2023-2024學(xué)年四川省成都市新都區(qū)高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市新都區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），則z為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則的面積為（）A.120 B.60 C.30 D.15〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈娜旤c(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，所以，，，因?yàn)?，所以，則直角三角形的面積為.故選：C.3.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移后得函數(shù)的圖象，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向左平移后得函數(shù)圖象，即.故選：D.4.在正四棱錐的所有棱長均相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取線段中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為，不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長均為2，則，，所以.故選：D.5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，，，以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，將四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則此旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗此旋轉(zhuǎn)體的表面積為底面半徑為4、高為3的圓錐的側(cè)面積加上底面半徑為4、高為5的圓柱的側(cè)面積再加上該圓柱的一個(gè)底面面積；故所求為.故選：C.6.中，角所對的邊分別為，，，交于點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C.6 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，得到，在中，，，由余弦定理得到，所以，即，所以，得?故選：B.7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（）A.14 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗如圖：連接，因?yàn)橹虚g是邊長為2的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，所以，，，.所以.故選：A.8.四面體中，若，，，則此四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，，因?yàn)?，所以，這表明點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，注意到，，所以由正弦定理可得，解得，所以外接球球心在的延長線上，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，所以此四面體的外接球的表面積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)都是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.方程無復(fù)數(shù)解 B.若，則C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，方程有復(fù)數(shù)解，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，解得，即，故B正確；對于C，設(shè)，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列命題正確的是（）A.一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺(tái)和一個(gè)小三棱錐，則此三棱臺(tái)與小三棱錐的體積比為7B.圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48C.圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48D.若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形至少有一組對邊互相平行〖答案〗ACD〖解析〗對于A，一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺(tái)和一個(gè)小三棱錐，則截面三角形與三棱錐底面三角形相似，相似比為，面積比為，同理小三棱錐與大三棱錐的高的比為，所以此三棱臺(tái)與小三棱錐的體積比為，故A正確；對于BC，圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則母線，設(shè)截面等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)鈍角，即頂角可以在某個(gè)時(shí)刻取到直角，所以截面三角形面積的最大值為，若圓錐的底面半徑，高，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)銳角，即頂角的正弦值在截面與軸截面重合時(shí)，取到最大值，且最大值為，所以截面三角形面積的最大值為，故B錯(cuò)誤，C正確；對于D，如圖所示：要使截面是四邊形，可能有以下情形，根據(jù)對稱性，在這里只考慮豎著切，且截面平行于平行六面體的某個(gè)面的情形也只畫了一種特殊情形，由以上可以看出，若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形要么是梯形，要么是平行四邊形，故D正確.故選：ACD.11.的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若，，下列結(jié)論正確的是（）A.的內(nèi)切圓半徑為 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗取邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?nèi)心P、外心O、重心G都在中線上，且，，內(nèi)切圓半徑，對于A，由得，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，，故B正確；對于C，由余弦定理得，，所以，所以的外接圓半徑，，所以，所以，，故C錯(cuò)誤；對于D，的外接圓半徑，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，把〖答案〗填在答題卡上.）12.若，則______．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴.故〖答案〗為：．13.歐拉公式：（i是虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，可求出的最大值為______．〖答案〗2〖解析〗，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為2.故〖答案〗為：2.14.如圖，平面四邊形中，，，，，沿將折起成直二面角（折起后原來平面圖形的D點(diǎn)變?yōu)榭臻g圖形的P點(diǎn)），則折起后四面體的內(nèi)切球半徑為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，從而，設(shè)所求為，三棱錐的表面積、體積分別為，，而，，從而，解得.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．）15.已知函數(shù)，其中，且函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的值域．解：（1）．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為，設(shè)最小正周期為，則，即，所以，又，所以，所以．（2）∵，∴，由正弦型函數(shù)的圖象可得．16.如圖，邊長為6的正中，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)M在線段上．（1）若，求的值；（2）若，求x及的值．解：（1）∵，而，∴，則即為所求．（2）∵，得，∴，又∵，∴，∵M(jìn)、B、D三點(diǎn)共線，∴，則即為所求x的值．則，∴，∴，∴，同理可求：，∴，∴即為所求．17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求角C的大??；（2）設(shè)D是上一點(diǎn)，且，，且，求的面積．解：（1）∵，由正弦定理知：，∴，∵，，∴，∵，．（2）由題意得，，，，方法一：在中，，在中，，∵，∴，化簡得．在中，，∴，整理得．又∵，則，∴，則，∴，即為的面積．方法二：∵，∴，，∵且得：，又∵，則，∴，則，∴．18.如圖，四棱錐中，底面是邊長為4菱形，，，E為中點(diǎn)，與交點(diǎn)為O．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求點(diǎn)C到平面的距離．解：（1）設(shè)，連結(jié)，∵E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面.連結(jié)，∵，O為中點(diǎn)，∴，又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，則，則即為所求點(diǎn)C到平面的距離．19.（1）若對恒成立，求的值；（2）求的值域；（3）正五棱錐的所有棱長均為，求此正五棱錐的表面積．解：（1）∵∴，則．（2）由，【或】∵，∴，【或】令，則，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋?）∵，又因?yàn)椋?，即，變形得到，所以（舍）或（舍）或，∴，所以，又因?yàn)檎謇忮F的所有棱長均為，如圖，為底面的中心，取中點(diǎn)，連接，易知，，由，得到，∴，而，∴．四川省成都市新都區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），則z為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則的面積為（）A.120 B.60 C.30 D.15〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈娜旤c(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，所以，，，因?yàn)?，所以，則直角三角形的面積為.故選：C.3.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移后得函數(shù)的圖象，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向左平移后得函數(shù)圖象，即.故選：D.4.在正四棱錐的所有棱長均相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取線段中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為，不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長均為2，則，，所以.故選：D.5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，，，以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，將四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則此旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗此旋轉(zhuǎn)體的表面積為底面半徑為4、高為3的圓錐的側(cè)面積加上底面半徑為4、高為5的圓柱的側(cè)面積再加上該圓柱的一個(gè)底面面積；故所求為.故選：C.6.中，角所對的邊分別為，，，交于點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C.6 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，得到，在中，，，由余弦定理得到，所以，即，所以，得?故選：B.7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（）A.14 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗如圖：連接，因?yàn)橹虚g是邊長為2的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，所以，，，.所以.故選：A.8.四面體中，若，，，則此四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，，因?yàn)?，所以，這表明點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，注意到，，所以由正弦定理可得，解得，所以外接球球心在的延長線上，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，所以此四面體的外接球的表面積為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)都是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.方程無復(fù)數(shù)解 B.若，則C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，方程有復(fù)數(shù)解，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，解得，即，故B正確；對于C，設(shè)，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列命題正確的是（）A.一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺(tái)和一個(gè)小三棱錐，則此三棱臺(tái)與小三棱錐的體積比為7B.圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48C.圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48D.若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形至少有一組對邊互相平行〖答案〗ACD〖解析〗對于A，一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺(tái)和一個(gè)小三棱錐，則截面三角形與三棱錐底面三角形相似，相似比為，面積比為，同理小三棱錐與大三棱錐的高的比為，所以此三棱臺(tái)與小三棱錐的體積比為，故A正確；對于BC，圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則母線，設(shè)截面等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)鈍角，即頂角可以在某個(gè)時(shí)刻取到直角，所以截面三角形面積的最大值為，若圓錐的底面半徑，高，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)銳角，即頂角的正弦值在截面與軸截面重合時(shí)，取到最大值，且最大值為，所以截面三角形面積的最大值為，故B錯(cuò)誤，C正確；對于D，如圖所示：要使截面是四邊形，可能有以下情形，根據(jù)對稱性，在這里只考慮豎著切，且截面平行于平行六面體的某個(gè)面的情形也只畫了一種特殊情形，由以上可以看出，若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形要么是梯形，要么是平行四邊形，故D正確.故選：ACD.11.的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若，，下列結(jié)論正確的是（）A.的內(nèi)切圓半徑為 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗取邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?nèi)心P、外心O、重心G都在中線上，且，，內(nèi)切圓半徑，對于A，由得，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，，故B正確；對于C，由余弦定理得，，所以，所以的外接圓半徑，，所以，所以，，故C錯(cuò)誤；對于D，的外接圓半徑，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，把〖答案〗填在答題卡上.）12.若，則______．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴.故〖答案〗為：．13.歐拉公式：（i是虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，可求出的最大值為______．〖答案〗2〖解析〗，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為2.故〖答案〗為：2.14.如圖，平面四邊形中，，，，，沿將折起成直二面角（折起后原來平面圖形的D點(diǎn)變?yōu)榭臻g圖形的P點(diǎn)），則折起后四面體的內(nèi)切球半徑為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，而平面，從而，設(shè)所求為，三棱錐的表面積、體積分別為，，而，，從而，解得.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．）15.已知函數(shù)，其中，且函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的值域．解：（1）．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為