-7：已知某二階線性常系數(shù)差分方程初始條件y(0)=0，y(1)=-1，輸入信號求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(n)例：1)求齊次解特征方程為特征根為齊次解為5.5.2經(jīng)典時域分析方法2)求特解由輸入，設(shè)方程的特解形式為將特解代入原差分方程即可求得常數(shù)A=0.53)求方程的全解解得5.5.2經(jīng)典時域分析方法經(jīng)典法不足之處若差分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1、零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型求解方法：根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式再由初始條件確定待定系數(shù)5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例5-8：已知某線性時不變系數(shù)的動態(tài)方程式為系統(tǒng)的初始條件y(-1)=-4/3，y(-2)=10/9，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例：系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)的特征根為解得5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例5-9：已知某線性時不變系數(shù)的動態(tài)方程式為輸入為，系統(tǒng)的初始條件y(0)=-1，y(1)=0，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例：系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)的特征根為根據(jù)初始條件和方程可推導(dǎo)5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)解得5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2、零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，由系統(tǒng)的外部激勵x(n)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，用表示求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的方法：1）迭代法2）直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程3）卷積法

利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)經(jīng)典法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的思路5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)解：特解為代入非齊次方程得：零狀態(tài)響應(yīng)齊次解為例5-10：已知某線性時不變系數(shù)的動態(tài)方程式為輸入為，y(-1)=1，y(-2)=1，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)代入得5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)如果非齊次方程右邊只含有一項，不含有的移位序列項，也可以通過利用初始狀態(tài)求解待定系數(shù)。解得5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)如果非齊次方程右邊不僅含有，還含有的移位序列項，就先計算出單個作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，然后利用線性移不變特性求出整個系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)兩種分解方式之間的聯(lián)系不隨n的增加而消失的分量為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，隨n的增加而消失的分量為暫態(tài)響應(yīng)5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)離散時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解 b,a分別是差分方程左、右端的系數(shù)向量b=[b0,b1,b2,

,bM];a=[a0,a1,a2,

,aN];可用MATLAB表示為y=filter(b,a,x)或dlsim(b,a,x)x表示輸入序列,y表示輸出序列5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)例5-11：線性時不變系統(tǒng)差分方程為求激勵為

的零狀態(tài)響應(yīng)程序如下：b=[1,1,0];a=[1,-5/6,1/6];N=20;n=0:20;fn=0.5.^n;yn1=dlsim(b,a,fn);subplot(211),stem(n,yn1,'filled');xlabel(‘n');ylabel('y(n)');title('dlsim');yn2=filter(b,a,fn);subplot(212),stem(n,yn1,'filled');xlabel(‘n');ylabel('y(n)');title('filter');5.5.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)單位樣值響應(yīng)h(n)定義h(n)的求解

迭代法

等效初始條件法單位階躍響應(yīng)s(n)的求解5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)1、單位樣值響應(yīng)h(n)定義單位脈沖序列δ(n)作用與離散時間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位樣值響應(yīng)，用符號h(n)表示。對N階LTI離散時間系統(tǒng)，h(n)滿足方程5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)2、h(n)的求解1）迭代法2）等效初始條件法將δ(n-j)對系統(tǒng)的瞬時作用，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件等效初始條件由差分方程和h(-1)=h(-2)=…=h(-N)=0遞推求出5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)用迭代法求此LSI系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)例5-12：某離散系統(tǒng)的差分方程為解：歸納得5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)求此離散因果系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)等效初始條件法與疊加原理例5-13：解：5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)3、單位階躍響應(yīng)單位階躍序列ε(n)作用在離散時間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號s(n)表示求解方法：1）迭代法2）經(jīng)典法3）利用單位階躍響應(yīng)與單位樣值響應(yīng)的關(guān)系5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例5-14

:已知一零狀態(tài)因果系統(tǒng)的差分方程為解：求系統(tǒng)的h(n)和s(n)5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)離散時間系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的求解b,a分別是差分方程左、右端的系數(shù)向量k表示輸出序列的取值范圍h就是單位樣值響應(yīng)h=impz(b,a,k)或dimpulse(b,a,k)s=dstep(b,a,k)或stepz(b,a,k)離散時間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的求解5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例5-15：差分方程

的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)程序如下b=[1,1,0];a=[1,-5/6,1/6];N=20;hn=dimpulse(b,a,N);n=0:N-1;subplot(211),stem(n,hn,'filled');xlabel(‘n');ylabel('h(n)');title('dimpulse');subplot(212)sn=dstep(b,a,N);stem(n,sn,'filled');xlabel(‘n');ylabel('s(n)');title('dstep');figuresubplot(211),impz(b,a,N);subplot(212),stepz(b,a,N);5.6離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)5.7離散系統(tǒng)的卷積和圖解法計算卷積和列表法計算卷積和卷積的性質(zhì)

交換律

結(jié)合律

分配律

位移特性

差分和求和特性5.7.1卷積和的定義和計算離散序列卷積的典型表達形式為均為有限長序列非零點數(shù)非零區(qū)5.7.1卷積和的定義和計算矩陣形式特殊的,為長度為N的因果信號，為長度為M的因果信號5.7.1卷積和的定義和計算1.利用定義式直接計算卷積解：對于例5-16：求5.7.1卷積和的定義和計算2.圖解法計算卷積和卷積和定義為計算步驟將x(n)、h(n)中的自變量由n改為m；把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，如將h(m)翻轉(zhuǎn)得h(-m)把h(-m)平移n，n為參變量。n>0圖形右移，n<0圖像左移將x(m)與h(n-m)重疊部分相乘對乘積后的圖形求和5.7.1卷積和的定義和計算例5-17：已知，計算解：5.7.1卷積和的定義和計算n<0，與圖形沒有相遇，與圖形相遇5.7.1卷積和的定義和計算，與圖形相遇，與圖形相遇5.7.1卷積和的定義和計算，與圖形相遇，與圖形沒有相遇5.7.1卷積和的定義和計算5.7.1卷積和的定義和計算3.列表法計算序列卷積和設(shè)x(n)和h(n)都是因果序列，則有當(dāng)n=0時，當(dāng)n=1時，當(dāng)n=2時，當(dāng)n=3時，以上求解過程可以歸納成列表法5.7.1卷積和的定義和計算將h(n)的值順序排成一行，將x(n)的值順序排成一列，行與列的交叉點計入相應(yīng)x(n)和h(n)的乘積對角斜線上各數(shù)值就是x(m)h(n-m)對角斜線上各數(shù)值的和就是y(n)的值5.7.1卷積和的定義和計算例5-18：計算與的卷積和5.7.1卷積和的定義和計算4.使用對位相乘求和法求卷積步驟：兩序列右對齊→逐個樣值對應(yīng)相乘但不進位→同列乘積值相加（注意n=0的點）5.7.1卷積和的定義和計算5.7.1卷積和的定義和計算c=conv(a,b)式中a,b為待卷積兩序列的向量表示，c是卷積結(jié)果。5.7.1卷積和的定義和計算程序如下：clearn1=0:10;xn1=sin(n1);n2=0:15;xn2=0.8.^n2;yn=conv(xn1,xn2);subplot(311),stem(n1,xn1,'filled');xlabel(‘n');title(‘xn1');subplot(312),stem(n2,xn2,'filled');xlabel(‘n');title(‘xn2');n=n1(1)+n2(1):n1(end)+n2(end);subplot(313),stem(n,yn,'filled');xlabel(‘n');title('yn');例5-20：5.7.1卷積和的定義和計算