江蘇省南京市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江蘇省南京市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.62．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.3．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.4．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.5．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.7．若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.8．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.9．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.4510．如圖，函數(shù)的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標(biāo)是5，則()A. B.1C.2 D.011．等比數(shù)列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或12．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.14．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______15．已知拋物線的焦點與的右焦點重合，則__________.16．已知正方體的棱長為6，E為棱的中點，F(xiàn)為棱上的點，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）.在直角坐標(biāo)系中，點，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于A，B兩點（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求值19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求證：20．（12分）已知數(shù)列的前n項積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知等差數(shù)列}的公差為整數(shù)，為其前n項和，，（1）求{}的通項公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求22．（10分）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.2、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.3、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D4、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B5、D【解析】當(dāng)時，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點：等比數(shù)列6、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因為圓：①和圓：②交于A，B兩點所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A7、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A8、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號時，拋物線開口向左，方程表示焦點在軸的橢圓，無符合條件的選項；當(dāng)和異號時，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項.9、C【解析】設(shè)雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標(biāo)，把點的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設(shè)點是雙曲線與截面的一個交點，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：10、C【解析】函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是，所以，在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，2，故選C考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義點評：簡單題，切線的斜率等于函數(shù)在切點的導(dǎo)函數(shù)值11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C12、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為.因為為增函數(shù)，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：14、①..②..【解析】以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）由題意可知，，，因為，，所以，故設(shè)平面的法向量為，則，令，得因為，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.15、【解析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)即為的右焦點可得答案.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點坐標(biāo)為，由題意知表示焦點在軸的橢圓，在橢圓中：，所以，因為，所以.故答案為：.16、18【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點.連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為18、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，結(jié)合加法消元法進行求解即可；（2）利用直線參數(shù)方程的意義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可.小問1詳解】由；；【小問2詳解】把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中，得，，因為在直線上，所以，或而，所以.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因為，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；20、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出方程，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求出的表達式，利用裂項求和的方法求得答案.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，則,整理可得：，∵d是整數(shù)，解得，從而，所以數(shù)列{}的通項公式為：;【小問2詳解】由（1）知，，所以22、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）