高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：專題一-三角函數(shù)

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題一三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問(wèn)題的能力，是高考的必考點(diǎn).熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破1.三角函數(shù)：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝

(x≠0).各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.同角基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，3.誘導(dǎo)公式：在

＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式例1

(1)(2018·資陽(yáng)三診)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，則tan2α等于解析答案√解析因?yàn)榻铅恋捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，解析答案√解析

由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tanα＝f′(1)＝－2，＝(－sinα)2－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosα(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等.思維升華答案解析√解析由誘導(dǎo)公式可得，由三角函數(shù)的定義可得，解析答案√∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖：熱點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用(2)圖象變換：解析答案√解析答案所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度數(shù)和方向.思維升華答案解析√解析答案21.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；2.y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù).解答設(shè)T為f(x)的最小正周期，由f(x)的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為

，得整理得T＝2π.解答又∵x∈[0,2π]，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題.思維升華解答(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間；解答真題押題精練1.(2018·全國(guó)Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則f(x)的最小正周期為_(kāi)_______，最大值為_(kāi)_______.真題體驗(yàn)答案解析π4∴f(x)的最小正周期為π，最大值為4.2.(2018·全國(guó)Ⅱ改編)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是________.答案解析①答案解析答案解析押題預(yù)測(cè)√答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象平移規(guī)則，防止出錯(cuò).解析由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

，則其最小正周期T＝π，√答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn)，本題結(jié)合平面幾何知識(shí)求A，考查數(shù)形結(jié)合思想.解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，－a)(a>0).解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，押題依據(jù)三角函數(shù)解答題本問(wèn)的常見(jiàn)形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對(duì)稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式.解答押題依據(jù)解∵f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x由題意可得x∈(0，π)，押題依據(jù)本問(wèn)的常見(jiàn)形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式.解答押題依據(jù)第2講三角恒等變換與解三角形專題一三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破1.三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”.2.三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等.(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化：一般是切化弦.熱點(diǎn)一三角恒等變換解析答案√解析答案√所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)(1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況.(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.思維升華解析答案√解析答案√熱點(diǎn)二正弦定理、余弦定理解答例2

(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝

.(1)求∠A；(2)求AC邊上的高.解答解

在△ABC中，關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口.思維升華解答(1)求角B的大??；又在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，解答解由已知及正弦定理得c＝4，解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀.熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題解答解答(2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對(duì)最值或范圍問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來(lái)求解.思維升華解答解答∴bc＝12，又∵2a＝b＋c，真題押題精練1.(2017·山東改編)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是______.(填序號(hào))①a＝2b;

②b＝2a;

③A＝2B;

④B＝2A.真題體驗(yàn)解析答案①解析∵等式右邊＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左邊＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.根據(jù)正弦定理，得a＝2b.2.(2017·北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sinα＝

，cos(α－β)＝________.答案解析解析由題意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1解析答案∴sinC＝cosC，即tanC＝1.解析4.(2018·全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______.答案解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.押題預(yù)測(cè)解析押題依據(jù)押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很