2023-2024學(xué)年廣東省東莞市四校高一上學(xué)期12月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，一個(gè)選項(xiàng)符合要求，選對(duì)得5分，錯(cuò)選得0分.）1.若集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均錯(cuò)；集合中比集合多一個(gè)元素，因此應(yīng)有，C錯(cuò)；由空集是任何集合子集知D正確．故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全稱命題的否定是存在性命題，所以命題“”的否定是.故選：C.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，故是的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，函數(shù)定義域應(yīng)滿足，解得.故選：C.5.設(shè)函數(shù)，則的值為（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)，∴.故選：B.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，，所?故選：D.7.下列可能是函數(shù)的圖象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)镽，排除選項(xiàng)AB，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D.故選：C.8.已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，所以函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.）9.以下結(jié)論正確是（）A.不等式恒成立B.存在，使得不等式成立C.若，則D.若正實(shí)數(shù)滿足，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，不等式恒成立的條件是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故B正確；對(duì)于C，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；對(duì)于D，若正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗在兩邊同除以負(fù)數(shù)得，即，與A項(xiàng)矛盾.由，，得，與B項(xiàng)矛盾.由，，，故不一定小于0，故C不正確.由得，又，兩式相乘得，兩邊同除以負(fù)數(shù)，可得，故D正確.故選：ABC.11.函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值為0〖答案〗BD〖解析〗令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.在上為減函數(shù) B.的最大值是1C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，又函數(shù)偶函數(shù)，所以在上為增函數(shù)；故A錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以，，則，所以，則，即，所以以為周期；則，所以關(guān)于直線對(duì)稱，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，又，所以；因?yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，；又是以為周期的函數(shù)，所以，，則，故B正確；因?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，所以，因此，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；即C正確；因?yàn)闀r(shí)，顯然恒成立，函數(shù)是以為周期的函數(shù)，所以在上也滿足恒成立；故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分.）13.不等式的解集是________.〖答案〗〖解析〗不等式等價(jià)于，由于方程的解為：或，所以.故〖答案〗為：.14.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，或，，則圖中陰影部分所表示的集合是____________．〖答案〗〖解析〗由圖可知，陰影部分為，∵或，∴，∴．.故〖答案〗為：.15.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以．又函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，故所求不等式的解集為．故〖答案〗為：.16.定義：函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為在區(qū)間上的極差，記作.①若，則____；②若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.〖答案〗1〖解析〗①由題意知，，所以，所以；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要滿足，只需，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足，綜上所述，.故〖答案〗為：1.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的〖答案〗無(wú)效.）17.已知集合.（1）若，求（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由題意，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴當(dāng)，即，即時(shí)滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，即.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求冪函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.解：（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿足題意.故.（2）由（1）得，故.設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.19.已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值并求出在上的〖解析〗式；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題可知為上的奇函數(shù)，故；又，即，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，又為奇函數(shù)，所以，所以故在上的〖解析〗式為.（2）（法一）若，則或，解得，所以的取值范圍為.（法二）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞減，且；時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，則在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時(shí)，，即的取值范圍為.20.已知函數(shù)．（1）若，且關(guān)于x不等式的解集是，求的最小值；（2）設(shè)關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍解：（1）因?yàn)椋谊P(guān)于x的不等式的解集是，所以和是方程的兩根，所以．所以＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式在上恒成立，所以，所以，解得，所以a的取值范圍為．21.某企業(yè)為積極響應(yīng)國(guó)家垃圾分類號(hào)召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，新上一個(gè)把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目．已知該企業(yè)日加工處理量x（單位：噸）最少為70噸，最多為100噸．日加工處理總成本（單位：元）與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價(jià)為110元．（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時(shí)，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時(shí)該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（2）為了使該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對(duì)該企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案共有兩種：①每日進(jìn)行定額財(cái)政補(bǔ)貼，金額為2300元；②根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，金額為元．如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得最大利潤(rùn)，你會(huì)選擇哪種補(bǔ)貼方案？為什么？解：（1）由題意可得，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本為，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以每日處理廚余垃圾80噸時(shí)，平均成本最低，又，所以此時(shí)處理廚余垃圾處于虧損狀態(tài).（2）若該企業(yè)采用第一種補(bǔ)貼方案，設(shè)企業(yè)每日獲利為元，由題意可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，企業(yè)每日獲利最大，為1550元，若該企業(yè)采用第二種補(bǔ)貼方案，設(shè)該企業(yè)每日獲利為元，由題意可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，企業(yè)每日獲利最大，為1800元，顯然，如果我是決策者，我會(huì)選擇方案二，企業(yè)每日獲利較大.22.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，且.（1）判斷的奇偶性；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，求在區(qū)間上的最大值；（3）若對(duì)所有的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）為奇函數(shù)，證明如下：令，則，所以，令，則，所以：對(duì)任意恒成立，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）在上是減函數(shù)，證明如下：任取且，則，所以，所以在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為，因?yàn)?，所以，故在區(qū)間上的最大值為.（3）由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閷?duì)所有的，恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，即，解得：或.故的取值范圍為.廣東省東莞市四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，一個(gè)選項(xiàng)符合要求，選對(duì)得5分，錯(cuò)選得0分.）1.若集合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知中含有元素0，1，2，因此，A、B均錯(cuò)；集合中比集合多一個(gè)元素，因此應(yīng)有，C錯(cuò)；由空集是任何集合子集知D正確．故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全稱命題的否定是存在性命題，所以命題“”的否定是.故選：C.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，故是的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，函數(shù)定義域應(yīng)滿足，解得.故選：C.5.設(shè)函數(shù)，則的值為（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)，∴.故選：B.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，，所?故選：D.7.下列可能是函數(shù)的圖象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)镽，排除選項(xiàng)AB，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D.故選：C.8.已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，所以函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.）9.以下結(jié)論正確是（）A.不等式恒成立B.存在，使得不等式成立C.若，則D.若正實(shí)數(shù)滿足，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，不等式恒成立的條件是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故B正確；對(duì)于C，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；對(duì)于D，若正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗在兩邊同除以負(fù)數(shù)得，即，與A項(xiàng)矛盾.由，，得，與B項(xiàng)矛盾.由，，，故不一定小于0，故C不正確.由得，又，兩式相乘得，兩邊同除以負(fù)數(shù)，可得，故D正確.故選：ABC.11.函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.，C.有最大值 D.最小值為0〖答案〗BD〖解析〗令，即，解得或，所以可知，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B正確；由（或）可知，函數(shù)無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最小值為0，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.在上為減函數(shù) B.的最大值是1C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，又函數(shù)偶函數(shù)，所以在上為增函數(shù)；故A錯(cuò)；因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以，，則，所以，則，即，所以以為周期；則，所以關(guān)于直線對(duì)稱，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，又，所以；因?yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)時(shí)，；又是以為周期的函數(shù)，所以，，則，故B正確；因?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù)，所以，因此，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；即C正確；因?yàn)闀r(shí)，顯然恒成立，函數(shù)是以為周期的函數(shù)，所以在上也滿足恒成立；故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分.）13.不等式的解集是________.〖答案〗〖解析〗不等式等價(jià)于，由于方程的解為：或，所以.故〖答案〗為：.14.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，或，，則圖中陰影部分所表示的集合是____________．〖答案〗〖解析〗由圖可知，陰影部分為，∵或，∴，∴．.故〖答案〗為：.15.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則不等式的解集為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以．又函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，故所求不等式的解集為．故〖答案〗為：.16.定義：函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為在區(qū)間上的極差，記作.①若，則____；②若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.〖答案〗1〖解析〗①由題意知，，所以，所以；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要滿足，只需，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足，綜上所述，.故〖答案〗為：1.四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的〖答案〗無(wú)效.）17.已知集合.（1）若，求（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由題意，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴當(dāng)，即，即時(shí)滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，即.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求冪函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.解：（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿足題意.故.（2）由（1）得，故.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.19.已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值并求出在上的〖解析〗式；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由題可知為上的奇函數(shù)，故；又，即，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，又為奇函數(shù)，所以，所以故在上的〖解析〗式為.（2）（法一）若，則或，解得，所以的取值范圍為.（法二）由（1）可知，時(shí)，在上單調(diào)遞減，且；時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，則在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，即，所以?dāng)時(shí)，，即的取值范圍為.20.已知函數(shù)．（1）若，且關(guān)于x不等式的解集是，求的最小值；（2）設(shè)關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍解：（1）因?yàn)?，且關(guān)于x的不等式的解集是，所以和是方程的兩根，所以．所以＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.（2）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式在上恒成立，所以，所以，解得，所以a的取值范圍為．21.某企業(yè)為積極響應(yīng)國(guó)家垃圾分類號(hào)召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，新上一個(gè)把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目．已知該企業(yè)日加工處理量x（單位：噸）最少為70噸，最多為100噸．日加工處理總成本（單位：元）與日加工處