（滬教版2020必修一）2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步精講精練-第20講函數(shù)的基本性質(zhì)-最值

第20講函數(shù)的基本性質(zhì)-最值

H最大值、最小值的定義

知識(shí)梳理一

求函數(shù)最值的方法

根據(jù)函數(shù)圖像求最值

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值

題型探究一

對勾函數(shù)、二次函數(shù)最值的討論

J單調(diào)性的應(yīng)用

方法：配方法、分類討論、數(shù)形結(jié)合法

課堂總結(jié)一—在利用單調(diào)性求最值時(shí)，勿忘求函數(shù)的定義域

求含參的二次函數(shù)最值：按對稱軸與區(qū)間位置分類討論

課后作業(yè)

@知識(shí)梳理

1.函數(shù)的最大值

函數(shù).y=/a）在均處的函數(shù)值是兀vo）,如果對于定義域內(nèi)任意給定的X,都成立不等式兀v）g（xo）.那么

./（X0）就叫做函數(shù)y=/（x）的最大值（maximum）.

2.函數(shù)的最小值

函數(shù)>=兀0在的處的函數(shù)值是ZU。）,如果對于定義域內(nèi)任意給定的X，都成立不等式7U）次xo）.那么

凡的就叫做函數(shù)的最小值（minimum）.

xO

?備注:若函數(shù)則M不一定是函數(shù)的最大值（只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)X0,使./Uo）=M時(shí)，M才

是函數(shù)的最大值，否則不是.如兀成立，但3不是兀V）的最大值，0才是它的最大值）

3.求函數(shù)最值的常用方法

（1）圖像法：作出y=#x）的圖像，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大（?。┲?

（2）運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域.

（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性:

①若》=/"）在區(qū)間［小切上是嚴(yán)格增函數(shù)，則），max=您,

②若y=7W在區(qū)間M，切上是嚴(yán)格減函數(shù)，則Vmax=A。）,

ymin-Ab).

（4）分段函數(shù)的最大（?。┲凳侵父鞫紊系淖畲螅ㄐ。┲抵凶畲螅ㄐ。┑哪莻€(gè).

??題型探究

A題型一、根據(jù)圖像求函數(shù)的最值（值域）

--,X6(-OO,0)

［例1］已知函數(shù)段）=.

X2[0,4-00)

（1）畫出函數(shù)的圖像并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）根據(jù)函數(shù)的圖像求出函數(shù)的最小值.

【答案】（1）圖像見解析的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,0）和［0,4-00）,無遞減區(qū)間.

（2）函數(shù)的最小值為寅0）=-1.

【解析】（1）函數(shù)的圖像如圖所示.

由圖像可知外）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,0）和［0,+8）,無遞減區(qū)間.

（2）由函數(shù)圖像可知，函數(shù)的最小值為/0）=-1.

i【例2】求函數(shù)y=|x+l|一值-2|的最大值和最小值.

【答案】最大值3,最小值-3.

—3,xW—1,

【解析】y=|x+l|一|x—2|=卜九一1,一1</<2,作出函數(shù)的圖像，由圖可知，丁￡［-3,3］.

3,x>2.

所以函數(shù)的最大值為3,最小值為一3.

戶總結(jié):圖像法求最值的一般步驟

作）~?作出函數(shù)圖象

~~“在圖象上找到象高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)）

--［確定函數(shù)的最大（?。┲?/p>

Z_

舉一反二

1.函數(shù)7U）在［一2,2］上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值為，最大值為

【答案】-12

【解析】由圖可知，圖像最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一1,圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,所以函數(shù)的最大值為2,最小

值為-1.

2.函數(shù)段）在區(qū)間［-2,5］上的圖像，如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）

A.-2,Q)B.2,貝2)

C.-2,?D.2,加)

【答案】C

【解析】由函數(shù)的圖像知，當(dāng)x=-2時(shí)，有最小值一2：當(dāng)x=5時(shí)，有最大值/5）.故選C.

3.已知函數(shù)危尸后，、>2求函數(shù)於）的最大值和最小值.

X2-X,0<X<2

【答案】/（x）的最大值為2,最小值為一去

【解析】作出_/（x）的圖像如圖.由圖像可知，當(dāng)x=2時(shí)，H幻取最大值為2；

當(dāng)x=T時(shí)，*x）取最小值為一；.

所以/（X）的最大值為2,最小值為一作

*題型二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值（值域）

國【例3】（1）函數(shù)段）=M，刃，則火x）的最大值為

【答案】3

【解析】方法一、根據(jù)圖像（圖略）可知，/U）max=3.

方法二、當(dāng)-1SE(VW=M=-X在區(qū)間［-1,0］上是嚴(yán)格減函數(shù)，./U)max=K-l)=l；

當(dāng)()OW3<x)=k|=x在區(qū)間(0,3］上是嚴(yán)格增函數(shù)，Kr)max=A3)=3；綜上，函數(shù)人處的最大值為3.

(2)函數(shù)y=占在［2,3］上的最大值為.

【答案】1

【解析】?.，=占在［2,3］上是嚴(yán)格減函數(shù)，二)，?m=/(2)=1.

(3)函數(shù)y=2?+2,xER的最小值是.

【答案】2

【解析】函數(shù)丫=2^+222,僅當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值2.

XQ

,總結(jié)：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的關(guān)注點(diǎn)

(1)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上單調(diào)遞增，則加x)的最大值為人力，最小值為4a).

(2)若函數(shù))，=%)在區(qū)間［a,切上單調(diào)遞減，則貝x)的最大值為人。)，最小值為火刀.

(3)若函數(shù)y=/(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值.函

數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值.

(4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚]區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展

趨勢.

［注意］求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最值.

拓展延伸

1.(對勾函數(shù))函數(shù)/(x)=ar+2(a>0,b>0)的圖像與性質(zhì)

f^x)-ax+-(a>0力>0)具有如下基本性質(zhì)：

(D7U)為奇函數(shù);

（2）府）在（0,J］上單調(diào)遞減，在［干,+8）上單調(diào)遞增，在（0,+oo）上有最小值2VHF；

“T）在［-日,0）上單調(diào)遞減，在（-8,-gj上單調(diào)遞增，在（-8,0）上有最大值-2??；

\a\a

（3）在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖像向上與y軸無限接近、向右與直線y=ax無限接近;

在第三象限內(nèi)，函數(shù)圖像向下與y軸無限接近，向左與直線），="無限接近.該函數(shù)的圖像如圖所示:

該函數(shù)的單調(diào)性可以使用單調(diào)性的定義加以證明（此處略），在（0,+8）上的最小值可以由基本不等式得出，在

（心,0）上有最大值可由函數(shù)是奇函數(shù)得出.

【例4】已知函數(shù)/（x）=x+L,求九0在口,4］上的最大值及最小值.

X

【答案】最大值是口，最小值是2.

4

【解析】由對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可知,/U）在口4］上單調(diào)遞增,

，當(dāng)x=l時(shí)，丸x）取得最小值,最小值為11）=2,

當(dāng)x=4時(shí)，/U）取得最大值，最大值為7（4）=12.

4

綜上所述，/U）在［1,4］上的最大值是12,最小值是2.

4

2.分類討論求二次函數(shù)的最值

Wl【例5】求兀0=?-2“x—1在區(qū)間［0,2］上的最大值M（“）和最小值雙4）.

【答案】見解析

【解析】

f(x)—(x—a)2—1—?2.對稱軸為x=a.

(1)當(dāng)a<0時(shí),由圖①可知,貝x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增,

所以/尤貓汨=/(0)=—1，_/(X)max=犬2)=3—4".

⑵當(dāng)gg時(shí)，由圖②可知，對稱軸在區(qū)間［0,2］內(nèi)，

所以_/Wmin=/3)=—1一次，/(x)max=/(2)=3—4".

(3)當(dāng)1〈好2時(shí)，由圖③可知，對稱軸在區(qū)間［0,2］內(nèi)，

所以|x)min=人。)=一1一42,y(x)max=寅0)=—1.

⑷當(dāng)〃>2時(shí)，由圖④可知，火x)在［0,2］上單調(diào)遞減，

所以/(x)min=y(2)=3—4a,./U)max=y(0)=-1.

—\,a<0,

f3—4a,a<1,,

綜上，M(a)=<m(a)=<-l-a',0<a<2,

—l,a>1,

3-4a,a>2.

［提示］(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.

(2)利用二次函數(shù)圖象，進(jìn)行分類討論.

■題型三、單調(diào)性的應(yīng)用

WI【例6】(1)(由最值求參數(shù))(2021.浙江湖州中學(xué)高一月考)若函數(shù)在區(qū)間［0』上的

最大值為3,則實(shí)數(shù)〃?=()

A.3B.-C.2D.之或3

22

【答案】B

【解析】函數(shù)/(力=三等，即〃X)=2+分，xe[O,l],

當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=2不成立；

當(dāng)m-2>0,即機(jī)>2時(shí)，〃x)在[0』遞減，可得“0)為最大值，

即〃0)=牛=(，解得根=：成立；

當(dāng)〃L2<0,即相<2時(shí)，/(X)在[0,1]遞增，可得”1)為最大值，

即f(l)=￥=|，解得m=3不成立；

綜上可得〃?=|.

故選：B.

(2)(恒成立問題)(2021?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二月考)已知函數(shù)

"X<，若關(guān)于X的不等式/(xRr恒成立，則。的取值范圍是()

\n[x+a+i),x>\

A.—2,7B.—2,6C.[—2,8)D.[—2,6]

【答案】A

【解析】由題知，aeR,函數(shù)“無=-I\?,

ln(x4-tz+l),x>l

當(dāng)xKl時(shí)，由/(x)N-x得，x~+(l—d)x+4>—x,x~+(2—a)x+420.

令g（K）=x2+（2-〃）_r+4,X<1,A=（2-?）2-4xlx4=a2-4?-l2.

當(dāng)/一4〃一12WO,即一24。06時(shí)，g(x)NO對xeR恒成立；

當(dāng)cr-4?-12>0,即〃<一2或a>6時(shí)，要使得g(x)=V+(2-〃)工+4之。對%41恒成立，

2-a1

------>1

則彳2'解得4<。<7,所以6va47.

g(l)=7-a>0

綜上可得，-2<a<7.

當(dāng)x>l時(shí)，由—尢得，ln(x+a+l)N-x,ln(x+a+l)+xN0.

令/z(x)=ln(x+a+l)+x,x>\,

因?yàn)椤?%)在(1，+8)上單調(diào)遞增，要使得同力之0恒成立,只需力⑴20,

即ln(a+2)+120,^a>--2,所以a2，-2.

ee

-2<tz<7,

由’1c解得二24aV7.

a>——2e

.e

故選：A.

(3)(方程有解)(2021?上海上外浦東附中)己知函數(shù)/(x)=x+g+a,若對任意實(shí)數(shù)。，關(guān)于x的不等

式/(x)Nw在區(qū)間3上總有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為.

【答案】j2

【解析】函數(shù)y=x+°在區(qū)間：,3上的圖象如下圖所示：

X2

根據(jù)題意，對任意實(shí)數(shù)。，關(guān)于*的不等式/(刈士加在區(qū)間1,3上總有解，

只要找到其中一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得/(力=x+g+a的最大值最小即可，

如圖，函數(shù)y=x+：向下平移到一定的程度時(shí)，函數(shù)/(x)的最大值最小，

此時(shí)只有當(dāng)〃1)=〃3)時(shí)，才能保證函數(shù)“X)的最大值最小，

設(shè)函數(shù)y=x+，的圖象向下平移了f個(gè)單位，其中f>0,則與T=-(2T),解得一,

XJJ

inQ77

此時(shí)函數(shù)

因此，實(shí)數(shù)加的最大值為：2.

2

故答案為：

“【例7】(2020?上海師大附中高一期末)已知〃工)=立竽衛(wèi),xe[l,+oo).

(1)當(dāng)“時(shí)，用定義證明函數(shù)y=〃x)的單調(diào)性，并求函數(shù)y=/(x)的最小值；

(2)如對任意xe[l,E),/(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7

【答案】(1)證明見解析，f(x)最小值為5；⑵(-3,內(nèi)).

2c1

(1)當(dāng)〃=’時(shí),X+2,XH—

【解析】G[1,4-00)

2-----------------,X

X

任取X2>x,Zl,則有:

，5)-/(西)=卜+止+2)

'：x>x>\,Xj-X]>0,1--^—>0,A(x-x1)1-1

2l2>0,即/(蒼)>/(%,),

^X\X2I2g,

??7=/(外在[1,+?))上單調(diào)遞增.

"Onm⑴、7，即F(x)最小值為三7

(2),任意xe[l,4w),/(x)>0恒成立，可化為:丁+2》+4>0恒成立,

2

即a>-(x+2x)(x21)恒成立，只需a>-(/+2x]nm

記》=-(/+2x)(xZl)

貝ljy=-(x2+2x)在*以上單調(diào)遞減

**?)嬴=-3

*,?ci>—3

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-3,y).

【點(diǎn)晴】

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有：(1)定義法；(2)圖像法；(3)四則運(yùn)算法；(4)復(fù)合函數(shù)法；(5)

導(dǎo)數(shù)法；此題也可以利用對勾函數(shù)的圖像解決;

(2)/(%)>a恒成立等價(jià)于>a.

z舉一反二_

2

1.(2019?廣西高二學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)f(x)=T(xe[2,6]),則於)的最大值為().

X—1

A.-B.4C.1D.2

32

【答案】D

77

【解析】因?yàn)槭琖在(0,+8)上單減，所以y=—；在(1,+8)上單減，

xx—\

9

即丫=-7在[2,6]上單減,

X—1

所以_/U)的最大值為〃2)=三=2.

2—1

故選：D

4r1

2.(2021?上海高一期末)函數(shù)/(x)=x+—,XG-,4的值域?yàn)開_________.

X[_2_

「171

【答案】43

【解析】由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：/(x)=x+：在2)上單調(diào)遞減，在(2,4]上單調(diào)遞減，

所以"力."(2)=4，

又〃同.=11m“(￡|,〃4)},且/(g)=；+8=?，/(4)=4+1=5,

17

所以〃耳皿=萬，

所以/(X)的值域?yàn)榈?

17

故答案為：4-.

3.（2020?上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)》=1》-2|+|3》+1］的最小值為.

7

【答案】y

【解析】

當(dāng)時(shí)，y=2-x-3x-l=-4x+l,

則yN-4x（_；）+l=g,

當(dāng)時(shí)，y=2-x+3x+l=2x+3,

7

則彳<y<7

當(dāng)x22時(shí)，y=x—2+3x+\=4x—1>7,

7

???丁的最小值是:.

7

故答案為：y.

4.（2021.上海市大同中學(xué)高一期末）函數(shù)y=|x-l|+W，x?a,2］的最大值為3,則〃的取值范圍為

【答案】卜1,2）

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，y=l-x-x=l-2x；當(dāng)時(shí)，y=l-x+x=l；

當(dāng)Ivx時(shí)，y=x-\+x=2x-\■

所以函數(shù)式可化為

1-2x,x<0

y=<1,0<X<1

2x-l,x>0

函數(shù)圖象如圖所示:

因?yàn)閄￡[Q,2]時(shí)最大值為3,又當(dāng)％=-1時(shí)，y=3,當(dāng)x=2時(shí)，y=3；

由圖知,e[—1,2)

故答案為：卜1,2)

5.(2020.上海高一課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的最大值和最小值：

(1)y=x—1+Jx+3；

2

(2)y=x+—,XG[1,4]；

x

4

(3)y=x一一,xe[2,8]；

x

(4)y=2x-l+1,xe|1.

2x+lI2)

r-915

【答案】(1)治--4,無最大值；(2)y^n-2V2,ymax=-；(3)ymin=0,ymax=—；(4)yinax=-4,

無最小值

【解析】對于(1)y=尤-1+Jx+3,當(dāng)xN-3時(shí)成立，令/=Jx+3,Q20),tiLx=t2-3?

I17

y=/_4+f=(f+5)2_1,故當(dāng)f=0時(shí)，ymjn=-4,無最大值.

9

對于(2)y=x+-,xe[l,4];該函數(shù)為對勾函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)在(0,四)上單調(diào)遞減，在(a,+<?)上單

X

調(diào)遞增，故當(dāng)-應(yīng)時(shí)，％_=2血，當(dāng)x=4時(shí)，ymax=|；

對于(3)j=x--,xe[2,8],整理為y=x+(-±),明顯地，這是兩個(gè)增函數(shù)相加，所以，對于y=x,，

XXX

在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x=2時(shí)，斗而=0，當(dāng)X=8時(shí)，ynm=^-

對于(4)y=2x-l+1,.re[-co,--|,因?yàn)?x+l<0,所以，令t=2x+l,”<0),則2x=f-l,故可

2x+i(2J

化簡為：y=t+；-2=-(T)+(-；)-2,明顯地，T〉0,當(dāng)r=-l時(shí)，即x=-l時(shí)，y,MK=-2-2=-4,該

函數(shù)在(-<?,-；)時(shí)無最小值.

6.(2021?上海高一期末)已知函數(shù)y=/+2"(xe[0,l])的最小值為-2,則實(shí)數(shù)斫.

3

【答案】

2

【解析】

y=f(x)=x2+2ax=(x+a)2-a2,所以該二次函數(shù)的對稱軸為：x=-a,

當(dāng)IV—。時(shí)，BPa<-l,函數(shù)/(》)=r+2"在xe[0,l]時(shí)單調(diào)遞減，

3

因此,(x)mM=AD=l+2a=_2=a=_5,顯然符合a4-1；

2

當(dāng)時(shí)，即一1<“<0時(shí)，/(x)inin=-a=-2=>a=±>/2,顯然不符合一l<a<0：

當(dāng)-aVO時(shí),即aNO時(shí),函數(shù)f(x)=—+2”在xw[0,l]時(shí)單調(diào)遞增,

3

因此人**?=/(0)=0=-2,不符合題意，綜上所述：a=-p

3

故答案為：-Q

7.(2020年上海高一課時(shí)練習(xí))設(shè)aeR,若x>0時(shí)，均有[(a-l)x—1](￡-ar-l)20成立，則實(shí)數(shù)。的取

值集合為.

【答案】｛1｝

【解析】若aWl,vx>0,則（。一1）冗一IvO,由于y=V-以一1的圖象開口向.匕

則［〃—l）x—1］（%2一"一1）20不恒成立,

由（。一1）“一1=0可解得而方程X2-QC_1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào),

Cl—1

'=￡必定是方程必

-ax-1=0的一個(gè)正根,

貝［六J（六）一1=0，Qa>l'則可解得a=］，

故實(shí)數(shù)。的取值集合為｛：｝?

故答案為：｛1｝.

8.（2020?上海高一期末）已知關(guān)于x的不等式奴-4<0在［1,2］上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】a<2.

【解析】關(guān)于x的不等式ax-4M0在［1,2］上恒成立，等價(jià)于不等式a4之4在［1,2］上恒成立，

x

4

令y=2,即44在"2］上恒成立，

x

4

利用反比例函數(shù)性質(zhì)知為、而=萬=2,aV2.

故答案為：a<2.

9.（2020?上海交大附中高一開學(xué)考試）已知二次函數(shù)丫=/+2以+1.

（1）求該二次函數(shù)的定義域、值域、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)（用a表示，定義域、值域?yàn)榧希?/p>

（2）若當(dāng)xe［-l,2］時(shí)，y的最大值為4,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】（I）定義域?yàn)镽,值域?yàn)?-/,+<?）,對稱軸為x=-a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a1-/）；（2）—1或

【解析】（1）y=+2ar+l=（x+a），-a。+i,

由二次函數(shù)性質(zhì)可得：定義域?yàn)榉仓涤驗(yàn)榭?/,+8）,對稱軸為x=-a,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值必在x=-l或x=2處取得，

當(dāng)％=-1時(shí)，y=2-2a=4,解得。=一1,

此時(shí)在x=2處的函數(shù)值為1,滿足題意；

當(dāng)％=2時(shí)，y=5+4〃=4,解得。=」，

4

此時(shí)在x=-1處的函數(shù)值為：，滿足題意；

2

故實(shí)數(shù)。的值為-1或

4

10.（2020.廣東華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中高一期中）已知函數(shù)=,且/⑴=|.

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1,2）上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）求函數(shù)/"）在［0,3］上的最值.

7

【答案】（1）1:（2）函數(shù)f（x）在（-1,2）上單調(diào)遞增；證明見解析；（3）最大值為:，最小值為1.

【解析】（I）因?yàn)椤ㄈ?生孑，且/⑴=|，所以41）=管=］故。=1；

人fI141I1乙

(2)函數(shù)/'(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增

證明：由⑴知，(x)=矍:生*=2-擊

設(shè)一1<玉<X2<2,

則/u)-/5)=2-

=---1-1---1

芭+1x2+1

=％一々

(x,+l)(x2+l)

因?yàn)檎?1>0?2+1>0,占-々<0,所以"%)-/(9)<0,E|]/(XI)</(X2),因此函數(shù)〃X)在(-1,2)上單

調(diào)遞增；

2x+l_2(x+l)-l

⑶由(1)知〃力=

x+1x+1x+1

設(shè)0v石</<3,

則小)一小)=(2一旬一卜舟

=---1-1---1

X,+1x2+1

二九「,

(X,+1)(JC2+1)

因?yàn)檎?1>0,*2+1>0,±-W<0，所以/(X|)-/(W)<0，即〃X1)</(W)，因此函數(shù)/(x)在［0,3］上單調(diào)

遞增；所以〃x)a=〃3)=5苧=(，/(x)min=/(O)=^21!=b所以函數(shù)/(力在［0,3］上的最大值

為:，最小值為1.

4

課堂總結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)函數(shù)的最大值、最小值定義.

(2)求解函數(shù)最值的方法.

2.方法歸納：配方法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.

3.常見誤區(qū)：

(1)在利用單調(diào)性求最值時(shí)，勿忘求函數(shù)的定義域.

(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)的最值時(shí)不要忘記按對稱軸與區(qū)間的位置分類討論.

y課后作業(yè)

1.(2020?上海華師大二附中)已知/(x)在句的最大值為M,最小值為m,給出下列五個(gè)命題：()

①若對任何x句都有pW/(x),則P的取值范圍是(—,〃?].

②若對任何x句都有P4/(x),則P的取值范圍是(7,.

③若關(guān)于x的方程P=在區(qū)間,，國有解，則P的取值范圍是[m,M].

④若關(guān)于x的不等式P<f(x)在區(qū)間句有解，則P的取值范圍是(3,問.

⑤若關(guān)于x的不等式在區(qū)間句有解，則P的取值范圍是

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】對任何b]都有pV.f(x),說明p小于等于/*)的最小值，①是正確的;

由于①正確，所以②是一個(gè)錯(cuò)誤的理解，故不正確;

關(guān)于X的方程pRU）在區(qū)間團(tuán)，回上有解，說明?應(yīng)屬于函數(shù);U）在⑷句上的值域m，也內(nèi)，故③是正

確的；

關(guān)于x的不等式Pg（x）在區(qū)間［。，句上有解，說明p小于或等于的最大值，所以④是錯(cuò)誤的，而⑤是正確

的

正確的選項(xiàng)應(yīng)該為①③⑤

故選：B.

2.（2021.上海高一期末）已知函數(shù)/上，xe［l,2］,則此函數(shù)的值域是一.

X

【答案】［1,2］

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=K在區(qū)間口,2］上為增函數(shù)，當(dāng)XW1,2時(shí)，4<-<y,Hpi<-<2.

x2x1x

因此，函數(shù)y=\,xw［l,2］的值域?yàn)椋?,2］.

故答案為：［1,2］.

3.（2019.上海市進(jìn)才中學(xué)高一月考）函數(shù)y=471-五的最大值為.

【答案】1

x+l>0

【解析】由可得xNO,

x>0

因?yàn)閥=GTT+?在［0,M）單調(diào)遞增,

所以'=焉+&

在［（）,物）單調(diào)遞減,

所以、二°時(shí)尸—耳

最大為1,

故函數(shù)y=的最大值為1,

故答案為：1

Y4-a

4.(2019?上海市金山中學(xué)高一月考)函數(shù)y=串,xe[2,4]的最大值為___________

X—1

【答案】5

【解析】化簡函數(shù)〉=二=二=+々=1+上7在[2,4]上遞減，所以當(dāng)x=2時(shí)，最大值為5.

x-lX~\x-lX-[LJ

故答案為：5

5.(2020.上海曹楊二中高一期中)設(shè)xeR,貝！J〃x)=kT+|2xT+…+設(shè)xT+|10x—l|取到]最小值時(shí),x=

【答案】；

【解析】解：因?yàn)椤▁)=kT+|2x-l|+…+|9x-U+|10x—l|

當(dāng)xNl時(shí)，〃x)=x-l+2x-l+…+10x-l=55x-10,所以當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取值最小值45；

當(dāng)三、時(shí)，〃x)=—(x-l)—(2x—1)——(lOx-1)-55x+10,所以當(dāng)x='時(shí)函數(shù)取得最小值4.5；

當(dāng)‘4x4，”=1,2,…9)時(shí)，

九十1n

f(X)=-(%-+-MV)+[(〃+1)X-1]+…+(10%-1)

=2〃—10+[1+2+.??+〃—(〃+1)一???—10Jx

=2〃-10+[55-〃(〃+1)卜

=2/?-10+(-n2-n+55)x

當(dāng)〃W6時(shí)-iv一〃+55>0

因?yàn)橐弧?）,所以當(dāng)時(shí)，>隨x增加而變大；

n+\n7

當(dāng)“N7時(shí)，一/一〃+55<0,

因?yàn)橐?4'4乂〃=1,2,…9）,所以當(dāng)x<!時(shí)，>隨x增加而變小；

n+l'7

177

所以當(dāng)X=^■時(shí)，“X）有最小值日

故答案為：;

6.（2020?上海復(fù)旦附中高一期中）若函數(shù)>=?3+33-1）/一6蒼方仁［0,1］的最大值為0,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

【答案】（-8，.

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y=0,此時(shí)恒成立；

當(dāng)xe（/。I葉寸，要使尸加,+3（小*06x4。恒成立，通過分離參數(shù)。，化簡可得人3』（x+2）恒成立,令

/、3(x4-2).

g(、卜E'貝

￡晨）二3（』+2）_3_______3______

變形得履尸爐+3廠4+3）一屋+2）—2-1,則g（x）在（0』時(shí)單減，gC<L=g（l）=（，則〃琥

TTFI）尤+2

故答案為：J30，；

7.（2021?上海高三二模）己知函數(shù)/a）=3、+3最小值為。，則。=____________.

3+13

【答案】與

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/。）=3、+3有最小值，所以a>0,

3"+1

因?yàn)?、+1>1,

所以/(無)=3*+號(hào)=3'+1+號(hào)一IWZ^ZlJx^-lnZG-l，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3'+島最小值為。，

3+13

所以2&-l=g,解得〃=為，當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)取等號(hào)，滿足題意，

故答案為：~.

8.(2022.全國高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=J=+Jf-6x+10的值域?yàn)?

【答案】［3,內(nèi))

【解析】由已知得12_6》+10>0，解得x42,所以〃x)的定義域?yàn)閧巾42},

且x42時(shí)y=^/^二與y=Jx2-6x+10都是減函數(shù)，所以在(90上是減函數(shù)，〃x)N/(2)=夜，

所以f(x)的值域?yàn)椋垡?4-ooj.

故答案為：［應(yīng)

——2xY</7

9.(2021?上海高一期末)已知函數(shù),f(x)=.一，若存在實(shí)數(shù)次,使得對于任意的實(shí)數(shù)x都有

-x+2x>a

f(x)4八/)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】a>l

【解析】分別作出y=—--2x、y=-x+2的圖象中下圖所示，由圖可以看出當(dāng)時(shí)，/5)有確定的最大

值/(-1)=1,所以這時(shí)存在%,使得對于任意X都有于(%).

故答案為：a>l.

10.(2020?上海市行知中學(xué)高一月考)若存在實(shí)數(shù)aeR,使得不等式x|x-a|-b<0對任意xe［0,2］都成立,

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

【答案】Y02-8夜,+8)

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，。>0恒成立

當(dāng)0cx<2時(shí)，由x|x-6r|-/?<0<a<x-\--

XX

令人在上單調(diào)遞增，

(x)=x-§,h[x)(0,2]a>//(x)max=g(2)=2—g

令g(X)=X+§,g(x)在(0,指)上單調(diào)遞減，在(屈+句上單調(diào)遞增

所以當(dāng)6>4時(shí)，g(x)在(0,2］上單調(diào)遞減，〃<g(x)mM=g(2)=2+g,

此時(shí)2-然2+名成立，滿足題意

22

當(dāng)0<b?4時(shí)，g(x)在(0,甸上單調(diào)遞減，在［技2］上單調(diào)遞增

a<g(x)mi?=g(揚(yáng))=2礪,此時(shí)有2-1<14b,

解得12-8>/2<i<4

綜上：^€(12-872,+00)

故答案為：此(12-8夜,+oo)

11.(2020?上海市控江中學(xué)高一期中)設(shè)aeR,若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式a-|x+l|>0成立，則”的取值

范圍.

【答案】(。,+8)

【解析】不等式4一卜+1|>0變形為a>|x+l|,又|x+l|的最小值是0,

所以a>0.

故答案為：(。，一).

12.(2021?上海高一)已知g(x)=(g)*-m，若對VX|G[T,3],3X2e[0,2],/(8)三8(七)，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】<，住)

4

【解析】因?yàn)閷鈥[-1,3],切G[0,2],/a)Ng(x2),

所以只需f(x)-Ng。)向即可，

因?yàn)?(幻=*2，g(x)=(3)"-”?,

所以/(幻而廣/⑼二。，=g(2)=^-m,

由0之,一加,

4

解得m>^~

4

故答案為：曰，+^).

4

13.(2019?全國)求下列函數(shù)的最值:

(1)函數(shù)/(X)=x-2,xG{0』,2,4}的最大值為；

3

(2)函數(shù)/(無尸；工在區(qū)間［1,5］上的最大值為____________,最小值為_____________；

2x-l

L,x>1

(3)函數(shù)f(x)=,x的最大值為：

—%2+2,x<1

(4)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x,xe［2,4］,則/(x)的最大值為.

【答案】23128.

【解析】(1)由于/(x)=x-2在/?上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)xe{0,l,2,4}時(shí)，fmm(x)=f(4)=2

⑵設(shè)則小)一/("0丁首二幻或不,

由于14%<々<5,所以-±>0,J1(2XI-1)(2X2-1)>0,

所以f。)一〃％)>0,即〃3)>/(%)，

所以函數(shù)/⑴在區(qū)間［1,5］上單調(diào)遞減，則盤*幻=/⑴=1,篇。)=/(5)=；

(3)當(dāng)xNl時(shí)，/(%)=-<1,當(dāng)x=l時(shí)，取等號(hào)；

X

當(dāng)x<l時(shí)，f(x)=-x2+2<2,當(dāng)x=0時(shí)，取等號(hào)，

所以/(x)的最大值為2

(4)配方可得/(x)=/-2x=(x-l)2-1,

???二次函數(shù)所對應(yīng)的拋物線開口向上，對稱軸為x=l，

???函數(shù)在xw［2,4］上單調(diào)遞增,即盤1a)=在4)=8；

所以f(x)的最大值為8

14.(2019?莆田第十五中學(xué)高一期中)一次函數(shù)/。)=依+匕，(&K0),xeR

(1)若/(-D=l,川)=5,求f(x).

(2)若6=3,且函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為6,求左的值.

(3)若一次函數(shù)Ax)滿足〃/(x))=4x—1,求〃x).

【答案】(1)f(x)=2x+3(2)Z=-3或％=1(3)〃x)=2x-g或/(x)=-2x+l.

—k+b=l

【解析】(1)若=欠)=5,則'所以％=

k+b=52,0=3

(2)'：h=3,：.f(x)=kx+3,

當(dāng)％=0時(shí)，fM=3,不符合題意;

當(dāng)％>0,函數(shù)/⑶在區(qū)間［-1,3］上為增函數(shù)，.?./(3)=6,35+3=6,得％=1；

當(dāng)％<0,函數(shù)Ax)在區(qū)間［―1,3］上為減函數(shù)，.?./(-1)=6,-*+3=6,得上=—3.

所以上=-3或％=1.

(3)???/(X)是一次函數(shù)，...設(shè)/(x)=av+6(aw0),

則f(/(x))=/(以+份="(or+6)+力="/++〃，

a=2

二4a=-2

V/(/?)=4x-l,解得,1或

b=一一b=1

3

/(x)=2x-g或/(x)=-2x+l.

1=g,+?)上的奇函數(shù)，當(dāng)1

15.(2019?上海曹楊二中高一月考)函數(shù)y=/(x)是定義在—00,-------

22

f(x)=2x-x2.

(1)求當(dāng)g時(shí)，f(x)的解析式：

(2)若函數(shù)83=/9口，求g(x)的值域.

【答案】⑴〃x)=2x+x2,xV-g；(2)(-8彳.

【解析】(1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)閤zg時(shí)，f(x)=2x-x2,

所以/(-x)=-2x-(-x)=—2.x—x2,

乂函數(shù)"〃”是定義在18,-!U；,+8)卜一的奇函數(shù)，

所以/(-力=-/(力=-2》-/，則/(x)=2x+x。，

即當(dāng)時(shí)，/(x)=2x+x2；

(2)當(dāng)尢之；時(shí)、/(x)=2x-x2,

IM(\/(兀)-12x—x2—11I1-

貝Ug(x)=————=--------=2、-x——<29-20./X--=0n,

xxxVx

當(dāng)且僅當(dāng)x=L,即x=l時(shí)，取得最大值0,無最小值；

X

當(dāng)*4—工時(shí)，g(x)=小卜[=2%+廠―1_2+」在&工上顯然單調(diào)遞增,因此

2xxx2

g(x)4g(_￡|=2_；+2=g,

綜上，g(x)的值域?yàn)?8,(.

16.(2021?江西高二期末文)已知函數(shù)/。)=，皿2-2〃a+〃(〃?>0)在區(qū)間；,3上有最大值3和最小值-1.

(1)求實(shí)數(shù)加，n的值；

(2)設(shè)〃(x)=皿，若不等式在xw[-l,0)上恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

f/n=1

【答案】(1)｛八；(2)k<-9.

〃二0

【解析】(1)；/(0=的2-2mx+〃的對稱軸是工=1,又加>0,

.../(x)在1,1上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增，

...當(dāng)x=l時(shí)，/*)取最小值—1,當(dāng)x=3時(shí)，/(x)取最大值3,

fm-n=\{m=\

,aV解得n-

(2)山(1)知：//(x)=^—~~-=x—2,

x

：.h(y)-k-5x=y-2-k-5s>0,即(1-4)5-220,

22

：.k<\~,令g(x)=l_W，則g(x)在［-1,0)上是增函數(shù).

55

???g(x)*=g(T)=-9,要使〃(5*)-％5'20在xe［—1,0)上恒成立，只需44—9.

17.(2021.上海高一期末)設(shè)。是正常數(shù)，函數(shù)/。)=噫(五幣+同滿足/(-1)+/(1)=0.

(1)求”的值，并判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性；

(2)是否存在一個(gè)正整數(shù)M,使得加>/。)對于任意恒成立？若存在，求出M的最小值，若

不存在，請說明理由.

【答案】(1)。=1,奇函數(shù)：(2)存在，Mmin=2.

【解析】解：(I)由/(-1)+/XD=。，得log?+log?(V^+a)