2025屆華東師大三附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次檢測試卷附答案解析

屆華東師大三附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次檢測試卷時間:120分鐘滿分:150分填空題:（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.設(shè)集合則=_________2.已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為_____________.（用集合或區(qū)間表示）3.已知集合，若，則__________．4.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的值是______．5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)取值范圍是______．6.若，則的值為__________.7.正實數(shù)a、b，若a與b幾何平均值為2，那么a與4b的算術(shù)平均值的最小值為________．8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則______.9.寫出使得函數(shù)的值域為的一個定義域_________．10.已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是____________.11.設(shè)，若時，均有成立，則實數(shù)的取值集合為_____12.已知方程有四個不同的實數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為__________．二、選擇題：（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.14.已知，使成立一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.15.已知三次函數(shù)的圖象如圖，則不正確的是（）A.B.C.解集為D.若，則16.已知集合，對于集合中的任意元素和，記.若集合，，均滿足，則中元素個數(shù)最多為（）A.10 B.11 C.1023 D.1024三、解答題:（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知，為第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．18.已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在上嚴格增；（2）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式的解集.19.問題：正實數(shù)a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學(xué)習上述解法并解決下列問題：（1）若正實數(shù)x，y滿足，求的最小值；（2）若實數(shù)a，b，x，y滿足，求證：；（3）求代數(shù)式最小值，并求出使得M最小的m的值.20.已知，函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求實數(shù)的取值范圍.21.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點.（3）當時，設(shè)點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）2025屆華東師大三附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次檢測試卷時間:120分鐘滿分:150分一、填空題:（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.設(shè)集合則=_________【答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】集合則.故答案為：2.已知關(guān)于的二次不等式的解集為，則不等式的解集為_____________.（用集合或區(qū)間表示）【答案】或【分析】由題意可知的兩根分別為從而可得，代入求解即可.【詳解】解：由題意可知的兩根分別為，由韋達定理可得，所以不等式即為，即，解得或.所以原不等式的解集為：或.故答案為：或3.已知集合，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合集合的互異性分析求解.【詳解】因為，且，則或，解得.故答案為：.4.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的值是______．【答案】2【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出的值，再通過的圖象關(guān)于軸對稱來確定的值.【詳解】由為冪函數(shù)，則，解得，或，當時，，其圖象關(guān)于軸對稱，當時，，其圖象關(guān)于對稱，因此，故答案為：2.5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出對稱軸與的關(guān)系即可求解.【詳解】因為函數(shù)的對稱軸為，圖象開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：.6.若，則的值為__________.【答案】【分析】弦化切，代入即可.【詳解】故答案：7.正實數(shù)a、b，若a與b的幾何平均值為2，那么a與4b的算術(shù)平均值的最小值為________．【答案】4【分析】根據(jù)幾何平均數(shù)求出，再利用基本不等式“積定，和最小”求解．【詳解】因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，故答案為：4．8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則______.【答案】【分析】由題意可得且，直接計算即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以.故答案為：9.寫出使得函數(shù)的值域為的一個定義域_________．【答案】（答案不唯一）【分析】求出當和2時所對應(yīng)值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由得，即，得，由得，即或，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可舉例定義域為.故答案為：.10.已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是____________.【答案】【分析】求定義域，求導(dǎo)，依題得到在區(qū)間上有兩個不相等的實根，由根的判別式和韋達定理得到不等式組，求得，化簡并計算得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，即可推得所求式的范圍.【詳解】由，可得由題意得方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，故Δ=4?8a>0x1又.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故答案為：.11.設(shè)，若時，均有成立，則實數(shù)的取值集合為_____【答案】【分析】可得時，不等式不恒成立，當，必定是方程的一個正根，由此可求出.【詳解】當時，，則，由于的圖象開口向上，則不恒成立，當時，由可解得，而方程有兩個不相等的實數(shù)根且異號，所以，必定是方程的一個正根，則，，則可解得，故實數(shù)的取值集合為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是先判斷，再得出當，必定是方程的一個正根.12.已知方程有四個不同的實數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】方法一可以化為．令，易得?x為偶函數(shù)，所以只需考慮時，有兩個零點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．若，則．令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，列出不等式組即可．方法二：由，得．令，易得均為奇函數(shù)，所以只需考慮時，與的圖象有兩個交點且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，根據(jù)直線過特殊點時的值即可得到的取值范圍．方法三：．令，作圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【詳解】方法一．令，則．所以?x為偶函數(shù)．所以只需考慮時，有兩個零點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可．當時，令，得．令，則．當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，0，所以上單調(diào)遞減．因為在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，即．所以的取值范圍為．方法二：．令，則，所以為奇函數(shù)．因為也是奇函數(shù)，所以只需考慮時，與的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．易知，當x∈0,1時，，所以在0,1上單調(diào)遞增；當x∈1,+∞時，，所以在1,+∞當直線過點時，；當直線過點時，．因為與?x的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，所以的取值范圍為．方法三：由，得．令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以只需考慮時，?x與φx的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一整數(shù)．如圖，作的部分圖象，根據(jù)圖象易得，所以解得，所以取值范圍為．故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．（3）將函數(shù)的化為的形式，將函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為y=fx與y=gx圖象交點的個數(shù)問題.二、選擇題：（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B14.已知，使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】對于A，，A不是；對于B，當時，由，得，B不是；對于C，，可能有，如，C不是；對于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D15.已知三次函數(shù)的圖象如圖，則不正確的是（）A.B.C.的解集為D.若，則【答案】D【分析】由圖象初步確定三次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式分析函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】因為函數(shù)為三次函數(shù)，可設(shè)，.由圖可知：；.所以設(shè)，.所以，由，.所以，，又當x∈?1,1時，f'x對A:,，因為，所以，故A正確；對B：因為，而，所以成立，故B正確；對C：，因為，所以或，所以：不等式的解集為，故C正確；對D：因為，由，所以，所以，所以，即.故D錯誤.故選：D.16.已知集合，對于集合中的任意元素和，記.若集合，，均滿足，則中元素個數(shù)最多為（）A.10 B.11 C.1023 D.1024【答案】B【分析】分析可得當和同時為時，，當和至少有一個為時，，要使，則的所有元素的位置至多有個，討論即可得到集合的元素個數(shù)的最值．【詳解】依題意，對于中元素和，當和同時為時，，當和至少有一個為時，，要使得的一個子集中任兩個不同元素、，均滿足，設(shè)集合中的元素記為，則的所有元素的位置至多有個，若位置為，其它位置為的元素有個，若全為的有個，綜上中元素最多有個．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是分析出的所有元素的位置至多有個，從而確定中元素個數(shù)的最大值.三、解答題:（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知，為第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)結(jié)合已知得出，即可根據(jù)二倍角的正弦公式代入數(shù)值得出答案；（2）根據(jù)兩角和差的余弦公式代入數(shù)值得出答案.【小問1詳解】，為第二象限角，，則；【小問2詳解】.18.已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在上嚴格增；（2）若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式的解集.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出值，再求出方程的解，分別利用函數(shù)在和上的單調(diào)性即可求得不等式的解集.【小問1詳解】因，任取，且，由，因，則，，故，即.故函數(shù)在上嚴格增；【小問2詳解】因為函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則，所以．所以，即，所以，由得：，即，所以或，解得或，所以不等式的解集為.19.問題：正實數(shù)a，b滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當且僅當且時，即且時取等號.學(xué)習上述解法并解決下列問題：（1）若正實數(shù)x，y滿足，求的最小值；（2）若實數(shù)a，b，x，y滿足，求證：；（3）求代數(shù)式的最小值，并求出使得M最小的m的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）時，取得最小值．【分析】（1）利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；（2）利用已知，，然后由基本不等式進行放縮：，再利用不等式的性質(zhì)得出大?。⒌贸龅忍柍闪⒌臈l件．（3）令，，構(gòu)造，即以，即，然后利用（2）的結(jié)論可得．【小問1詳解】因為,，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是．【小問2詳解】，又，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當且同號時等號成立．此時滿足.【小問3詳解】令，，由得，，又，所以，構(gòu)造，由，可得，因此，由（2）知，取等號時，且同正，結(jié)合，解得，即，．所以時，取得最小值．【點睛】本題考查用基本不等式求最小值，考查方法的類比：“1”的代換．解題關(guān)鍵是“1”的代換，即利用，從而借助基本不等式得出大小關(guān)系，同時考查新知識（新結(jié)論）的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活運用數(shù)學(xué)知識的能力．對學(xué)生的創(chuàng)新性思維要求較高，本題屬于難題．20.已知，函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于的方程的解集中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或，（3）.【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)列不等式即可求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為有且僅有一正根.即可利用二次型函數(shù)的性質(zhì)分類求解，（3）利用單調(diào)性的定義即可求解函數(shù)單調(diào)性，進而利用單調(diào)性求解最值，將問題進一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問1詳解】時，所以得，所以函數(shù)的定義域為.【小問2詳解】方程，即，即.∴，化為：，方程的解集中有且只有一個元素，等價于有且僅有一正根.（1）若，化為，解得，符合題意；（2）若，此時.①令，得，解得，符合題意；②當，即時，方程有兩個解，設(shè)為，.則，.當時，，此時方程有一正、一負根，符合題意.當時，，，此時方程有兩個正根，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為或，【小問3詳解】.當時，.因為，，所以.所以，所以，所以.所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，.即：，即：，因為，，整理得：，令.因時，存在，故只需.因為，對稱軸方程，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，得.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可