信號與系統(tǒng)第2版 課件 7離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的Z域分析

信號與系統(tǒng)主講：嚴(yán)國志信號與系統(tǒng)

課程目錄第1章緒論第2章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析第4章連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的頻域分析第7章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的z域分析2024/10/162第7章

離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的z域分析2024/10/164第7章離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的z域分析7.1引言7.2z變換7.3z變換的性質(zhì)7.4z反變換7.5離散系統(tǒng)的z域分析7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.8H(z)與離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)7.9z域與s域的關(guān)系7.10離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)習(xí)題7.1引言2024/10/165z變換是研究離散時(shí)間信號與系統(tǒng)的重要工具。如果把離散時(shí)間信號視為連續(xù)時(shí)間信號經(jīng)抽樣后得到的樣值序列，則z變換可以視為離散域的拉普拉斯變換，因此可以認(rèn)為z變換和拉普拉斯變換是等價(jià)的。z變換可將描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換成z域的代數(shù)方程，使得離散時(shí)間信號的卷積和運(yùn)算轉(zhuǎn)換成z域的代數(shù)運(yùn)算。本章研究：z變換、離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析、離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)、線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、H(z)與離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)、z域與s域的關(guān)系、離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。7.2z變換2024/10/1667.2.1z變換的定義連續(xù)時(shí)間信號x(t)乘以時(shí)域周期沖激函數(shù)序列δT(t)，可以得到時(shí)域的均勻抽樣信號：兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得令，將Xs(s)記為X(z)，將x(nT)記為x(n)，則上式可寫為這就是z變換的定義式，是復(fù)變量z的函數(shù)（T是常數(shù)）7.2z變換2024/10/167對于序列

x(n)，-∞<n<∞,定義：為雙邊z變換，記為：對于序列

x(n)，-∞<n<∞,定義：為單邊z變換，記為：由雙邊z變換式和單邊z變換式定義可以看出，它們的關(guān)系為對于非因果序列對于因果序列不同雙邊與單邊Z變換相同的單邊z變換為7.2z變換2024/10/168【例7-1】

求有限長序列的雙邊z變換和單邊z變換。解：根據(jù)雙邊z變換的定義，可得7.2z變換2024/10/1691.因果序列的雙邊z變換就是單邊z變換，所以單邊z變換是雙邊z變換的特例。2.z變換是復(fù)變量z的冪級數(shù)(也稱羅朗級數(shù))，其系數(shù)是序列x(n)的樣值。3.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，信號一般是因果的，所以主要討論拉氏單邊變換。4.在離散系統(tǒng)分析中，可以將因果序列離線處理成非因果序列，因此單邊與雙邊z變換都要涉及。5.序列的每個(gè)樣點(diǎn)值都有一個(gè)對應(yīng)的變換，整個(gè)序列的z變換是所有樣點(diǎn)值的z變換之和。2024/10/16107.2z變換上面從連續(xù)信號抽樣出發(fā)，給出了z變換的定義，事實(shí)上，對于其他類型的離散信號（不一定從連續(xù)信號抽樣得到）也可以進(jìn)行雙邊z變換和單邊z變換。也就是說，z變換是一個(gè)計(jì)算工具，不僅是一個(gè)在離散域處理連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的工具，而且對其他離散時(shí)間信號也可以進(jìn)行z變換。在對一個(gè)連續(xù)信號抽樣后得到的離散信號用z變換進(jìn)行分析時(shí)，z變換的定義式中，雖然沒有顯式地出現(xiàn)抽樣周期T，但根據(jù)推導(dǎo)過程可以看出，抽樣周期是客觀存在的。特別是在連續(xù)信號與系統(tǒng)離散化為離散信號與系統(tǒng)時(shí)，抽樣周期是一個(gè)需要特別注意的問題，滿足抽樣定理是系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的前提。因此假定所有的離散化過程都滿足抽樣定理。

從定義式可以看出，序列的z變換是復(fù)變量z的冪級數(shù)，也稱羅朗（Laurent）級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)就是x(n)本身。只有當(dāng)冪級數(shù)收斂時(shí)，其z變換才存在。2024/10/16117.2.2z變換的收斂域7.2z變換對于任意有界序列，使得該序列z變存在的復(fù)變量z的集合稱為z變換的收斂域（ROC，RegionOfConvergence）。z變換存在的充分條件是其對應(yīng)的正項(xiàng)級數(shù)收斂:①比值判定法：級數(shù)收斂；級數(shù)發(fā)散；級數(shù)可能收斂，

也可能發(fā)散。

②根值判定法：7.2z變換2024/10/1612典型序列Z變換的收斂域（1）有限長序列

x(n),N1≤n≤N2

,有：序列的z變換是有限項(xiàng)的和，只要每一項(xiàng)的取值為有限值，其和即為有限值，z變換收斂。X(z)只有z的負(fù)冪項(xiàng)，收斂區(qū)為X(z)只有z的正冪項(xiàng)，收斂區(qū)為因果序列非因果序列雙邊序列X(z)有z的正負(fù)冪項(xiàng)，收斂區(qū)為的單邊z變換為因?yàn)橹屑扔衵的正冪項(xiàng)又有z的負(fù)冪項(xiàng)，所以的ROC為7.2z變換2024/10/1613【例7-1】

求有限長序列的雙邊z變換和單邊z變換。解：根據(jù)雙邊z變換的定義，可得因?yàn)橹兄挥衵的負(fù)冪項(xiàng)，所以的ROC為2024/10/16147.2z變換(2)右邊序列x(n),N1≤n≤∞,有：②①①的收斂域②的收斂域①、②的公共收斂域特別的N1≥0時(shí)，和式中沒有正的冪項(xiàng)，2024/10/16157.2z變換在z平面上，ROC是以原點(diǎn)為中心、以R1

為半徑的圓的圓外區(qū)域，如圖所示。（N1≥0）右邊序列----圓外2024/10/1616(1)(2)(3)7.2z變換【例7-3】:求因果序列的z變換和收斂域，其中a

為常數(shù)。解：利用等比級數(shù)求和公式，得：根據(jù)z變換的定義，因果序列的雙邊z變換與單邊z變換相同。根據(jù)式（7-10），對于因果序列，其收斂區(qū)間為【例7-4】求因果指數(shù)序列和的z變換。7.2z變換2024/10/1617解：在【例7-】3中令，有收斂域的邊界決定于極點(diǎn)。右邊序列X(z)

的表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則收斂區(qū)是以絕對值最大的極點(diǎn)為收斂半徑的圓外。在【例7-】3中令，有7.2z變換2024/10/1618①②(3)左邊序列x(n),-∞≤n

≤N2,有：①的收斂域②的收斂域①、②的公共收斂域特別的N2≤0時(shí)，和式中沒有負(fù)的冪項(xiàng)，7.2z變換2024/10/1619收斂區(qū)是以R2為收斂半徑的圓內(nèi)。（

N2≤0）左邊序列----圓內(nèi)7.2z變換2024/10/1620解：x(n)的雙邊z變換為

收斂域?yàn)?，是以X(z)的極a點(diǎn)為半徑的圓內(nèi)?！纠?-5】左邊序列X(z)的封閉表示式中，若有多個(gè)極點(diǎn)，則收斂區(qū)是以絕對值最小的極點(diǎn)為收斂半徑的圓內(nèi)。求序列的z變換及其收斂域（a為常數(shù)）。7.2z變換2024/10/1621(4)雙邊序列（無始無終）x(n),-∞≤n

≤

∞,有：①②的收斂域①的收斂域①、②的公共收斂域②雙邊序列z變換不存在右邊序列----圓外左邊序列----圓內(nèi)雙邊序列----兩圓之間雙邊序列----兩圓之間7.2z變換2024/10/1622例【7-7】:求雙邊序列的z變換及其收斂域（式中，a、b為常數(shù)）。解:：x(n)的單邊z變換為：x(n)的雙邊z變換為：ROC為：ROC為：7.2z變換2024/10/1623或例C為實(shí)數(shù)，求解：7.2z變換2024/10/1624或討論：①②雙邊序列z變換不存在10107.2z變換2024/10/162507.2z變換2024/10/1626單邊z變換的收斂域單邊z變換式所表示的冪級數(shù)收斂的充分條件是：左邊級數(shù)收斂的所有z值的集合，稱為單邊變換的收斂域。從廣義上說，單邊z變換只有一種收斂域形式，即位于z平面上某個(gè)圓域之外的區(qū)域。（相當(dāng)于起點(diǎn)在n=0的右邊序列）7.2z變換2024/10/1627007.2z變換2024/10/1628對于單邊z變換：有兩種情況：（1）因果序列與其單邊z變換函數(shù)之間即使沒有特別指明其收斂域也存在著一一對應(yīng)關(guān)系。因此，一般不特別強(qiáng)調(diào)單邊z變換的收斂域；（2）雙邊序列與其單邊z變換函數(shù)之間不是一一對應(yīng)的。對于雙邊z變換：只有同時(shí)給出z變換式及收斂域，x(n)和X(z)才是一一對應(yīng)的，否則就不是。

例如，常數(shù)序列與單位階躍序列具有相同的單邊z變換函數(shù)。7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1629

7.3.1線性特性若則注：當(dāng)二者之和的零點(diǎn)與極點(diǎn)抵消時(shí)，收斂區(qū)有可能擴(kuò)大。收斂域變?yōu)榻患?.3z變換的性質(zhì)2024/10/16

證明令1.雙邊z變換的移位Z，代入上式有：Z7.3.2位移特性一般收斂區(qū)不變，也有特例令m為整數(shù)30證：（7-28）例如：

改變一般在0或∞兩點(diǎn)因果非因果7.3z變換的性質(zhì)新產(chǎn)生一個(gè)零點(diǎn)z=0新產(chǎn)生一個(gè)極點(diǎn)p=0收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面2024/10/1631非因果因果又如：

7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1632若序列x(n)的單邊z變換為：2.單邊z變換的位移性1）序列左移后單邊z變換為：可能增加或刪除（7-29）(整數(shù)m>0)7.3z變換的性質(zhì)證明Z1010減去m點(diǎn)特別的【x(n)為非因果的或因果的】7.3z變換的性質(zhì)

證明：Z2）序列右移后單邊z變換可能增加或刪除（7-29b）7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1635加上m點(diǎn)10若x(n)為因果序列右移

則3）按定義證明（7-29c）

10【x(n)為因果的】思考：如果x(n)為非因果呢？【x(n)為因果的或非因果的呢？】特別的7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1636【例7-12】

求

和的（m為整數(shù)）的z變換。當(dāng)m≥0時(shí)：δ(n-m)和ε(n-m)兩者為因果序列，雙邊及單邊z變換相同，為：當(dāng)m<0時(shí)：δ(n-m)和ε(n-m)兩者為非因果序列，它們的雙邊z變換Xb(z)為：它們的單邊z變換Xs(z)為：解：δ(n)和ε(n)兩者為因果序列，雙邊和單邊z變換X(z)為：7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1637【例7-13】

求周期序列的單邊z變換解：令的主值區(qū)序列為周期序列利用（7-29c）式7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1638若則有則若7.3.3Z域尺度變換特性（時(shí)域乘an）由該例結(jié)論，有：7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1639證：利用Z域尺度變換特性及反轉(zhuǎn)可得如下結(jié)論：a=-1時(shí)，有：Z7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1640（1）旋轉(zhuǎn)(頻移)（2）（3）（4）7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1641【例7-14】已知，求雙邊z變換及其收斂域。解：由于根據(jù)時(shí)移特性有根據(jù)尺度變換特性有7.3z變換的性質(zhì)2024/10/16427.3.4序列卷積的z變換（時(shí)域卷積定理）若有零點(diǎn)與極點(diǎn)抵消時(shí)，收斂區(qū)有可能擴(kuò)大【例7-15】求其中則若7.3z變換的性質(zhì)解：應(yīng)用：求離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)7.3z變換的性質(zhì)2024/10/16447.3.5z域微分（時(shí)域乘以n）Z

交換運(yùn)算次序證則若7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1645應(yīng)用7.3z變換的性質(zhì)2024/10/16467.3.6時(shí)域反轉(zhuǎn)則若證令m=-n且故7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1647【例7-16】求和（其中a>0）的雙邊z變換。解：由于根據(jù)時(shí)域反轉(zhuǎn)性質(zhì)有根據(jù)雙邊z變換的位移性質(zhì)由于由z變換的線性性質(zhì)可得7.3z變換的性質(zhì)2024/10/16487.3.7初值定理設(shè)x(n)為有界因果序列，則證：即（7-42）對式（7-42）等號兩邊乘以變量

zm

,(m=1,2,3,…),有：（7-41）7.3z變換的性質(zhì)2024/10/16497.3.8終值定理設(shè)x(n)為因果序列，則證:取z→1的極限，有：于是由于x(n)為因果序列，因此

（7-46）7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1650由于x(n)為因果序列，它的收斂域|z|>R為z平面半徑為R的圓外區(qū)域，為了保證z→1的極限存在，要求(z-1)X(z)的ROC包含單位圓。如果X(z)存在z=1的一階極點(diǎn)，(z-1)X(z)就出現(xiàn)了零、極點(diǎn)抵消，不影響極限的求取。因此要求X(z)除在z=1處有一階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)時(shí)，式（7-46）右端取z→1的極限才有意義。7.3z變換的性質(zhì)2024/10/1651【例7-17】已知因果序列x1(n)、x2(n)的z變換分別為：求它們的初值和終值。解：假設(shè)因果序列有界，應(yīng)用初值定理得對于X1

(z)，終值定理成立，故有對于X2

(z)，終值定理成立，故有7.4z反變換2024/10/16527.4.1z反變換z反變換式：有：由柯西定理：故：有：右邊z反變換推導(dǎo)1：z變換的定義式：c為包圍所有極點(diǎn)的逆時(shí)針方向的閉合曲線（以原點(diǎn)為中心圓）。（7-48）7.4z反變換2024/10/1653z反變換推導(dǎo)2：拉氏反變換的定義式：對時(shí)域離散化：令：有：所以：即有：即：c為包圍所有極點(diǎn)的逆時(shí)針方向的閉合曲線（以原點(diǎn)為中心圓）。7.4z反變換2024/10/1654z反變換的求法：1、圍線積分法（留數(shù)法）2、部分分式法3、長除法（定義法）例：已知求x(n)解：用長除法得：所以：有理多項(xiàng)式X(z)的1階極點(diǎn)zm的留數(shù)公式為：7.4z反變換2024/10/16557.4.2部分方式法z變換的部分分式展開法是將有理分式X(z)展開為基本常用的部分分式的和，即假設(shè)X(z)為有理分式，即若m≥n：則X(z)可分解為z的m-n

次多項(xiàng)式Xm(z)和真分式

Xn(z)兩部分，即式中，7.4z反變換2024/10/1656由z變換的定義可知故：從式（7-51）可知，Xm(z)的反變換對應(yīng)的是非因果序列，也就是說，如果m>n，就可以判斷xm(n)是非因果序列。對于Xn(z)，或X(z)當(dāng)m<n

時(shí)，為有理真分式，可表示為：式中，zi為Xn(z)的極點(diǎn)。它可能為一階極點(diǎn)或p階重極點(diǎn)，也可能為實(shí)極點(diǎn)或共軛成對的復(fù)極點(diǎn)。（7-51）見例7-127.4z反變換2024/10/1657（1）極點(diǎn)為一階極點(diǎn)ziXn(z)的部分分式展開式為根據(jù)收斂域和變換對的關(guān)系：（7-53）即可完成（7-53）式的反變換。7.4z反變換2024/10/1658【例7-19】已知求x(n)解：【例7-20】已知求x(n)解：收斂域?yàn)閳A內(nèi)收斂域?yàn)閳A外7.4z反變換2024/10/1659（2）X(z)有高階極點(diǎn)設(shè)X(z)在z=z0

處有m階極點(diǎn)(m≥2)，另有n個(gè)一階極點(diǎn)zi（i=1,2,…,n

），則X(z)可表示為（7-57）

X(z)部分分式展開式為（7-58）當(dāng)收斂域?yàn)閳A外時(shí)：當(dāng)收斂域?yàn)閳A內(nèi)時(shí)：考慮m=2階極點(diǎn)時(shí)：7.4z反變換2024/10/1660【例7-22】

已知求x(n)解：收斂域?yàn)閳A內(nèi)收斂域?yàn)閳A外7.4z反變換2024/10/1661（3）有共軛復(fù)極點(diǎn)【例7-23】

已知解：若X(z)的收斂域?yàn)槿鬤(z)的收斂域?yàn)椋蠓醋儞Qx(n)7.4z反變換2024/10/1662若X(z)的收斂域?yàn)?/p>

，圓外，則：若X(z)的收斂域?yàn)?/p>

，圓內(nèi)，則：7.4z反變換2024/10/1663對因果序列x(n)，MATLAB提供了求z反變換的函數(shù)iztrans(X)【例7-24】已知假定時(shí)間序列為因果序列，用MATLAB方法求它們的反變換。解：symszX1=z/(z-0.5);x1=iztrans(X1)X2=z/((z-2)*(z-3));x2=iztrans(X2)X3=z/((z+2)*(z+3));x3=iztrans(X3)運(yùn)行結(jié)果為：x1=(1/2)^nε(n)x2=3^n-2^nε(n)x3=(-2)^n-(-3)^nε(n)注：MATLAB方法只求因果序列的z變換！即：x1=(1/2)^nx2=3^n-2^nx3=(-2)^n-(-3)^n7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/16647.5.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入為

x(n)，單位樣值響應(yīng)為

h(n)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：兩邊取z變換，有：（7-61）稱為線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1665系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z域求解可按以下步驟進(jìn)行：第一步，計(jì)算系統(tǒng)輸入

x(n)的的z變換X(z)第二步，根據(jù)單位沖激響應(yīng)h(n)計(jì)算離散系統(tǒng)z域的

系統(tǒng)函數(shù)H(z)第三步，計(jì)算系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z變換第四步，計(jì)算Yzs(z)的z反變換，求得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的

時(shí)域解yzs(n)時(shí)域解為：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1666【例7-26】已知某LSI離散時(shí)間系統(tǒng)，當(dāng)輸入為x1(n)=ε(n)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為：yzs1(n)=2nε(n)，求輸入為x2(n)=(n+1)ε(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs2(n)。解：先求出系統(tǒng)函數(shù)則系統(tǒng)函數(shù)為：又：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1667可得有：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/16687.5.2用z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程用線性常系數(shù)差分方程描述的LSI離散時(shí)間系統(tǒng)，可以根據(jù)z變換的性質(zhì)把差分方程變換成z域的代數(shù)方程，計(jì)算系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。式中，0≤M≤N，a0=1，ai(i=1,2,…,N)、bj(j=1,2,…,M)為實(shí)常數(shù)。x(n)為因果序列，初始條件為y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。（7-78）對于一般的n階離散因果系統(tǒng)，可以用差分方程來描述：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1669對（7-78）兩邊取單邊z變換，得利用（7-29）式：序列右移后單邊z變換：令l=-k，有y(-l)為初始條件。7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1670零輸入響應(yīng)部分為：零狀態(tài)響應(yīng)部分為：完全響應(yīng)為：Ys(z)=Ys,zs(z)+Ys,zi(z)

ys(n)=ys,zs(n)+ys,zi(n)整理得：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1671對（7-78）兩邊取雙邊z變換，得（7-79）因果序列

x(n)的單邊z變換與雙邊z變換相同，即Xb(z)=Xs(z)響應(yīng)y(n-i)的雙邊z變換可以寫成：式中，Ys(z)為y(n)的單邊z變換。于是（7-79）式為：y(l)為初始條件。整理得：7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1672零輸入響應(yīng)部分為：零狀態(tài)響應(yīng)部分為：完全響應(yīng)為：Ys(z)=Ys,zs(z)+Ys,zi(z)

ys(n)=ys,zs(n)+ys,zi(n)7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1673【例7-28】已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為x(n)=ε(n)，y(-1)=1，y(-2)=1，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(n)，零輸入響應(yīng)yzi(n)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)。解：x(n)的z變換為對系統(tǒng)差分方程兩端取單邊z變換，得把X(z)和初始條件y(-1)=1、y(-2)=1代入上式，得7.5離散系統(tǒng)的z域分析2024/10/1674求z反變換，得：7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/16757.6.1H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)H(z)通?？梢员硎緸閦的有理分式:也可以表示為:式中，G為系統(tǒng)函數(shù)的幅度因子（7-87）7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1676分子中的因子(1-zrz-1)在z=zr處產(chǎn)生一個(gè)H(z)的零點(diǎn)，在z=0處產(chǎn)生一個(gè)極點(diǎn)。分母中的因子(1-pkz-1)在z=pk處產(chǎn)生一個(gè)H(z)的極點(diǎn)，在z=0處產(chǎn)生一個(gè)零點(diǎn)。H(z)的極點(diǎn)z=pk和零點(diǎn)z=zr，可以是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于系數(shù)ak、br都是實(shí)數(shù)，所以，若極點(diǎn)（零點(diǎn)）為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然共軛成對出現(xiàn)。從式（7-87）可以看出，除常數(shù)G外，系統(tǒng)函數(shù)完全由其極點(diǎn)和零點(diǎn)決定。因此，系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布和它的收斂域決定了系統(tǒng)的特性。7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1677【例7-29】設(shè)有系統(tǒng)函數(shù)如下，畫出其零、極點(diǎn)分布。解：系統(tǒng)函數(shù)可分解為有一個(gè)二階零點(diǎn)0，一個(gè)極點(diǎn)-1-j，一個(gè)極點(diǎn)-1+j?？梢杂肕ATLAB求出零、極點(diǎn)并畫出其分布圖。H1(z)的MATLAB程序?yàn)閎=[300];a=[122];zplane(b,a);title('零、極點(diǎn)分布圖')H2(z)的MATLAB程序?yàn)閎=[321];a=[1022];zplane(b,a);title('零、極點(diǎn)分布圖')7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/16787.6.2H(z)的極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)對于線性時(shí)不變因果系統(tǒng)來說，系統(tǒng)函數(shù)H(z)和單位樣值響應(yīng)h(n)是一對單邊z變換對。H(z)的極點(diǎn)的性質(zhì)及極點(diǎn)在z平面上的分布決定了h(n)的形式。H(z)的零點(diǎn)影響h(n)的幅度和相位，H(z)的極點(diǎn)決定系統(tǒng)自由響應(yīng)的形式。（1）單位圓內(nèi)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)有一階實(shí)數(shù)極點(diǎn)這是一個(gè)衰減的指數(shù)函數(shù)。Z反變換7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1679在單位圓內(nèi)有二階實(shí)極點(diǎn)可以看出隨著n的增大，其響應(yīng)也是衰減的。在單位圓內(nèi)有一階共軛復(fù)極點(diǎn)H(z)分母中就有因子h(n)形式為這是一個(gè)指數(shù)衰減的正弦波。單位圓內(nèi)有二階共軛復(fù)極點(diǎn)H(z)分母中就有因子h(n)形式為可以看出隨著n的增大，其響應(yīng)也是衰減的。7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1680【例7-30】設(shè)有系統(tǒng)函數(shù)畫出零、極點(diǎn)分布和單位樣值響應(yīng)。解：利用MATLAB方法，有：%例7-30，單位圓內(nèi)極點(diǎn)

b1=[10];a1=[1-0.5];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%-畫零極點(diǎn)圖subplot(322)impz(b1,a1)%-畫單位樣值響應(yīng)圖7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1681單位圓內(nèi)右邊極點(diǎn)單位圓內(nèi)左邊極點(diǎn)7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1682（2）單位圓上極點(diǎn)在單位圓上有一階實(shí)極點(diǎn)H(z)中就有部分分式h(n)中就有在單位圓上有二階實(shí)極點(diǎn)H(z)中就有部分分式h(n)中就有在單位圓上有共軛復(fù)極點(diǎn)h(n)形式為7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1683若有二階共軛復(fù)極點(diǎn)h(n)形式為因此，H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)對應(yīng)h(n)中的響應(yīng)為階躍序列或正弦序列；H(z)在單位圓上的二階及二階以上極點(diǎn)對應(yīng)h(n)中的響應(yīng)都是隨n

的增大而增大的，最終趨于無窮大?！纠?-31】設(shè)有系統(tǒng)函數(shù)畫出其零、極點(diǎn)分布和單位樣值響應(yīng)。解：利用MATLAB方法，有：%例7-31，單位圓上極點(diǎn)

b1=[10];a1=[1-1];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%-畫零極點(diǎn)圖subplot(322)impz(b1,a1)%-畫單位樣值響應(yīng)圖7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1684單位圓上右邊極點(diǎn)單位圓上左邊極點(diǎn)7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1685（3）單位圓外極點(diǎn)H(z)在單位圓外的極點(diǎn)對應(yīng)的h(n)中的響應(yīng)與單位圓內(nèi)的極點(diǎn)對應(yīng)的h(n)響應(yīng)形式相似，但都隨的增大而增大，最終趨于無窮大。即系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)是發(fā)散的，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?！纠?-32】設(shè)有系統(tǒng)函數(shù)畫出其零、極點(diǎn)分布和單位樣值響應(yīng)。解：利用MATLAB方法，有：%例7-32，單位圓外極點(diǎn)

b1=[10];a1=[1-1.2];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%-畫零極點(diǎn)圖subplot(322)impz(b1,a1)%-畫單位樣值響應(yīng)圖7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/1686單位圓外右邊極點(diǎn)單位圓外左邊極點(diǎn)7.6離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)2024/10/16877.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1688根據(jù)時(shí)域中穩(wěn)定性的定義可知，要求系統(tǒng)的有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO），對于LSI系統(tǒng)而言，其穩(wěn)定的充要條件是單位樣值響應(yīng)h(n)絕對可和。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義可知若H(z)存在，則式（7-89）右邊的級數(shù)絕對可和，即（7-89）假設(shè)單位圓在H(z)的收斂域內(nèi)，即在|z|=1收斂，則：（7-90）（7-91）即單位圓在H(z)的收斂域內(nèi)(充分條件)

系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)絕對可和

，系統(tǒng)穩(wěn)定。(Bounded-InputBounded-Output)7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1689（1）因果系統(tǒng)的極點(diǎn)、穩(wěn)定性與收斂域假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的N個(gè)極點(diǎn)pi(i=1,2,…,N)均為一階極點(diǎn)，故有（7-92）對于因果系統(tǒng)，每個(gè)極點(diǎn)對應(yīng)的子系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為其z變換的收斂域?yàn)閨z|>|pi|，因此，H(z)的收斂域?yàn)樽酉到y(tǒng)Hi(z)收斂域的交集，即由式（7-92）可得因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1690（7-93）對式（7-93）兩邊取絕對值，再對

n

求和，式中，

為有限值，（7-94）時(shí)，式（7-94）為有限值，系統(tǒng)穩(wěn)定。欲使不等式（7-95）成立，按照級數(shù)收斂的要求，必須滿足（7-95）（7-96）即因果系統(tǒng)的極點(diǎn)在單位圓以內(nèi)，收斂域包含單位圓，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1691（2）非因果系統(tǒng)的極點(diǎn)、穩(wěn)定性與收斂域?qū)τ诜且蚬到y(tǒng)，每個(gè)極點(diǎn)的子系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為其z變換的收斂域?yàn)閨z|<|pi|，因此，H(z)的收斂域?yàn)樽酉到y(tǒng)Hi(z)收斂域的交集，即由式（7-92）可得非因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為對式（7-97）兩邊取絕對值，再對

n

求和，（7-97）7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1692式中，

為有限值，時(shí)，式（7-98）為有限值，系統(tǒng)穩(wěn)定。欲使不等式（7-99）成立，按照級數(shù)收斂的要求，必須滿足（7-99）（7-100）即非因果系統(tǒng)的極點(diǎn)在單位圓以外，收斂域包含單位圓，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（7-98）當(dāng)7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1693（3）雙邊系統(tǒng)的極點(diǎn)、穩(wěn)定性與收斂域?qū)τ陔p邊系統(tǒng)來說，其單位沖激響應(yīng)為雙邊序列。其收斂域必為環(huán)狀區(qū)域，即收斂域?yàn)榧俣ㄊ剑?-92）中有N1(0,1,2,…,N1-1)個(gè)極點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)域序列為因果序列，其余N-N1個(gè)極點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)域序列為非因果序列：將式（7-92）寫成（7-101）式（7-101）描述的系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為（7-102）7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1694對式（7-102）兩邊取絕對值，再對

n

求和，（7-103）式中，

和

為有限值，即：式（7-103）為有限值，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1695（7-106）（7-107）（7-106）：對于因果子系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為極點(diǎn)在單位圓內(nèi)。（7-107）：對于非因果子系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為極點(diǎn)在單位圓外。對于雙邊系統(tǒng)來說，根據(jù)因果系統(tǒng)的收斂域和非因果系統(tǒng)的收斂域可知，其收斂域?yàn)橐虼?，雙邊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域也須包括單位圓。從上面的分析可知，對于僅含一階極點(diǎn)的線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，若系統(tǒng)是穩(wěn)定的

系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓（必要條件）?？梢宰C明其結(jié)論對含多重極點(diǎn)的系統(tǒng)也成立。7.7線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性2024/10/1696【例7-33】線性移不變離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為其收斂域?yàn)椋?1)；(2)；(3)；(4)

判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解：(1)系統(tǒng)為：非因果、非穩(wěn)定的。(2)系統(tǒng)為：非因果、穩(wěn)定的。(3)系統(tǒng)為：非因果、非穩(wěn)定的。(4)系統(tǒng)為：因果、非穩(wěn)定的。7.8H(z)與離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)2024/10/1697離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率特性）是指系統(tǒng)對不同頻率正弦序列的響應(yīng)特性。根據(jù)z變換的定義根據(jù)傅里葉變換的定義當(dāng)z變