2025年高考數(shù)學二輪復習：點共線、線共點、點共圓問題 學案講義

第9章點共線、線共點、點共圓問題

9.1解法概述

一、證明三點共線的常用方法

(1)取三點中的一點,與另外兩點分別連兩條直線，證明它們都平行于或都垂直于某一條直線.

(2)證明連接兩點的直線通過第三點.

(3)以三點中居中的點為頂點，過另外兩點作兩條射線，證明形成平角.

(4)居中的點與另外兩點分別相連,形成兩條直線，若與過中間點的一條直線組成對頂角，則三

點共線.

(5)連接三點的三條線段中,有一條等于另外兩條之和.

(6)以三點為頂點的三角形的面積為0.

(7)同一法，反證法.

二、證明三線共點的常用方法

(1)設兩直線的交點，再證明此點在第三條直線上.

(2)證明各直線都過同一個特殊點.

(3)設兩直線的交點，過此交點作出某一條直線，證明這條直線與第三條直線重合.

(4)證明以三直線兩兩相交的三個交點為頂點的三角形的面積為0.

(5)利用已知的線共點的結論.

(6)同一法、反證法.

三、證明四點共圓的常用方法

(1)四邊形對角互補或者某一外角等于內(nèi)對角.

(2)線段同側的兩點對于線段的張角相等.

(3)各點到某一定點的距離相等.

(4)利用相交弦定理的逆定理.

(5)把四邊形分成兩個有公共邊的三角形,證明這兩個三角形的外接圓重合.

(6)利用四點共圓的有關判定定理.

9.2范例分析

[范例1]

三角形一邊上的高線的垂足在另外兩邊及另外兩高線上的射影四點共線.

分析1對于四點共線問題，先證其中三點共線，再證第四點也在該直線上，如圖F9.1.1所

示，我們先證P、Q、”三點共線，這只要證/尸容易看出8、P、

。、。共圓，D、Q、H、/共圓，所以/8+/P0D=180,/DQM=/DHM,于

是只要證4=/次砌，這可由8、D、H、尸的共圓證出.

證明1因為/8PD=/30D=9O,所以氏P,Q、n共圓，所以/PQD+/8=180

圖F9.1,1

因為ZDQH+ZDMH=90+90=180所以2)、Q、8、/共圓，所以

NDQM=NDHM

因為/HDB+NHFB=90+90=180所以5、。、〃、斤共圓，所以

NDHM=NB.

所以/P2D+NT)QM=180,即尸、Q、加三點共線,同理N、M、。共線,因為

M、Q為兩直線上的公共點，所以P,Q,M,N四點共線.

A

分析2也可以采用同一法，連PN,再證明Q,/在直線PN上.

設PN與BE,CF各交于2,峪，如圖F9.1.2所示因為NAPZ>+/A7VE>=180,所

以AP、D、N共圓，所以/1=/2.又由4E、D、6共圓，11=/3,所以

N2=N3,所以&D、2、尸共圓，所以/BQ]D=NBPD=90,即Og18E,但過

3E外的點。只能作一條垂線與助垂直，由DQ1BE,DQ,1BE,可見。與。1重合.

同理M與A11重合.這就證出了P,Q,M,N共線（證明略.）

分析3如圖F9.1.3所示，連PN、PQ.若能證出PN、PQ都與同一條直線平行，則?、

N、Q共線.從圖上觀察，容易發(fā)現(xiàn)所是所說的直線，連EF.

因為CFLAB,DP±AB,所以CF//DP,同理6E/AD/V,設H為.ABC的垂心,由

ApAJ-IAJ-fA17ApA

牝=2生,色色=*知竺=*，所以PN//所.只要再證PQIIEF,也就是要證

FPHDHDENFPEN

BPBQ

明--------.

PFQE

BD

圖F9.1,3

和證明FN//石戶的方法類似，我們也嘗試找一媒介比值，這只要取叱即可，很容易由平

BPBQ

行截比定理證出7r誣，所以尸?；?

這表明從夕發(fā)出的兩直線PQ、PN都與跖平行，所以P,Q、N共線,同理可證P,M、

N共線.（證明略.）

[范例2]

。1和°2外離，A4是一條外公切線，是一條內(nèi)公切線，4，4是。1上的切點，

。2是?！?上的切點，則°1°2、44、8遙三線共點.

分析1證明三線共點，可先設兩條直線交于一點，再證另一直線也過此點或兩直線與第三條

直線的交點都與之重合.設A4和4不交于夕，容易證明尸、Bp。2、&共圓，利用圓的

內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角的定理，可證.P44s。②臺也，從而推出44//2。2.同理

有0[P11B[B?,這樣分析后可以看出有可能通過比例證出44、BE和。。2的交點重合.

圖F9.2,1

證明1連0A。4、劣片、°IB2,延長與4,交A4于P連尸。1、尸。2,設P°I交

A4于A，尸。2交B網(wǎng)于4.如圖F921所示,

因為。2418出。2員，用尸，所以R4、。2、用共圓，所以/4叫=/用。.因

為/4=尸4，O2B1=O2B2,所以等腰AP&S所以/用用。2=/尸44.

因為。2耳144，即/鳥B1&+/8281P=90,所以/244+/824「=90,所以

A41眼.

因為尸。214用,所以尸。2//&4-

因為尸qiA4,所以

設A4的延長線交。02于M,設B,B2和O02交于N.由平行截比定理,

PDlO,M(92D2O2N

J

~Dpx~MOlD2P一而

因為―。幽叫s”,所以懸端,翁蠹所以

旦=%所以也=也

O2D2D2P'DQiD2P

O2MO2NQM+MO]QN+NQ口nQ?_Q?

所以.由合比定理,，即MO】NO1所以

~MO[~~NO[~MOX―_2VQ

MO]=NO],所以/、N重合.

所以44、8n2、。。2三線共點.

分析20%和°281同垂直于44,則06和024可看作以44為直徑的圓的兩條切線,同

理。4、。2打都垂直于4與，則44、°2且又可看作以為直徑的圓的切線.因為

。14=。14，。2用=。2用，可見。1、。2是到兩個圓的切線長相等的點，即直線01。2是

此二圓的根軸.

由分析1知44，用與，設垂足為M,因為/4M8]=/4M%=90,所以M是此兩圓

的公共點.故。02應在兩圓的公共弦線上.這樣，只要連。|加、。2M，證出0「M、。2共

線，問題就解決了,證明這樣的三點共線可采取分別證出°1、。2都在過M的某一條直線上的

方法.

證明2設A4的延長線和交于M.如證明1所證，A]M1耳%如圖F9.2.2所示，以

44、&不為直徑各作一個圓.因為/AMB=/4加與=9。,所以“在此兩圓上,設兩

圓另外一交點為N.

連44，o4,。24，。2用.因為。614片，0241A4，所以和。2耳是

F9.2.2

B

4i的兩條切線,同理%和O2B2是4與的兩條切線.

連0{M，設OXM與一4片和一4為各交于NpM,由切割線定理，

0^=0M0Nl,0弟=。加,0雙2.因為。42=。隹，所以。心。叫=。小。乂，所

以。N=。必.所以此、用重合，即凡是人用和（淡坊.的公共點,因為兩圓相交只有

兩個公共點，所以NpM都與N點重合可見。在跖V上，即01在64和4B2的公

共弦上,同理可證。2在MN上，所以OpM、。2三點共線.

所以。2、44、B周三線共點.

分析3這個公共點是否能預先確定它的性質?也即是說，M點是怎樣的特殊點?作出另一條

內(nèi)公切線跖，E、廠各是一01、L。2上的切點.設跖的延長線與4月交于《，過《作

AglOj02,M為垂足，則這個垂足M即是所說的點.這樣，我們可以先作出M,然后證

出44、B}B2也過此點,這只要在連B[M、B2M后證出=ZB2MP2,則可推知

B]、M、用三點共線,同理，4、M.4三點共線,可見44、8圈都過002上的這個特

殊點.

證明3作另一條內(nèi)公切線跖，在。1上的切點為石.在。2上的切點為廠.延長￡F,交

4片于片，過片作。。2的垂線A8,交4員于弓，交on于M.連

MBpMB,.MF、。2片、。2片、02F,如圖F9.2.3所示,

由整個圖形關于。02軸對稱知/尸，喟=/用網(wǎng).因為《凡《用都是切線，所以

02F1PXF,。24144,可見:、F、M、。2、用五點都在以02彳為直徑的圓上，所以

/FMP]=/F0F],又/尸。2《=/用。2昂/8]。2<=/用叫,所以

/4網(wǎng)=/用峭,可見片、M、&共線，即BjB2與。02也交于M點.

同理，利用4、片，M、E、4（以。出為直徑）五點共圓及關于。02的軸對稱性，又可證

出可見4、4、M共線，即的延長線也過M點.

綜上，44,B}B2,a。2三線共點于M.

[范例3]

夕為等腰A5c的底邊6C上的任一點，PQ//AB,PR//AC,分別交AC、A5于

Q、旦設。為2點關于直線RQ的對稱點，則4D、B、。四點共圓.

分析1通過對角互補可證四點共圓,從條件知

RB=RP=RD,/ABC=NACB,QD=QP=QC,又由ARPQ是平行四邊形，可進

一步得到AQ=RP=q，QD^AR,可見ADQ=.DAR,所以=這

時把四邊形的兩組對角分別加起來，很容易發(fā)現(xiàn)對角之和相等.

圖F9.3.1

證明1如圖F9.3.1所示，連RD、OQ.由對稱性，QD=QP,RD=RP.

易證ARPQ是平行四邊形，所以QP=AR,RP=AQ,所以A7?=QD,AQ=RD,所

以ADQ三，DAR,故NQAD=NRDA

①易證我尸=AB,所以RB=RD,NRDB=NRBD

②因為AB=AC,所以^ABC=ZACB

③式①+式②+式③得

ZQAD+NABC+NRBD=NRDA+ZRDB+ZACB

即ZDAC+NDBC=NADB+NACB.

因為N7MC+NDBC+/ADB+/ACB=360,所以NZMC+NDgC=180,所以

A、D、B、C共圓.

分析2要證四點共圓，還可通過證明/8DC=/B4C由于—3AC=/PQC=—3RP,

只要證出力加。和其中任一角相等即可.但是直接證。和/BAC、NPQC、

/酸P中的任何一個相等都有困難，這時可試著把分成幾部分，若每部分都和要

證的角有一定的關系，則/砒>。整體也容易建立與要證的角的聯(lián)系.

注意到RD=RB=RP,QD=QP=QC的事實，可以想到的外心是RPDC的外

心是。，引用圓周角和同弧對的圓心角關系的定理，可很快證出結論.

證明2連Z>Q,DP、DR、DC,如圖F9.3.2所示.

易證RD=PB=PR,QZ>=Q尸=QC可見尺是二。BP的外心，。是FDC的外心.由

圓周角和同弧上的圓心角關系的定理，NBDP=L/BRP,NPDC=L/PQC

22

易證ZBRP=NPQC=^BAC,

所以/BDP+/PDC=-NBRP+-NPQC=-NBAC+-NBAC=NBAC,即

2222

NBDC=NBAC,所以4D、B、。共圓

圖F9.3,2

分析3要證四點共圓，可以通過證4D、B、C到一個定點等距離,這個定點如果存在，那

么顯然是ABC的外心O.利用.BROmAQO,可得。火=OQ,即。點在RQ的中垂

線上.只要證出AORQ是等腰梯形，RQ、AO是底，則可知O也在AO的中垂線上.這樣，

。到4D、B、。距離相等.

要證明ADRQ是等腰梯形，只要證出.ADR^ADQ即可.

證明3設。為.ABC的外心.連。4、OB、OR、OQ.DR、DQ、OD、OC,如圖Y9.3.3

所示.

因為。4=05,所以/aiB=/O5A又，Q45=/Q4C,所以NZMC=/O8A.

易證ARPQ是平行四邊形，所以AQ=RP,又RP=RD=RB,所以AQ=RB=RD,

所以OBR=OAQ,所以OR=OQ,即O在RQ的中垂線上.

因為。Q=QP=ARRD=AQ,AD為公共邊，所以AD火三4AD。，所以RQ到AD

等距離，所以ADRQ是等腰梯形,由等腰梯形的軸對稱性知，O點又在AD的中垂線上，即

OA=OD

所以OA=OD=OB=OC,可見4D、B、。共圓

BP

圖F9.3,3

9.3研究題

[例1]

三角形的三條中線共點.

證明i（三角形中位線定理、平行四邊形的性質）

設中線鹿、C尸交于G,連AG并延長，交3C于。，延長AQ到H,使GH=AG,

連BH、CH,如圖Y9.1.1所示，則G/、GE各是A5”和一AHC的中位線，所以

GF//BH,GE//HC,所以GBHC是平行四邊形，BC、GH是其對角線.

因為平行四邊形的對角線互相平分，所以BD=DC,所以AD是3C邊的中線，所以

AD,BE,三中線共點.

圖Y9.1,1

證明2（三角形的中位線、平行四邊形的性質）

設中線5￡、C尸交于G點，。為3C的中點，連G4、GD,作CH//GD,交5石的延

長線于作EM//CN,交A尸于M,如圖Y9.L2所示

在一6。以和中，由中位線定理知GB=GH,AM=MF=-AF=-BF.

22

在班M中，由平行截比定理，跑=亞=工,所以EG=^G3,所以EG=LG"，所

GBBF222

以EG=EH.

因為=EG=EH,所以AG、C、〃是平行四邊形的四個頂點，所以

GA//CH

因為G4//CH,GD//CH,所以4G、。共線，即AO是中線，所以A。、BE、CF三

中線共點.

證明3（中位線定理、相似三角形）

設中線AD、BE交于G,中線AD、B交于G'.連DE,如圖

所示，則QE是A5c的中位線，所以OEAB,DE^-AB,由OEGs..A3G知

2

AG_AB

~GD~~DE~'

AC斤匚?AGAG'

同理，連Q尸后有42所以——=^—所以

G'DDFGDG'D

"'即言=器’所以5=G'DG與G'必定重合

所以三中線皿BE、CF共點.

證明4（三角形的中位線、平行四邊形的性質）

設中線BE、CF交于G,中線BE、AD交于G'.設P,Q分別是GB、GC的中點，連跳\

PQ,如圖Y9.1.4所示，貝IJ￡尸、PQ分別是A5c和G5c的中位線，所以

EF-BC,PQ-BC.所以石尸廠。，所以E、F、尸、。是平行四邊形的四頂點，所以

=2=2=

GE=GP=PB.

同理，若連DE,又可證GE=GP=PB,所以GE=G'E=PB,所以G、G'重合.

所以三中線AD、BE、CF共點.

A

圖Y9.1,4

圖Y9.1,5

證明5（引用第5章例2的結果）

設中線AD、BE交于G,AD.CF交于G'.如圖丫915所示

AG_.AEAG,,A尸_°雨~AG_AG，

由第5章例2的結果,-----=Z-----=Z,---=Z-----=2,所以------=—■—.可見G、G

GDECG'DFBGDG'D

內(nèi)分AD成等比值,由分點的唯一性知G、G'重合，即三中線皿BE、CF共點.

證明6（Ceva定理）

設BD=DC,CE=EA,AF=FB.

因為任.3.0=1,由三線共點的Ceva定理知AD、BE、CF共點.

FBDCEA

證明7（面積法、反證法）

設三中線兩兩相交于尸、Q、R,如圖Y9.1.6所示,若「、。、R共線，表明AD、BE、CF

各有兩公共點，所以A。、BE、C戶共線，與三角形的假設違背，所以尸、Q、尺不共線.

若尸、Q、R實際上只是兩點，設P、Q重合而與尺不重合，則AD與。尸有兩個公共點，

所以A。、C戶應重合，與已知矛盾，所以P、。、R不能僅有兩點重合.

若「、Q、R是不共線的三點，則SPQRRO.連陽，如圖Y9.L6所示即是中位線，所

以FD!/AC,所以SADC=SAPC，所以SADCARC=SAFC-SARC，所以SAFK=Scdr.

同理，sAQE-§BQD9SCpE=SBpF.

連AP、BR.CQ.因為0、E、F各是BC、CA.AB的中點，所

以SBRD=SCRD，SAQE=SCQE9SAP/二SBP?.故Scrd-SARF=SAQPF+SPQR

C-C-CIQQ-V-VIV

°AQE~°BQD一°BPRD十QPQR，uBPF~°CPE~°CRQE丁0PQR

因為^AQPF~SApF+SAPQ=SBPF+SAPQ,SBPRD=SBRD+SBPR=SCRD+SBPR'

ScRQE=S.CQE+sCQR~SAQE+SCQR,把它們代人式(1)、式(2)、式(3),再把三式相力口,

就得到SAQP+SBPR+SC0R+3SPQR=0,此式表明SPQR=Q,這與假設矛盾

所以尸、Q、火是一個點，即三中線皿BE、CF共點.

證明8(引用第6章例5的結論)

GT

設三中線AD、BE.CF兩兩相交于P、Q、R由第6章例5的結論,uPOR

2

.ABC2+2+1

q

這里4=迫CE所以三駕=0,所以Sp°R=0.

DCFB）ABC

但由證明7的分析知，尸、Q,R不可能共線或僅有兩點重合，所以尸、Q、R實為一個點,

即三中線A。、BE、CF共點.

證明9（面積法、三角形全等）

設中線鹿、C尸交于G,連AG并延長，交3C于。，作加、CN,均與AD垂直,

垂足分別是河、N,如圖丫917所示

因為公尸分別是AC、的中點，所以S但=S詆=^S慚?所以

SAEB~SAEGF=S4FC—AEGF，即$EGC=$FGB.又因為5,EGC=$EGA，$FGB=§FGA，所

以SAGC=SAGB-

因為一AGC、一AGB有公共底AG,CN、8M是對應高，所以CN=BM

因為NCDN=NBDM,所以Rt_CNDvRtBMD,所以CD=BD,即AD是3c邊

上的中線，所以三中線AD、BE、CF共點.

證明10（解析法）

如圖丫9.1.8所示，建立直角坐標系.

設。（c,。）,A（a,b\則咕可，E］等，3,吧《

內(nèi)分4。成比值4=2的點的坐標為

A+

xA+AXD_2_a+c

yA+AyD_Z?+20_b

1+2-1+2-3

內(nèi)分BE成比值；I=2的點的坐標為

0+2-^^

_xB+Zx￡_2_〃+c

A-1+2-1+2--I-

,,0+2--,

%+4_2=b

1+21+23

(a+cb)

即

fa+cb]

同法還可求出內(nèi)分為2=2的分點也是這個點，即口一？是A。、BE、CF的公共

點，所以三中線AABE、CF共點.

[例2]

三角形的三高共點.

證明i（相似三角形、共圓）

設兩高5石、C尸的交點為H,連并延長，交BC于D,連EF,如圖Y9.2.1所示.

由A、F、H、石共圓知Nl=/2.

由A。、石、/共圓知/2=/3,所以21=/3,因為/C為公共角，所以

BEOo-ADC,所以NADC=—3EC=90,所以AD也是高線，即三高A。、BE、CF

共點.

A

A

證明2（共圓、證三點共線）

設兩高5￡、CF交于H,連A",作小垂足為。，連FE,如圖丫9.2.2所示

因為A、F、H、E共圓，所以/l=/2.

因為6、C、E、/共圓，所以N1=/ACB.

因為〃、D、C、E共圓，所以/3=/ACB.

所以N3=/2,所以AH、。共線，即ADLBC,所以三高AD、BE、CF共點.

證明3（利用三角形三邊的中垂線共點的性質）

分別過A、B、C作對邊的平行線，三條直線兩兩相交，交點為4、4、G，如圖Y923所

示易證「4耳。各邊的中點分別是A、B、C,所以A。、BE、CF是A,耳儲各邊的中

垂線.因為三角形各邊的中垂線共點，所以MBE、CF共點，即A5c的三高共點.

A,

圖Y9.2,3

證明4（Ceva定理）

如圖Y924所示.

由Rt.ADCsRtBEC知2￡=生.

ACBC

由RU知理=AF

ABAC

由Rt_BFC?Rt^BDA知笆=處

BCAB

A

圖Y9.2,4

以上三式連乘，得到生?9.空=生?牝?巨2,所以

ACABBCBCACAB

工.匕.2L=1.由Ceva定理知AD、BE、CF共點.

DCEAFB

證明5（解析法）

圖Y9.2,5

如圖Y9.2.5所示，建立直角坐標系.

設C（a,O）,A（b,c）.

AO的方程為％=4

因為左AC=-^，所以原E=j，所以助的方

b—ac

■rmMCl—b

標為y=------------------x.

c

兩方程聯(lián)立可得H[bjO

IcJ

b("b)°

所以3?%

-7-----=所以幻B.kCH=T,所以CHLAB,可見CH

b-ac

也是高，所以三高AD、BE、CF共點.

[例3]

兩直線4、4交于O點，在，i上有A、B、C,滿足。4=筋=6。在/2上有￡、M.N,

滿足LO=OAf=MN,則A￡、BN、CM三直線共點.

證明1（三角形中位線定理、同一法）

設AL、BN交于K.連MK并延長，交03的延長線于G，連AM,如圖丫931所示，則

A"是一。3N的中位線，所以411=,3叱

2

因為LAMsJKN,所以士竺=名上=』，所以NK=3AM=>BN'所以

AMLM224

iiC,BKB1D4D

KB=^BN=LAM因為KBUAM,所以=F=所以=

42CXAAM2

因為A6=6C,所以BC=C]8,即。與Ci重合.

所以仙BN、三線共點.

l-l

BCCi/)

圖Y9.3.1

圖Y932

證明2（平行截比定理、三角形的中位線）

作MP/IAL,交1于P,連40,設弘CM交于K,連BN,如圖Y9.3.2所示

易證.AOLM-FQ，，所以AO=PO,旗=4。.在_。叱中，由中位線逆定理知AK是

一CMP的中位線，所以CK=KM.

因為0_=色吆，所以4M//BN.

ABMN

在_CM4中，由中位線逆定理知BN與CM的交點是CM的中點，即BN也過K.

所以MBN、三線共點.

證明3（中位線定理、重心的性質）

連M4、CL,如圖Y9.3.3所示

在QBN中，AM是中位線，所以AM//BN.在-AMC中，由中位線逆定理知BN必過

CM的中點K,即CK=KM.

在JWLC中，CO是ML邊上的中線，A點分CO成2:1的兩部分，所以A是JWLC的

重心，所以LA必是CM上的中線，即乙4過K.

所以AL、BN、三線共點.

證明4（同一法）

設AL、交于K,作BP/%,分別交CM、LK于P、Q,設CM、BN交于K',如圖

Y9.3.4所示.

易證OAL=BAQ,所以BQ=OL=OM=MN.

KNLM30L.

由^-^—=—=—=3.

由一MNKSPBK知的=—.

BPK'B

在中，—=-=3,所以也丫=3,所以分=3,即@=包=3.可見

BPBCBPK'BKBK'B

K、K'都是內(nèi)分線段N5成比值3的點，由定比分點的唯一性知K、K'重合，即

AL,BN、CM共點.

Y9.3.3

圖Y9.3,4

證明5（解析法）

如圖Y9.3.5所示，建立直角坐標系.

設OA=AB=BC=a,LO=OM-MN-b,^AOM=a,則

A(a,O),B(2a,0),C(3a,0),L(-bcosa,-bsina),M(bcosa,hsina),N(2bcosa,2bsina)

AL的方程為y=——加3y?(%—a),即

—bcosa—a

圖Y9.3.5

xbsma-^bcosa+ajy-absma=Q<T

師的方程為戶就已.2。）,即

xbsina-(bcosa-ci)y-2?Z?sincr=0②

CM的方程為y=_/'?夕（%_34）,即

6cosc—3。

xbsina-(^bcosa-3a)y-3absina=0③

bsina-a-bcosa-absina

方程⑴、⑵、（3）的系數(shù)行列式為bsmaa-bcosa-2absina

bsina3a-bcosa一3Mina

1-a-bcosa-1

=加sin2a1a-bcosa-2

13a-bcosa-3

1-1-1111

=ab2sin2a-a11-2+bcosa-112=0

、13-3113?

所以AL、BN、CM三線共點.

[例4]

在梯形ABC。中，AD//BC,AD+BC=AB,b為CD的中點，則/A、的平分線

必交于F.

證明1（梯形的中位線、等腰三角形）

圖Y941

作EE//AD,交A5于石，如圖Y9.4.1所示，則跖是梯形的中位線，所以

EF=^（AD+BC）=^AB=AE=EB,所以Nl=N3.因為/2=/3,所以/1=/2,

即/A的平分線為A尸.

同理可證NB的平分線是BF

證明2（三角形全等、等腰三角形）

延長A尸，交3c的延長線于G,如圖Y9.4.2所示易證一AMMGCF,所以AD=CG.

因為AD+6C=AB,所以6C+CG=AB,即AB=6G,所以-1=/3,又N2=/3,

所以/1=/2,即/A的平分線過廠點.

同理可證NB的平分線也過F點.

證明3（梯形的中位線、三角形全等、菱形的性質）

作FEIIAD,交AB千E、則EF是梯形的中位線.過F作AB的平行線，交BC于H,

交AD的延長線于G,如圖丫943所示.

易證_FDG仝FHC,所以DG=CH,所以AD+BC=AG+BH=AB.

易證是平行四邊形，所以47=9,所以==所以AEFG、

2

BHFE都是菱形,A尸、族分別是它們的對角線,由菱形的對角線的性質知ARBF分

別是ZA、4的角平分線.

證明4（三角形全等、內(nèi)角和定理）

在A5上取G,使AG=AD,因為AB=AD+BC=AG+Gfi,所以6G=5C,連G。、

GC、GF,AF>BF,如圖Y9,4,4所示，則/1=/2,N，3=N4.

因為Nl+/2+/A=180,N3+N4+Z3=180,/A+/5=180,所以

Nl+/2+N3+/4=180,即Nl+N3=90,所以

^DGC=180-^1-^3=180-90=90.所以GE是Rt.DGC斜邊上的中線，所以

FD=FC=FG

由.40斤三AGF,.BCF=5GF知N5=/6,/7=18,所以NA、的平分線交

于下點.

圖Y9.4,4

證明5（面積法）

過產(chǎn)作昭VLAD,交AD于M,交BC于N作FELAB,垂足為石任AF、BF.如

圖Y945所示,

易證Rt—?Rt_RVC,所以FM=FN.

因為

S^+5BCF^^ADFM+^BCFN^^AD+BC)FM^^ABFM^~(AD+BC)^-^^SABCD

,所以MF=EF,所以MF=EF=FN.

可見/點到/A、的兩邊等距離，所以A尸、5尸分別是/A、的平分線.

證明6（解析法）

如圖Y9.4.6所示，建立直角坐標系.

設AD=Z?,BC=a,^ABC=a,則C(a,O),A((a+b)

a+ba+b.

cosa,(Q+b)sina),O(6+(a+Z?)cosa,(a+Z?)sina)尸(1+C0S6Z)----sma

22

連環(huán)、AF

a+b.

—sma

2________si?=tan里，所以5分是ZB的平分線.

因為kAB=tana,kBF=

a+bx1+coscr2

----11+cosa)

同理A尸是/A的平分線.

[例5]

在.A5c中，NB=2NC,AD±BC,M在A5的延長線上，BD=BM,N為AC的

中點，貝IJM,D,N共線.

圖Y9.5,1

證明1（同一法）

連MD并延長，交AC于％,如圖丫951所示

在中，/l=/2+/M=2/2,/2=/3,所

以11=2/3.因為Nl=2/C,所以/3=/C,所以

0%=MC易證。M=

所以M是RtADC的斜邊的中點，所以N與M重合.

所以M,D、N共線.

證明2（直角三角形斜邊中線定理）

如圖丫9.5.2所示，連DM、DN.

在RLADC中，DN是斜邊上的中線，所以/NDC=/C.因為=所以

2

NNDC=L/ABC

2

因為/ABC是等腰瀏。的外角，所以=+=所以

NBDM」NABC

2

所以NBDM=NNDC,所以“、D、N共線.

圖Y9.5,2

A

圖Y9.5,3

證明3（角平分線、平行公理）

連DM、DN,作ZABC的平分線6P,交AC于夕，如圖Y953所示,因為

/ABC=2NC=2N2,所以N2=/C.

因為。N是RtADC斜邊上的中線，所以/4=/C,所以/2=/4,所以BP//DN.

因為NABC是等腰的外角，所以/ABC=2/3,2/2=2/3,所以/2=/3,

所以BP//MD.可見MD、DN都與平行,所以“、D、N共線.

證明4（Menelaus定理）

在。。上取用，使連A4,如圖丫954所示，貝kAM］是等腰三角形，所以

AB=AB1,ZABB}=ZABXB

圖Y9.5,4

因為NA3C=2/C,所以/A8R=2/C,所以A耳C也是等腰三角形.所以

AB,=因為BM=BD,AN=NC,所以

DC=DB,+B,C=BD+AB=BM+AB=AM所以理.處.空=1

'BMDCNA

由Menelaus定理知M、D、N三點共線.

證明5（解析法）

如圖Y9.5.5所示，建立直角坐標系.

圖Y9.5.5

連。DN,MN.

設A（0,a）,C（c,O）,B（b,O）,則N

作5石，。0,垂足為￡,由三線合一定理知=設2=2,則

NBDM=a,ZABC=2a,因為ZABC=2ZC,所以ZC=a所以

M（20cos%,2bcosasina）.

2bcos2a2/7cosasina1

2bcos2a2bcosasina

1ca_1

所以SMND1ca

222-2

00122

bcosa/.、

------（acosa—csma）

2v7

在RtADC中由正弦定理，——-——=—/——?二二一，所以

sinasin/DACsin（90-a]cosa

acosa=c-sina,所以5腦\，。二°,所以"、N、。三點共線.

[例6]

在—A5c中，E、/分別是AB,AC的中點，延長CE到p，使￡P=EC,延長5方到

。，使廣。=尸3,則尸，4Q共線.

證明1（證明平角）

如圖丫961所示，侔AP,AQ

易證AEP=BEC,^AFQCFB,所以=Z3=ZACB

圖Y961

因為—2+/ABC+—ACB=180,所以/2+/1+N3=180,即—PAQ為平角，所

以尸、4Q共線.

證明2（利用平行公理）

如圖丫9.6.2所示，連AP、AQ.PB、QC.

因為四邊形APfiC和四邊形A3CQ的對角線互相平分，所以"6C和A3CQ都是平行四

邊形，所以AP//3C,AQ//3c.由平行公理知尸、4Q共線.

證明3（中位線定理、乎行截比定理、同一法）

連QA并延長，交CE的延長線于耳，連跖，如圖Y9.6.3所示.

因為跖是A4Q的中位線，所以AQ//E尸，所以A《//Eb.

在-CA《中,由平行截比定理，生=處=1,所以AE=EC.又PE=EC,所以

ECFC

RE=PE,且小P、E共線,小尸在石點同側，所以耳和2重合.

所以P,A、Q共線.

證明4（平行截比逆定理、平行公理）

連PQ、AQ.EF,設CE、BF交于O,如圖P9.6.3所示

因為所是A5C和的中位線，所以*V/5C//AQ,所以..石Ob—,.COB,所

以空=理,所以”

BOCOBFCE

OFOE

因為5/=世，CE=EP,所以==”，由平行截比逆定理，PQI/EF、所以

FQPE

?。//人。.所以。，4。共線.

圖Y9.6.4

證明5（解析法）