2024屆福建省泉州市鯉城區(qū)高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市鯉城區(qū)2024屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集是實數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵全集是實數(shù)集，集合，∴，∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合去掉中的元素,即.故選：A.2.若（，2，3，…，n），則數(shù)據(jù)組和，（）A.有相同的平均數(shù) B.有相同的中位數(shù)C.有相同方差 D.有相同的眾數(shù)〖答案〗C〖解析〗由（，4，3，…，n），得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都相應地比數(shù)據(jù)組的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)大4，ABD錯誤；數(shù)據(jù)組與數(shù)據(jù)組相對于各自平均數(shù)的波動大小不變，因此兩個數(shù)據(jù)組的方差相同，C正確.3.若復數(shù)z滿足，則z的一個可能值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，由，得，即，整理得，顯然選項ACD不滿足要求，B符合要求.故選：B.4.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，，整理得，即，由，得，所以.故選：D.5.若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，，則為直線OB上的點C與點A之間的距離，由時，取得最小值，得C為線段OB的中點且，由于，所以.故選：B.6.已知是圓錐的軸截面，點C在SA上，且.若過點C且平行于SB的平面恰過點，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由過點C且平行于SB的平面恰過點O，知，根據(jù)二面角定義知，因為O是AB的中點，所以C是SA的中點，且，因為，所以是邊長為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，所以該圓錐的體積為.故選：C.7.若函數(shù)，，則（）A.函數(shù)，的圖象關于直線對稱B.，使得C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對A：當時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且增長速度比快，即的圖象在上方；同理的圖象也在上方.所以函數(shù)，的圖象關于直線對稱是不可能的，故A錯；對B：設（），則，（），設（），則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，即.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以（因為，故不能取“”）.所以在恒成立，故B錯；對C：因為，.因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對D：由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.所以.故D錯.8.若坐標滿足方程的點的軌跡為曲線C，則以下結論不成立的是（）A.曲線C關于原點對稱 B.C. D.曲線C上的點與原點之間距離的最大值為1〖答案〗D〖解析〗對于A，曲線上任意點，顯然成立，即點在曲線C上，因此曲線C關于原點對稱，A正確；對于B，由，得，因此，即，B正確；對于C，令，由消去得，則有，解得，C正確；對于D，令，得，解得或，顯然點在曲線C上，點到原點距離，D錯誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)，則（）A.若，則既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)B.若為奇函數(shù)，則C.若，則存在兩個不同的零點D.若的定義域為R，則〖答案〗BCD〖解析〗對A：時，，由可得定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對B：若為奇函數(shù)，則，對函數(shù)定義域中任意成立，所以，而時，函數(shù)定義域為，故B正確；對于C：當時，由可得，解得或，故C正確；對于D：若的定義域為R，則對任意成立，于是，當時，由知恒成立，當時，需恒成立，即恒成立，所以，綜上時即對任意不等式組恒成立，故D正確.故選：BCD.10.已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點分別為，，則（）A.C的方程為B.C的離心率為2C.若點為雙曲線C上支上的任意一點，，則的最小值為D.若點為雙曲線C上支上一點，則的內(nèi)切圓面積為〖答案〗BC〖解析〗對于A，雙曲線C：的漸近線方程，則，于是雙曲線C的方程為，A錯誤；對于B，雙曲線C的離心率，B正確；對于C，，，當且僅當點為線段與雙曲線上支的交點時取等號，C正確；對于D，由點在雙曲線上支上，得，，的周長，設的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，因此的內(nèi)切圓面積為，D錯誤.故選：BC.11.已知隨機變量X分布列如下：123…n…若數(shù)列等差數(shù)列，則（）A.若n為奇數(shù)，則 B.C.若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D.〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)列是等差數(shù)列且，得，所以，對于A，當n為奇數(shù)時，，故A正確；對于B，由得，故選項B錯誤；對于C，若數(shù)列單調(diào)遞增，則可得，故，故選項C正確；對于D：由，其中，所以，因為，，所以，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______.（用含n的式子表示）〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.13.若將正方體繞著棱AB旋轉后，CD所在位置為的位置，則直線和平面所成的角為______.〖答案〗〖解析〗如圖，由對稱性，不妨設點在正方形內(nèi)，則為頂角的等腰三角形，，所以平面與平面的夾角為，旋轉后顯然與平面垂直，所以直線和平面所成的角為.14.若過拋物線C：的焦點F，且斜率為的直線交C于點和，交C的準線于點，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗拋物線C：的焦點為，準線方程為，設直線AB的方程為，由消去得，顯然，，而，因此，當且僅當，即時取等號，所以則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，棱柱中，側棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）設，在平面上是否存在點P，使？若存在，指出P點的位置：若不存，請說明理由.（1）證明：由E，F(xiàn)分別為和的中點，得，而平面，平面，所以平面.（2）解：棱柱中，側棱底面，取AB中點O，中點M，連接，則，平面，而平面，則有，又，則，即直線兩兩垂直，以O為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，假設在平面上存在點P，使，設，，，即，顯然，由，得，因此，即，此時，所以當時，存在唯一的點，即棱的中點，使.16.已知函數(shù)（且）.（1）若，求a；（2）若，且對于任意，在區(qū)間上總存在極值，求的取值范圍.解：（1）當時，，由得：（），所以.當時，，由得：（），所以.所以.（2）時，.所以，（）.所以，（）對于任意，在區(qū)間上總存在極值就是：有兩個不相等的實根，且必有一根在區(qū)間內(nèi).因為函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，所以必有：.由，設，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，由.綜上可知：.所以，所求的取值范圍是：17.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.（1）寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；（2）若外的點D滿足，，求面積的最大值.解：（1）逆命題q為：已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，若是直角三角形，則.命題q的為假命題，理由如下：由為直角三角形，且，得或，而，當時，，當時，，因此逆命題q是假命題.（2）由于外的點D滿足，而，則四點共圓，由，得，且，設，則，在中，由正弦定理得外接圓直徑，，在中，，在中，，則的面積，顯然，，因此當時，，所以面積的最大值為.18.測試發(fā)現(xiàn)，某位慣用腳為右腳的足球球員甲在罰點球時，踢向球門左側、中間和右側的概率分別為0.5，0.1和0.4，并且，踢向左側、中間和右側時分別有0.1，0.2和0.2的概率踢飛或踢偏（沒有射正）.守門員在撲點球一般會提前猜測方向.測試發(fā)現(xiàn)，某位守門員乙在撲點球時猜右側（即足球運動員甲在罰點球時，踢向球門左側）、中間和左側（即足球運動員甲在罰點球時，踢向球門右側）的概率分別為0.6，0.1和0.3.當他猜中方向為左側或者右側來時撲出點球的概率均為0.5，當他猜中方向為中間時，撲出點球的的概率為0.8.（1）求球員甲面對守門員乙時，第1次罰點球罰丟的概率；（2）若球員甲在上一輪罰丟點球，則下一輪面對球員甲罰點球時，守門員乙的信心將會激增，在猜中方向的前提下，所有方向撲出點球概率都會在原來的基礎上增加0.1；若球員甲在上一輪罰進點球，守門員乙將會變得著急，會有0.2的概率提前移動，在守門員乙提前移動的情況下，若球員甲罰丟點球，則可獲得重罰機會.已知守門員乙提前移動時撲出三個方向點球的概率均會增加0.1.假定因為守門員乙提前移動球員甲重罰點球仍屬于第二輪，且重罰時守門員乙不再提前移動.（i）求球員甲第二輪罰進點球的概率；（ii）設為球員甲在第k輪罰進點球的概率，若滿足對于，，直接寫出符合題意的.（注：最終結果均保留兩位小數(shù).）解：（1）設球員甲罰點球時，踢向左側、中間、右側的事件分別為，球員甲踢飛或踢偏（沒有射正）的事件為D，守門員乙在撲點球時撲向右側、中間、左側的事件分別為，守門員乙撲出點球的事件為E，則，，，設球員甲第1次罰點球罰丟的事件為F，則為互斥事件，則.（2）（i）當球員甲在上一輪罰丟點球時，守門員乙所有方向撲出點球的概率都增加0.1，或者守門員乙提前移動時，所有方向撲出點球的也增加0.1，因此球員甲第二輪罰進點球包含以下4個互斥事件：①第一輪罰進，第二輪守門員乙未提前移動且罰進，概率為；②第一輪罰進，第二輪守門員乙提前移動且罰進，此時罰丟點球的概率為，此時罰進的點球的概率為；③第一輪罰進，第二輪守門員乙提前移動未罰進，此時罰進的概率為；④第一輪未罰進，第二輪罰進，此時罰進的概率為，所以第二輪球員甲罰進的概率為.（ii）.由（1）及（2）（i）知，，則第三輪的情況如第二輪時情形，但第二輪罰進點球的概率增加了，因此第三輪罰進點球的概率比第二輪時要高，從而隨的增大而增大，于是若滿足對于，均有，則.19.在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運動的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點.（1）將光從點A傳播到點B的所需的時間關于x的函數(shù)的〖解析〗式；（2）費爾馬認為：光總是沿著最節(jié)省時間的路線傳播，設點B在x軸上的射影為C.根據(jù)費爾馬的結論，解決以下問題：（i）證明：.（ii）若，，，求光線從點A傳播到點B所經(jīng)過路程的取值范圍.解：（1）由勾股定理得，，所以，，（2）（i），由于在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，又，，由零點存在性定理得，存在唯一的，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，據(jù)此，并運用費爾馬的結論，當時，光線所經(jīng)過的路程最短，令得，，故，又，故；（ii）當，，時，，整理得，，故點的軌跡為長軸長為4，短軸長為的橢圓在坐標軸第四象限的部分，光線從運動到點所經(jīng)過的路程為，其中，代入得；故光線從點A傳播到點B所經(jīng)過路程的取值范圍為.福建省泉州市鯉城區(qū)2024屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集是實數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵全集是實數(shù)集，集合，∴，∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合去掉中的元素,即.故選：A.2.若（，2，3，…，n），則數(shù)據(jù)組和，（）A.有相同的平均數(shù) B.有相同的中位數(shù)C.有相同方差 D.有相同的眾數(shù)〖答案〗C〖解析〗由（，4，3，…，n），得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都相應地比數(shù)據(jù)組的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)大4，ABD錯誤；數(shù)據(jù)組與數(shù)據(jù)組相對于各自平均數(shù)的波動大小不變，因此兩個數(shù)據(jù)組的方差相同，C正確.3.若復數(shù)z滿足，則z的一個可能值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，則，由，得，即，整理得，顯然選項ACD不滿足要求，B符合要求.故選：B.4.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，，整理得，即，由，得，所以.故選：D.5.若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設，，則為直線OB上的點C與點A之間的距離，由時，取得最小值，得C為線段OB的中點且，由于，所以.故選：B.6.已知是圓錐的軸截面，點C在SA上，且.若過點C且平行于SB的平面恰過點，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由過點C且平行于SB的平面恰過點O，知，根據(jù)二面角定義知，因為O是AB的中點，所以C是SA的中點，且，因為，所以是邊長為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，所以該圓錐的體積為.故選：C.7.若函數(shù)，，則（）A.函數(shù)，的圖象關于直線對稱B.，使得C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對A：當時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且增長速度比快，即的圖象在上方；同理的圖象也在上方.所以函數(shù)，的圖象關于直線對稱是不可能的，故A錯；對B：設（），則，（），設（），則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，即.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以（因為，故不能取“”）.所以在恒成立，故B錯；對C：因為，.因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對D：由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.所以.故D錯.8.若坐標滿足方程的點的軌跡為曲線C，則以下結論不成立的是（）A.曲線C關于原點對稱 B.C. D.曲線C上的點與原點之間距離的最大值為1〖答案〗D〖解析〗對于A，曲線上任意點，顯然成立，即點在曲線C上，因此曲線C關于原點對稱，A正確；對于B，由，得，因此，即，B正確；對于C，令，由消去得，則有，解得，C正確；對于D，令，得，解得或，顯然點在曲線C上，點到原點距離，D錯誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)，則（）A.若，則既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)B.若為奇函數(shù)，則C.若，則存在兩個不同的零點D.若的定義域為R，則〖答案〗BCD〖解析〗對A：時，，由可得定義域為，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對B：若為奇函數(shù)，則，對函數(shù)定義域中任意成立，所以，而時，函數(shù)定義域為，故B正確；對于C：當時，由可得，解得或，故C正確；對于D：若的定義域為R，則對任意成立，于是，當時，由知恒成立，當時，需恒成立，即恒成立，所以，綜上時即對任意不等式組恒成立，故D正確.故選：BCD.10.已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點分別為，，則（）A.C的方程為B.C的離心率為2C.若點為雙曲線C上支上的任意一點，，則的最小值為D.若點為雙曲線C上支上一點，則的內(nèi)切圓面積為〖答案〗BC〖解析〗對于A，雙曲線C：的漸近線方程，則，于是雙曲線C的方程為，A錯誤；對于B，雙曲線C的離心率，B正確；對于C，，，當且僅當點為線段與雙曲線上支的交點時取等號，C正確；對于D，由點在雙曲線上支上，得，，的周長，設的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，因此的內(nèi)切圓面積為，D錯誤.故選：BC.11.已知隨機變量X分布列如下：123…n…若數(shù)列等差數(shù)列，則（）A.若n為奇數(shù)，則 B.C.若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D.〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)列是等差數(shù)列且，得，所以，對于A，當n為奇數(shù)時，，故A正確；對于B，由得，故選項B錯誤；對于C，若數(shù)列單調(diào)遞增，則可得，故，故選項C正確；對于D：由，其中，所以，因為，，所以，故選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______.（用含n的式子表示）〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.13.若將正方體繞著棱AB旋轉后，CD所在位置為的位置，則直線和平面所成的角為______.〖答案〗〖解析〗如圖，由對稱性，不妨設點在正方形內(nèi)，則為頂角的等腰三角形，，所以平面與平面的夾角為，旋轉后顯然與平面垂直，所以直線和平面所成的角為.14.若過拋物線C：的焦點F，且斜率為的直線交C于點和，交C的準線于點，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗拋物線C：的焦點為，準線方程為，設直線AB的方程為，由消去得，顯然，，而，因此，當且僅當，即時取等號，所以則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，棱柱中，側棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）設，在平面上是否存在點P，使？若存在，指出P點的位置：若不存，請說明理由.（1）證明：由E，F(xiàn)分別為和的中點，得，而平面，平面，所以平面.（2）解：棱柱中，側棱底面，取AB中點O，中點M，連接，則，平面，而平面，則有，又，則，即直線兩兩垂直，以O為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，假設在平面上存在點P，使，設，，，即，顯然，由，得，因此，即，此時，所以當時，存在唯一的點，即棱的中點，使.16.已知函數(shù)（且）.（1）若，求a；（2）若，且對于任意，在區(qū)間上總存在極值，求的取值范圍.解：（1）當時，，由得：（），所以.當時，，由得：（），所以.所以.（2）時，.所以，（）.所以，（）對于任意，在區(qū)間上總存在極值就是：有兩個不相等的實根，且必有一根在區(qū)間內(nèi).因為函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，所以必有：.由，設，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，由.綜上可知：.所以，所求的取值范圍是：17.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.（1）寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；（2）若外的點D滿足，，求面積的最大值.解：（1）逆命題q為：已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，若是直角三角形，則.命題q的為假命題，理由如下：由為直角三角形，且，得或，而，當時，，當時，，因此逆命題q是假命題.（2）由于外的點D滿足，而，則四點共圓，由，得，且，設，則，在中，由正弦定理得外接圓直徑，，在中，，在中，，則的面積，顯然，，因此當時，，所以面積的最大值為.18.測試發(fā)現(xiàn)，某位慣用腳為右腳的足球球員甲在罰點球時，踢向球門左側、中間和右側的概率分別為0.5，0.1和0.4，并且，踢向左側、中間和右側時分別有0.1，0.2和0.2的概率踢飛或踢偏（沒有射正）.守門員在撲點球一般會提前猜測方向.測試發(fā)現(xiàn)，某位守門員乙在撲點球時猜右側（即足球運動員甲在罰點球時，踢向球門左側）、中間和左側（即足球運動員甲在罰點球時，踢向球門右側）的概率分別為0.6，0.1和0.3.當他猜中方向為左側或者右側來時撲出點球的概率均為0.5，當他猜中方向為中間時，撲出點球的的概率為0.8.（1）求球員甲面對守門員乙時，第1次罰點球罰丟的概率；（2）若球員甲在上一輪罰丟點球，則下一輪面對球員甲罰點球時，守門員乙的信心將會激增，在猜中方向的前提下，所有方向撲出點球概率都會在原來的基礎上增加0.1；若球員甲在上一輪罰進點球，守門員乙將會變得著急，會有0.2的概率提前移動，在守門員乙提前移動的情況下，若球員甲罰丟點球，則可獲得重罰機會.已知守門員乙提前移動時撲出三個方向點球的概率均會增加0.1.假定因為守門員乙提前移動球員甲重罰點球仍屬于第二輪，且重罰時守門員乙不再提前移動.（i）求球員甲第二輪罰進點球的概率；（ii）設為球員甲在第k輪罰進點球的概率，若滿足對于，，直接寫出符合題意的.（注：最