第一章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)

第一章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題

經(jīng)典題型一：空間向量的概念及運(yùn)算

經(jīng)典題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系

經(jīng)典題型三：利用空間向量計(jì)算距離

經(jīng)典題型四：利用空間向量求空間角

經(jīng)典題型五：共線與共面問(wèn)題

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法

①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題

經(jīng)典題型一：空間向量的概念及運(yùn)算

例1.（2023?黑龍江哈爾濱?高二尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四面體ON8C中，OA=a,OB=b,OC=c^

點(diǎn)M在棱04上，且麗=2次3，N為5c中點(diǎn)，則話=（）

A.-a--b+-cB.--a+-b+-c

232322

22-1

C.-a+-b--cD.——a+—h——c

222332

【答案】B

【解析】丁點(diǎn)M在線段04上，且力，N為5C中點(diǎn),

OM=-OA,ON=-^B+oc)=^-dB+^-dc,

3222

：.MN=ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

223322

故選：B.

例2.（2023?福建寧德?高二?？茧A段練習(xí)）直三棱柱"C-44G中，若有=1,而“，西=萬(wàn)，則麗=

().

A.-a+b-cB.a-b+c

C.-a+b+cD.

【答案】A

【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則得：

祠=福+錄+無(wú)=刀-西+而=-7西+而=-""九

故選：A

例3.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若梅最可是空間的一個(gè)基底，且向量

｛方=1+[+￡麗=1-21+25反=存+3口可不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則人（）

A.1C.-1D.2

3244

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄?q+6+與，OB=e[-2e2+2e3,。。=攵q+36+263不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,

所以方、礪、共面，故存在實(shí)數(shù)％、N使得3=》次+），而，

即左04-3e2+2e3=x（e1+e2+e^\+J-2e2+23=（x+*q?x-2^e2?x+2,e,

5

k=x+y2

因?yàn)椋觋煽墒强臻g的一個(gè)基底，則k-2y=3,解得＜

x+2y=2

9

4

故選：D.

例4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）在以下命題中：

①三個(gè)非零向量%,展不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.則人%,聯(lián)共而：

②若兩個(gè)非零向量入辦與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則心石共線；

ULUUULUUUUUUUU

③對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP=2O4-2OB-2OC，則4A,B,C四點(diǎn)共面

④若G，族是兩個(gè)不共線的向量，且工=笳+〃可入〃€凡4〃。0），則構(gòu)成空間的一個(gè)基底

⑤若,31｝為空間的一個(gè)基底，則,+^+[+2￡1+￡｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底.

①根據(jù)空間基底的定義，三個(gè)非零向量二h,3不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則2,h，E共面；故命題①

正確.

②由空間基底的定義，若兩個(gè)非零向量方.在與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則G,B共線，

若。B不共線，則心B共面，一定有向量與乙5不共面；故命題②正確.

UU1UULUUUUUUUU

③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,當(dāng)O尸=204-208-20c時(shí)，若尸，A,8,C四點(diǎn)共面,

p-2-/z=2

則刀+〃就，而一刀=義(無(wú)_5)+〃即一而),OP=(\-X-^OA+XOB+pOC,U=-2,

|〃=-2

方程組無(wú)解，故P,A,B,C四點(diǎn)不共而：故命題③錯(cuò)誤.

④若A,B是兩個(gè)不共線的向量，且了=府+應(yīng),則向量了與值：B構(gòu)成共面向量，{3,5,遑不

能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；故命題④錯(cuò)誤.

⑤因?yàn)檑?"+2工=￡+否+"+3，所以向量1+瓦日+。+20,。+°共面,

Z+55+"+2G,"+Z不能夠成空間的一個(gè)基底，故命題⑤錯(cuò)誤.

真命題有2個(gè).

故選：C

例5.(2023?廣西百色?高二統(tǒng)考期末)在正四面體。力中，OA=~a，OB=b>OC=c^D為BC中點(diǎn)、,E

為力?？拷?。的三等分點(diǎn)，用向量b，"表示詼=()

—1-1-1--1-2--

A.OE=-a+-b+-cB.OE=—a+—b+c

33323

C.應(yīng)=)+4+丈—1-1-1-

D.OE=—a+—h+-c

242244

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?c中點(diǎn)，

所以而=而+而=而+1而二益+，證-詞」布+，衣,

22、f22

因?yàn)椤隇榱Α？拷?。的三等分點(diǎn)，

—2—

所以1七=34。，

所以0E=04+/E=CM+；4O=O4+；(NB+/C)

=OA^{OB-OA+OC-OA)t

即喬=-，就」在+2而

223

故選：B.

例8.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在平行六面體耳GA中，44=1,AB=AD=6,且

N44D=N4”=45。，ZDAB=60°,則忸。|=()

A.1B.72C.右D.2

【答案】C

【解析】以｛刀，而，麴｝為基底向量，可得西=瓦5+而+西=-刀+亞+您,

uuir2uuruuuruuiruur2uuir2uuir2uturuuiruuruuiruuiruuir

則8A=(-AB+AD+AA^=AB+AD+44-2AB-AD-2AB-AA｛+2ADAA

=5-4X1-2V2X^+2/ix堂=3,

?1網(wǎng)=5

故選：C.

例9.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，正四面體。的高以)的中點(diǎn)為O,PC的中點(diǎn)為

(1)求證：AO,BO,CO兩兩垂直；

⑵求(甌碼.

【解析】(1)設(shè)7=￡，詆=5,1=總正四面體的棱長(zhǎng)為1，

0I1_

因?yàn)橛?西+麗=而+_乂5何+及)=麗+一停一瓦+1一萬(wàn))

=；停+方+碼=泊3+4

AO=VO-VA=^VD-VA=\(a+坂+<?)-〃=\(B+e-5a),

5d=ra-ra=|ra-ra=1(a+^+c)-Z=1(a+c-5^),

CO=yd-Vc=^VD-Vc=^a+b+c)-c=^a+b-5c),

所以而.而=90+1-5劣?(￡+工-5習(xí)=9(18￡*-9問(wèn)］

=^-|18xlxlxcos^-9|=0,所以而_L的,即力O_L8O.

36\3)

同理，AO1CO,8O1CO,所以“。，BO,CO兩兩垂直.

(2)DA7=DF+^i7=-1(a+^+c)+|c=|(-2a-2b+c),

又M卜J第十。-5到=盤(pán)(27才一277嚀，

DM-AO=—(-2a-2b+c］—(b+c-5a}=—x9a=—x9=—,

6V3f36364

_______1

所以8s〈DM,AO\==—生育=烏,

、/|叫.|闋2xV22

2x~r

又(兩，而》［o,花］,所以〈的，而)=:.

例10.(2023?江蘇連云港?高二連云港高中校考期中)平行六面體4GA中，底面48CQ是邊長(zhǎng)

為1的正方形，側(cè)棱四=2,且4/。=/4”=60),M為8。中點(diǎn)，尸為明中點(diǎn)，設(shè)方=￡,AD=b，

AA{=c；

⑴用向量J，b，)表示向量?jī)?；

(2)求線段PM的長(zhǎng)度.

【解析】(1)因?yàn)镸為3。中點(diǎn)，P為SB1中點(diǎn),AB=a,彳方=坂，麴=",

所以閑=而+兩=1庭+L而

22

=-(b-a-c)；

(2)因?yàn)槠叫辛骟w4與GA中，底面X38是邊改為1的正方形，側(cè)棱44=2,且

N44D=N44B=6(r,

所以M=W=1,|c|=2,a-5=0,a?c="c=lx2x；=l,

所以PM=-(b-a-c)2=—(^'+a'+c~-2ab-2b-c+2a-c)

44

所以|所卜半，即線段PM長(zhǎng)為當(dāng)

經(jīng)典題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系

例11.(2023?高二單元測(cè)試)如圖，在多面體力8CF4G中，四邊形4力網(wǎng)是正方形，AB=ACtBC=>j2AB,

且4G=；8C,二面角4一力8-。是直二面角.

(1)求證：4々_1_平面”4C；

(2)求證：力4〃平面4GC.

【解析】(1)證明：由二面角是直二面角，四邊形片為正方形，則44,工48,

u平面A[ABBi,平面AiABBin平面ABC=力8,可得A\±平面ABC.

又因?yàn)镹8=/C,8C=夜/8，所以482十4。2=8。.所以NC48=90°，BPCALAB,

所以兩兩垂直，

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，4c>18/4所在直線分別為x軸、y軸、n軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

設(shè)48=2,則知點(diǎn)彳(0,0,0),5(0,2,0),J,(0,0,2),C(2,0,0),C,(1,1,2),B,(0,2,2),麗=(0,2,0),

^1=(0,0,-2),就=(2,0,0),

由于43/。,川4兩兩垂直，zcn%4-u平面/4。，即48/平面月川。，

故平面的一個(gè)法向量可取為3=(0,L0)，

而44=(。,2,0)=2〃,即44〃《，所以~L平面44c.

(2)證明：由(1)知函=(0,2,2),4q=(1,1,0),4C=(2,0,-2),

—[/??A.C.=0

設(shè)平面4G。的一個(gè)法向量為m=(和為馬)，則一,

m-Afi=0

芮+K=0—

即::「，令玉=1，貝1」M=一1百=1，即，"=(1,7,1)，

[2A,-2Z,=0

耳〒以"4?，〃一OK1+2K(-1)+2x1-0,JVrADX±m(xù),

又因?yàn)?4a平面4G。，所以/片〃平面4GC

例12,(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，正三棱柱48C-44G中，￡,尸分別是棱彳上的點(diǎn)，

AlE=BF=^AAi.

證明：平面CE尸_L平面4CG4.

【解析】證明：取6c的中點(diǎn)。，連接。力,

在正三棱柱ABC-AAQ中，不妨設(shè)=2aM4=3；

以O(shè)為原點(diǎn)，麗，刀分別為“軸和N軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所小,

則C(-a,O,O),4(0,儡,0),尸@0,1),E(0,廊,2),

CF=(2a^\\CE=(a,x&,2),CA=,&,0盧尸(),0,3)：

設(shè)平面CE尸的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-CF=2ax+z=0「-((-\

則〈_廠,取x=-l,則歹=->^,z=2a,即〃=(-1,-\/3,勿)：

nCE=ax+j3ay+2z=0

設(shè)平面4CC/的一個(gè)法向量為而二(m,〃,e),

m-CA=am+-J3an=0一/l、

則〈---，取〃=T,得小=石，e=0,即加

wCC,=3e=0'7

因?yàn)椴蘨=_4+6=0，所以平面CEF_L平面4CG4；

例13.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在三棱柱444G中，8用_L平面彳BC,D,E分別為棱48,

4G的中點(diǎn)，BC=2,AB=26,4G=4.證明：OE〃平面4CC/.

【解析】在三棱柱IBC-44G中，平面48C,8c=2,AB=204G=4.

所以4C=4G=4,則4c2=482+8。2,則4B/8C,則如下圖，

以8為原點(diǎn)，3cB48片為x/，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BB、=h,則A(0,2N/3,0),B(0,0,0),C(2,0,0)

4(0,20,h),與(0,0,4),G(2,0,田,qoA°,Al,o,4,

所以布=(1,-石,〃)，衣=(2,-2百,0),羽=(0,0,A),

設(shè)平面4CG4的一個(gè)法向量為5=(xj,z),

所以."二=入-2島R,令y=l,則/=百,z=0,即萬(wàn)=(6,1,0),

AAXn=hz=0

所以瓦?萬(wàn)=(1,一百,Zr)(G,l,O)=JJ—6+0=0,得萬(wàn)工元,

又。Ea平面4CG4,所以O(shè)E〃平面4CG4.

例14.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在四棱錐尸-N8C。中，底面48CO是正方形，4_1_底面48C。,

E是尸C的中點(diǎn)，已知力8=2,PA=2.

(1)求證：AELPDi

(2)求證：平面平面4C.

【解析】(1)以4為原點(diǎn)，，48.AD,4P所在直線分別為x軸，)，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示，

則8(2,0,0),C(2,2,0),0(020),P(0,0,2),￡(1,1,1),

_ULAfl

所以4E=(1,1,1),尸。二(0,2,-2),

所以花?麗=2-2=0，所以

(2)連接80,AC,如圖所示，

因?yàn)楫a(chǎn)力_1面48。，BOu面48cO,所以尸N_L8。，

又因?yàn)樗倪呅?8C。為正方形，所以BZ)_L4C,

又因?yàn)獒?。?0=4AC、4Pu面總C,所以80_/面4。，

又囚為6Du面P8D,所以平面尸6￡>_L平面尸4C.

例15.(2023?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在四棱錐P-48co中，底面/4CD為矩形，。。_1平面48。。，

E為CP的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，DM△DB,DA=DP=T,CD=2,求證：MNHAP.

4

【解析】證法一：由題意知，直線。4DCOP兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，O4DCDP所在直線分別為％軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則0(0,0,0),A(1,0,0),式0,0,1)，乂og5卜端1

所以乃=(一1,0,1),麗=卜50,小，

所以麗=1萬(wàn)，又M更AP,故MNHAP.

4

證法二：由題意可得而二礪+麗=，礪+，詼=，麗」J(DC+D^

42422、)

=-BD+-DC+-DP=-BC+-DP=-(AD+DP\=-APt

444444、f4

又Me/P,所以MN"AP.

例16.(2023?云南大理?高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-48CZ)中，底面488

為矩形，平面尸C0_L平面NBC。，AB=lyBC=\,PC=PD=6，E為PB中點(diǎn)、.

(1)求證：PO〃平面/CE；

(2)在棱尸O上是否存在點(diǎn)“，使得力M180?若存在，求胃PM■的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(1)設(shè)BQ,4c交與點(diǎn)八連接后尸，

因?yàn)榈酌?8C。為矩形，所以E為的中點(diǎn),

又E為PB中點(diǎn)、,WEF〃PD，

而尸￡><Z平面4CE,￡bu平面4CE,

故PO〃平面ZCE；

(2)在棱P0上存在點(diǎn)M,使得出WJL8。；

取C。的中點(diǎn)為。，連接尸0/0,

因?yàn)榈酌?8CO為矩形，故8C_LCQ,

PC=PD=4i，故。為5c的中點(diǎn)，則PO_LCD,而尸為3力的中點(diǎn)，

故OF〃BC,:.OF1DC；

又平面尸CZ)J■平面48C。，尸Ou平面尸C。，平面「80平面488=8,

故尸。工平面48C。，

故以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0尸,。。,。尸分別為弘為2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1、-1,0),0(0,-1,0)方(1,1,0),P(0,0,1),

設(shè)篌=4(4w[0J])，M(x,yN)，則麗=2而，

x=0

即(即以-1)=4(0,-1,-1),貝?卜y=-4,可得M(0,—/MT),

z=1-2

故麗=㈠―)初=(-I-2,。，

因?yàn)?M_L8。，故萬(wàn)7.麗=0，即1一2(1-2)=0,

解得N=

PM1

即在棱尸。上存在點(diǎn)M,使得力M_L4O,此時(shí)與■二]?

例17.(2023?福建漳州?高二統(tǒng)考期末)如圖所示的幾何體中，平面401平面力隊(duì)》,△尸力。為等腰直角三

角形，ZAPD=90。,四邊形48co為直角梯形，ABi/DC,ABLAD,AB=AD=2,PQ//DC,PQ=DC=\.

(1)求讓：尸?！ㄆ矫?8C：

(2)線段。8上是否存在點(diǎn)M滿足兩二2詼(044VI),使得力加工平面。8。？若存在，求出2的值；若不

存在，說(shuō)明理由.

【解析】(1)???。?！ā?。,尸。二?！闬.?.四邊形戶。。0是平行四邊形，

PDilQC.

：PDX平面QBC.QCu平面QBC,

PD；/平面QRC.

（2）取4。的中點(diǎn)為?勿=OP14。

???平面尸_L平面ABCD,OPu平面PAD,平面PZ￡>c平面ABCD=AD,

「.OPJ.平面力8co.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線O。,。尸為V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-個(gè)z,則x軸在平面488內(nèi),

???ZAPD=90。,=AD=2,PQ=CD=\,

AJ（O,-1,O）,5（2,-1,O）,C（1,1,O）,0（1,0,1）,

.-.^2=(-i,ij),eg=(o,-ij).

設(shè)平面。。的法向量為萬(wàn)=（%,y,z）,

nBQ=O,-x+y+z=0,x=y+z,

n-CQ=0,-y+z=0.y=z.

令z=l,則y=l,x=2,.?.萬(wàn)=(2,1,1).

西=(1,-1,-1),.?.弧=(4-4-2),

:.AM=AQ+QM=（\+2,1-A,l-2）.

又平面的法向量為萬(wàn)=（2J1）,4W_L平面。8C,

.1+41—AI—A.,1

..------=-------=-------x=-.

2113

.??在線段。3上存在點(diǎn)“，使力平面3C,且力的值是最

例18.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力中，點(diǎn)七為8C的中點(diǎn).

（1）在B汨上是否存在一點(diǎn)尸，使。尸1平面8/E?

（2）在平面上是否存在一點(diǎn)N,使"NJ.平面B、AE?

【解析】（1）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,。。所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則點(diǎn)4（1,0,0）,后停L。14（U，1），.（0,0,1）,

即二（0,—1,—1）,庭

假設(shè)存在點(diǎn)尸(1,1,Z)滿足題意，于是用

麻的=0O-l-z+l=(J

所以所以《

印砧=0--+0-z+1=0

,2

解得2=0與Z=；矛盾,

故在上不存在點(diǎn)使O￡_L平面8"七.

(2)假設(shè)在平面彳力避避上存在點(diǎn)M使RN1平面8"七.

設(shè)N(l,b,c),

D.NB.A=0一,、

貝|J-L—,因?yàn)?N=(U),C-1,

D、NBiE=0

0—b-c+1=0b=—

所以」+。-?！獾肐

2ri

故平面44/8/8上存在點(diǎn)義(K，；)，使A"，平面BEE.

例19.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，四棱錐「一月8c。中，PQJ_底面/8C￡>,PD=AD=DC,底面

ABCD為正方形,E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在尸8上，問(wèn)點(diǎn)尸在何位置時(shí)，而為平面0￡F的一個(gè)法向量？

【解析】以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)04=2,則0(0,0,0)/(0,0,2),。(0,2,0),2(0,1,1),5(2,2,0),

???麗=(2,2,-2),麗=(0,1,1),

*/PB-DE=2x0+2xl+(-2)xl=0,/.而上不,

x=22,

設(shè)尸(MV，z),而=4萬(wàn)，.?.(x,y,z-2)=〃2,2,-2),.,.<y=22,

z—2=—2A>

???尸(2A22,2-22),/.DF=(22,24,2-22).

V~PB~DF=0?/.4A+4A-2(2-2A)=0..*.2=^,

???尸為線段PB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近P點(diǎn)).

經(jīng)典題型三：利用空間向量計(jì)算距離

例20.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力8C0-44CQ中，E為線段。4的中點(diǎn),

尸為線段的中點(diǎn).

⑴求直線EGI到直線AE的距離；

(2)求直線產(chǎn)G到平面的距離.

【解析】(1)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(1,1,1),《0,0,3｝尸［1,《)，j(i,0,0),q(0,1,1),

因?yàn)榉看?(—1,0,3,所以荏〃后，KPAE//FC,,

所以點(diǎn)F到直線AE的距離即為直線FC,到直線AE的距離，

所以直線FC,到直線AE的距離為

(2)因?yàn)獒堋?/「G，尸Ga平面力用E，，4￡u平面48無(wú)，所以尸&〃平面

所以直線尸G到平面的距離等于G到平面AB.E的距離,

場(chǎng)=(1,0,0),福=(0,1,1),荏=11,0,；I，

設(shè)平面AB\E的一個(gè)法向量為；;=(%//),

則［,〃=0,即,"X+2Z=O,取z=2,可得7=。,-2,2),

［明?五=0

y+z=0

%?詞1

所以G到平面AB.E的距離為=-

lW|3

所以直線尸G到平面物E的距離為g.

例21.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))如圖，在四棱錐尸-ABC。中，4_L平面48CO,底面四邊形48C。是

正方形，尸4=24。，點(diǎn)七為尸。上的點(diǎn)，PE=2EC.

(1)求證：平面產(chǎn)力CJ?平面8QE；

(2)若/。=1,求點(diǎn)C到平面8QE的距離.

【解析】（1）因?yàn)榈酌嫠倪呅瘟C。為正方形，所以力CSBO,

因?yàn)镻/_L平面,48。，8。u平面458,所以R4_L〃O,

又4|1彳。=/,P44Cu平面R4C,所以80人平面4C,

又BDu平面BDE,所以平面PACJ■平面BDE.

（2）（法一）因?yàn)镻4L平面/8C。，8Cu平面45。。，所以4_LBC,

因?yàn)榈酌嫠倪呅?8。為正方形，所以8CJ?48,乂產(chǎn)力（148=力，平面產(chǎn)力8,所以8c工平面H4B,

又尸8u平面產(chǎn)力8,所以8C_L0B,即^PBC為直角三角形,

因?yàn)?。=1,則4=2,所以P8=石，AC=BD=O，PC=R，CE=等，

BC1

在Rt&P8C中,cos4PCB=正=能,

211瓜1-I

在AAOE中，由余弦定理BE?=5r2+CE2-2BC-CfcosN尸F(xiàn)+-2xlx—x—.—*-1,

376

即5E=1,

同理可求得0E=1，所以△4DE為直角三角形，^fiD￡=|xlxl=l,

因?yàn)镻E=2EC,所以點(diǎn)￡到平面BCD的距離為;尸力，

設(shè)點(diǎn)C到平面BDE的距離為h,由VC_BDE=VE_BCD=|VP_BCD得

h-“BDE=PA?S.BCD，即g'W=；x；x2xgxlxl,所以人=：,

7

所以點(diǎn)C到平面BDE的距離為;.

（法二）因?yàn)榱α?1,則24=2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AH.AD./P所在的百線分別為N,z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系彳-xyz,

則4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,2).

所以記=(1,1,-2),由PE=2EC,得噌，|，|)，

配=(1,0,0),麗=(-1,1,0),麗=卜|,；,-|),

［而.BO=—a+b=0,

設(shè)平面5￡)E的一個(gè)法向量為/w=(Q,b,c),則_212

m-ED=——a-\■—b——c=0,

I333

取。=2,可得b=2,c=-l,所以m=(2,2,-1),

設(shè)點(diǎn)。到平面5。石的距離為〃,

則/J比?司|1X2?X2+03-1)|=2

|w|V22+22+l23

所以點(diǎn)C到平面BDE的距離為;.

例22.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))直四棱柱力8。-44GA中，底面ABCD為正方形,邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱44=3,

〃、N分別為4與、4。的中點(diǎn)，E、尸分別是G〃，AG的中點(diǎn).

(1)求證：平面4WN〃平面E尸8。；

(2)求平面AMN與平面EFBD的距離.

【解析】⑴法一:證明：連接巴烏，NF;:M、N分別為4與、4A的中點(diǎn)，

E、產(chǎn)分別是GA，4G的中點(diǎn)，

MNHEFHBR,?:MN(Z平面EFBD,EFu平面EFBD,

〃平面EFBD,????平行且等于AB,

.?.力8網(wǎng)是平行四邊形，「.《可〃8尸，

?;4Nq平面EFBD,BFu平面EFBD,:.AN”平面EFBD,

ANc朋"=N,...平面AMNH平面EFBD；

法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-莊，

則4(2,0,0),“(1,0,3),8(220),￡(0,1,3),

F(l,23),N(2,l,3),.?.方二(1,1,0),麗=(U,0),

AM=(-1,0,3)而=(-1。3),

:.而=而同=標(biāo)，：EFHMN，AMUBF，

?:MNu平面EFBD,EFu平面EFBD，??.MN〃平面EFBD,

?；4NQ平面EFBD,BFu平面EFBD,<N〃平面EFBD,

又M7Vc4W=M,.?.平面4IW〃平面所80,

(2)法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離人.

"中，AM=AN=M，MN=4i，=；?&?/()_；=半

一?由等體積可得=,./=5叵

323219

法二:

設(shè)平面NMN的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(x,y,z),

萬(wàn)?MN=x+y=O.、

則一一，則可取萬(wàn)=(3,-3,1),

n-AM=-x+3z=0

?.?布=(0,2,0),

平面AMN與平面EFBD的距離為d業(yè)二.6如叵

\n\'LV9+9+119

例23.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))如圖1,在等腰梯形48co中，AB〃CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC,

沿4E將V4)E折成V4PE,如圖2所示，連接尸民尸C,得到四棱錐尸-/8CE.

(1)若平面尸NEA平面尸8C=/,求證：IUBC；

(2)若點(diǎn)7是尸。的中點(diǎn)，求點(diǎn)T到直線EB的距離的取值范圍.

【解析】(1)證明：在梯形力BCD中，因?yàn)锳B//CE且AB=CE,

所以囚邊形48CE是平行四邊形，所以力E//BC,

又因?yàn)閄Eu平面尸/E,且8C(Z平面HE,所以8C〃平面R4E,

因?yàn)锽Cu平面P8C,且平面P/ED平面P8C=/,所以U/BC.

(2)取中點(diǎn)O,連接0民。尸，因?yàn)樾E是等邊三角形，可得OB上OE

以。為原點(diǎn)，。瓦。5所在直線為x軸1,V軸，過(guò)O作平面48CE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-平,

如圖所示，

設(shè)/P。8=6(0<。<4)，

則P0,^^cos。,■^^?sinej,c(l,)月[(),^^0j,7^(cos+1),,sin0

所以￡T=0,日(cos9+1),乎sin。)，EB=一去等"1方?麗=當(dāng)孚(cosO+1)=](cos6+l)，且

|E5|=I,

1

則點(diǎn)T到直線EB的距離d=^ET-iETEB)

因?yàn)?1<COS6<1,所以當(dāng)cos6=g時(shí)，-2=；；

當(dāng)cos。-—1時(shí)，dfO,所以點(diǎn)7'到直線E8的距離的取值范圍是(0,；.

例24.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))在梯形48C。中，A8//CD,DD=90°,AB=20，/。=。。=夜，

如圖1.現(xiàn)將△1OC沿對(duì)角線4c折成直二面角尸-4C-B,如圖2,點(diǎn)時(shí)在線段8P上.

(1)求證：AP±CM?

旌辰RM

(2)若點(diǎn)〃到直線4c的距離為.，求器的值.

【解析】(1)/C=^/m=2，NCAB=NACD=45°,

5C2=4+8-2x2x2x/2x—=4,故8C=2,則4c8=90°,BPAC1CB,

2

又平面尸/CJ?平面ACS,平面產(chǎn)力CD平面力C5=4C,

CB1AC,C8u平面4C8,故C8_L平面HC,

力尸u平面HC,則CB_L4尸，

又PA1PC,PCcCB=C,PC,CBu平面PCB,所以力尸上平面PC8,

又CMu平面尸CB,則/P_LCM.

(2)設(shè)/C中點(diǎn)為。，AB中點(diǎn)為D,以04。。,OP為X，乂z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

有4(1、0,0),C(-1,0,0),尸(0,0,1),8(-1,2,0),

設(shè)端="則威=4器,設(shè)A/(x,y,z),M(x+1,j-2,z)=2(1,-2,1),

貝—1,2—24/1),C4=(2,0,0),CW=(A,2-22,A)?

點(diǎn)”到直線力C的距離為坡，則CA/2=±+(C竺町,

55I\CA\J

即儲(chǔ)-(2-24)，八劌皙，即25萬(wàn)-404+16=0,解得a=1，

wBM4

所以=:

BP5

例25.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖①菱形ABCD,NB=60。,BE=EC=1.沿著NE將△加E折起到/NE,

使得/。48'=90。，如圖②所示.

(1)求異面直線AB1與CD所成的角的余弦值；

(2)求異面直線力"與CO之間的距離.

［解析】⑴圖①菱形ABCD,NB=60°,BE=EC=\,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB-BEcos600=3,

所以

所以3爐+/爐=力82,即/E18C,又ADMBC,所以彳

在圖②中，ND48'=90°,即40J.48,，又力B'c/IE=4力B；4Eu平面力B'E

所以乂。_L平面AB'E,BPEC1平面AB'E,

又5'￡u平面48'￡,所以B'ELEC,如圖，以E為原點(diǎn)，EGE4E夕分別為蒼乂z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則上(0,0,0),。(1,0,0),0(2,50)夕@,01}A0sob

--/r~\-----/r-\~Tn>7^r\AB'-CD0-3+03

所以,=(。,-6/),。。=(1,收。)，故儂",8=阿同=』一=二

3

則異面直線相，與8所成的角的余弦值為“

(2)由(1)得就=(1,-75,0),設(shè)何=(xj,z)是異面直線彳"與。公垂線的方向向量,

正麗=0

z=02,令丁=1,則〃?=(一6』，石)

所以—=>=>

CDw=0=0

所以異面直線力"與8之間的距離為此

in\V77

例26.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在長(zhǎng)方體48co-4BGR中，AD=AA.=\tAB=2,求:

(1)點(diǎn)4到直線8。的距離;

(2)點(diǎn)4到平面8Z)G的距離;

(3)異面直線BD,CD\之間的距離.

【解析】(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA，成，函為X,九z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?。=彳4=1，

AB=2,則5(1,2,0),0(0,0,0),4(1,0,1),C,(0,2,1),C(0,2,0),D,(0,0,1)

______UUU

所以30=(7,-2,0),48=(0,2,-1),所以48在而上的投影向量的大小為

W嬴41竽,又|祠=M+22+(_I)2=如,所以點(diǎn)4到直線8。的距離

4=小中=哈

(2)由(I)而=(-1,-2,0),DC；=(0,2,1),1^=(0,2,-1),

-..nBD=0[―x—2v=0

設(shè)平面BZ)G的法向量〃=x,y,z),則一，所以\八

nDC.=0[2y+z=0

取y=l，可得x=—2,z=-2,所以7=(-2,1,-2)是平面8。。1的一個(gè)法向量，向量福=(0,2,-1)在法向量

一|48?〃|1-2x0+1x2+(-2)x(-1)144

〃二(-2,1,-2)上的投影為^^=1-y-=—F，所以點(diǎn)4到平面60G的距離為彳：

H卜2)2+?)233

(3)由⑴CD；=(0-2,1),=(0,-2,1),所以西〃可，所以CR〃網(wǎng)，又Cja平面力/。，84u平

面48。，所以CA〃平面力乃。，所以異面直線50,C2之間的距離與點(diǎn)C到平面43。的距離相等，設(shè)平

面4應(yīng))的法向量7M=(x”M,zj,因?yàn)?0=(7,-2,0),則，_豆_°,所以，_2y+z_0，

取必=1，可得玉=-2,z,=2,所以而=(一24,2)是平面45。的一個(gè)法向量，向量麗=(0,-2,0)在法向量

_而.|-2x0+lx(-2)+2x0l2?

前=(-2,1,2)上的投影為哈-l=J~I==2l=￡,所以點(diǎn)C到平面48。的距離為9；故異面直

.一2)2十戶十2?33

線8DCR之間的距離為

例27.(2023?山東濟(jì)寧?高二濟(jì)寧市兗州區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱錐S-48C中，

SA=SB=BC=AC=5SC=AB=2,E,/分別為SC的中點(diǎn).

(1)求直線3戶與平面力4c所成角的正弦值；

(2)給出以下定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異

面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面

直線的距離.根據(jù)以上定義可知，公垂線段的長(zhǎng)度也可以看作是兩條異面直線上任意兩點(diǎn)連線的方向向量

在公垂線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.

請(qǐng)根據(jù)以上定義和理解，求異面直線SE,BF的距離d.

【解析】(1)連接EREC,由題知，SE是等腰三角形S45底邊48上的中線，

???ABVSE.

同理，ABLEC.，48_/平面SEC,AAB1EF.

同理，SC_L平面力8足

作EG1平面48/，分別以￡8,EF,EG為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題知，SE=2,印二柩,

???4(-1,0,0),5(1,0,0),C(0,V3,-l),E(0,0,0),F(0,V3,0),S(0,在1).

n-AB=0

設(shè)〃=(x,y,z)是平面48c的法向量，則

h'AC-0

Ui取5網(wǎng)?

即《

BFn>/3>5

cos（麗,〃）=

網(wǎng)問(wèn)=n=7

???直線BF與平面ABC所成角的正弦值為由.

4

(2)設(shè)前是異面直線SE,8尸的公垂線的方向向量,

ml.SE

由《——，同(1)可求得前二(有』,-6).

mlBF

由題知，異面直線S￡,8尸的距離等于麗在而方向_L的投影向量的長(zhǎng)度，即

|麗司6而

???異面直線SE,BF的距離d=—.

7

例28.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在正四棱柱力3