2024屆河南省濮陽市高三第三次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.2.若，則化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可知，.故選：B.3.在的展開式中，第8項的系數(shù)為（）A. B.144 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗對有，則.

故選：A.4.已知關(guān)于的方程的一個根為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由可得，故，，即.故選：C.5.在長方體中，與平面所成的角為與所成的角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，由長方體的性質(zhì)可得平面，故與平面所成的角為與相等，又平面，故平面，即，又，故與所成的角與與所成角相等，即與相等，又，故.故選：C.6.有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對立事件分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對于②為奇函數(shù)；對于③為奇函數(shù)；對于④為偶函數(shù)；對于⑤：定義域為，為非奇非偶函數(shù)；對于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A、C錯誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯誤；又，，所以，故D正確.故選：D.7.已知雙曲線的左?右頂點分別為是右支上一點，直線與直線的交點分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，設(shè)動點，則，即，設(shè)直線的斜率分別為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，因為，，則，即，可知直線方程為：，則直線方程為：，令得，，即，，則，由正弦定理得：，，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A8.下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，等價于，設(shè)，則，當時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，故A錯；對于B，等價于，等價于，等價于，等價于，又，故B錯；對于C，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；故，即，故，則，即，故C錯誤；對于D，，等價于，等價于，即，令，則等價于，即，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，令，則，所以，此時在上單調(diào)遞增，，因為，所以，所以兩邊取對數(shù)得，所以由上即，即，所以，所以，即，所以，即，故D對.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知平面向量，則下列說法正確的有（）A.一定可以作為一個基底B.一定有最小值C.一定存在一個實數(shù)使得D.的夾角的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對A：若，即，即，此時不能作基底，故A錯誤；對B：，故有最小值，故B正確；對C：若，則有即，即，即，解得，即當時，，故C正確；對D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（）A.的圖象可由的圖象平移得到B.在上單調(diào)遞增C.圖象的一個對稱中心為D.圖象的一條對稱軸為直線〖答案〗BD〖解析〗，因為最小正周期為，所以，所以，A：由以上〖解析〗式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯誤；B：當時，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯誤；D：當時，，此時為最小值，所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；故選：BD.11.空間直角坐標系中的動點的軌跡為，其中，則下列說法正確的有（）A.存在定直線，使得上的點到的距離是定值B.存在定點，使得上的點到的距離為定值C.的長度是個定值，且這個定值小于14D.是上任意兩點，則的距離的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗由題意空間直角坐標系中的動點的軌跡為，其中，可知，點的軌跡為以坐標原點為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計旋轉(zhuǎn)兩次兩周。對于A，為以坐標原點為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計旋轉(zhuǎn)兩次兩周，所以存在定直線即為軸，使得上的點到的距離是定值為1，A正確；對于B，根據(jù)軌跡可得不存在定點，使得上的點到的距離為定值，B錯誤；對于C，軌跡的長度是，C正確；對于D,是上任意兩點，則的距離的最大值為4,D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標為______.〖答案〗〖解析〗對于拋物線，，其焦點坐標為，而拋物線是由向上平移一個單位形成的，所以拋物線的焦點坐標為.13.如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則__________；__________.〖答案〗〖解析〗在中，可知，因為，且為的平分線，可知，則，在中，可得，在中，可得，所以；因為，，中，由正弦定理可得，則，解得，由正弦定理可得，且為的平分線，則，可得，在中，由正弦定理可得，在中，可知，則，在中，可知，在中，可知，所以.故〖答案〗為：；.14.已知，且，則的最小值為__________.〖答案〗1〖解析〗，注意到，如圖：設(shè)等邊三角形的邊長為1，分別為上的點，設(shè)，且，故,即，故，即，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.多年統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明如果甲?乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為，乙每局比賽獲勝的概率為.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最先獲得三局勝利者獲得冠軍）.（1）現(xiàn)在比賽正在進行，而且乙暫時以領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；（2）若本次決賽最終甲以的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號之和的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由于乙以1：0領(lǐng)先，那么甲在接下來的比賽中，第局連勝3局獲得冠軍，或第局比賽中丟失1局，直到第5局獲勝而獲得冠軍，所以甲獲得冠軍的概率；（2）甲以的大比分獲得冠軍，表明第五局一定是甲獲勝，前四局中甲?乙比賽結(jié)果為平，即前四局比賽中，甲丟失了2局，分別是第1，2局；或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局，所以的取值為，34567.16.已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且其前項和.（1）證明：是等差數(shù)列，并求；（2）如果，求數(shù)列的前項和.（1）證明：當時，或，因為，所以，，兩式相減得，因為，所以，故是首項為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）解：由（1）知，，，則，，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，，，，為正三角形.（1）證明：在平面上的射影為的外心（外接圓的圓心）；（2）當二面角為時，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖所示，因為在梯形中，，又三角形為正三角形，所以.在平面上的射影為，即平面，連接，由，為公共邊，有，所以，即為的外心.（2）解：等腰梯形中，取中點，連接，由，，則四邊形為平行四邊形，有，又，則是邊長為2的正三角形，取中點，所以，以為原點，所在直線分別為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.在正中，，由二面角的平面角的定義可知為二面角的平面角，則.，，，則有，在正中，，由，有，則，則.設(shè)平面的法向量為，有令，得，則.又，所以.18.已知函數(shù).（1）如果，求曲線在處的切線方程；（2）如果對于任意的都有且，求實數(shù)滿足的條件.解：（1）當時，，記，則，所以切線方程為，即；（2），且，，所以有，，，令，，，如果在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，此時與矛盾，故，令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，，而，故由零點存在定理，可知存在，使得，也就是當時，，當時，，進一步分析可知存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得恒成立，必有，，，因為，所以由，如果，此時在上單調(diào)遞增，，滿足題意，如果在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恒成立，必有，所以當時，恒成立，綜上有.19.已知橢圓的左?右頂點分別為，上?下頂點分別為，記四邊形的內(nèi)切圓為，過上一點引圓的兩條切線（切線斜率均存在且不為0），分別交于點（異于）.（1）求直線與的斜率之積的值；（2）記為坐標原點，試判斷三點是否共線，并說明理由.解：（1）由題意得，故直線的方程為，即.由對稱性可知圓的圓心坐標為，因為點到直線的距離為，所以圓的半徑為，所以圓，設(shè)，則，由題可設(shè)圓的切線方程為，則圓心到切線的距離為，整理得，設(shè)過點所引的圓的兩條切線的斜率分別為，則，由，得，代入式中，可得，故直線與的斜率之積為；（2）不妨設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為，解得，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得，設(shè)，則，將代入，可得，由（1）可設(shè)直線的方程為，設(shè)，同理可得，因此，設(shè)直線，則，解得，將直線與橢圓聯(lián)立，則，設(shè)，則，將代入，得，設(shè)直線，同理可得，故，所以P，O，Q三點共線．河南省濮陽市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.2.若，則化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可知，.故選：B.3.在的展開式中，第8項的系數(shù)為（）A. B.144 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗對有，則.

故選：A.4.已知關(guān)于的方程的一個根為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由可得，故，，即.故選：C.5.在長方體中，與平面所成的角為與所成的角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，由長方體的性質(zhì)可得平面，故與平面所成的角為與相等，又平面，故平面，即，又，故與所成的角與與所成角相等，即與相等，又，故.故選：C.6.有以下6個函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對立事件分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對于②為奇函數(shù)；對于③為奇函數(shù)；對于④為偶函數(shù)；對于⑤：定義域為，為非奇非偶函數(shù)；對于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A、C錯誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯誤；又，，所以，故D正確.故選：D.7.已知雙曲線的左?右頂點分別為是右支上一點，直線與直線的交點分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，設(shè)動點，則，即，設(shè)直線的斜率分別為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，因為，，則，即，可知直線方程為：，則直線方程為：，令得，，即，，則，由正弦定理得：，，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：A8.下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，等價于，設(shè)，則，當時，，在上單調(diào)遞增；時，，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，故A錯；對于B，等價于，等價于，等價于，等價于，又，故B錯；對于C，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；故，即，故，則，即，故C錯誤；對于D，，等價于，等價于，即，令，則等價于，即，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，因為，所以，令，則，所以，此時在上單調(diào)遞增，，因為，所以，所以兩邊取對數(shù)得，所以由上即，即，所以，所以，即，所以，即，故D對.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知平面向量，則下列說法正確的有（）A.一定可以作為一個基底B.一定有最小值C.一定存在一個實數(shù)使得D.的夾角的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對A：若，即，即，此時不能作基底，故A錯誤；對B：，故有最小值，故B正確；對C：若，則有即，即，即，解得，即當時，，故C正確；對D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（）A.的圖象可由的圖象平移得到B.在上單調(diào)遞增C.圖象的一個對稱中心為D.圖象的一條對稱軸為直線〖答案〗BD〖解析〗，因為最小正周期為，所以，所以，A：由以上〖解析〗式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯誤；B：當時，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯誤；D：當時，，此時為最小值，所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；故選：BD.11.空間直角坐標系中的動點的軌跡為，其中，則下列說法正確的有（）A.存在定直線，使得上的點到的距離是定值B.存在定點，使得上的點到的距離為定值C.的長度是個定值，且這個定值小于14D.是上任意兩點，則的距離的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗由題意空間直角坐標系中的動點的軌跡為，其中，可知，點的軌跡為以坐標原點為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計旋轉(zhuǎn)兩次兩周。對于A，為以坐標原點為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計旋轉(zhuǎn)兩次兩周，所以存在定直線即為軸，使得上的點到的距離是定值為1，A正確；對于B，根據(jù)軌跡可得不存在定點，使得上的點到的距離為定值，B錯誤；對于C，軌跡的長度是，C正確；對于D,是上任意兩點，則的距離的最大值為4,D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標為______.〖答案〗〖解析〗對于拋物線，，其焦點坐標為，而拋物線是由向上平移一個單位形成的，所以拋物線的焦點坐標為.13.如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則__________；__________.〖答案〗〖解析〗在中，可知，因為，且為的平分線，可知，則，在中，可得，在中，可得，所以；因為，，中，由正弦定理可得，則，解得，由正弦定理可得，且為的平分線，則，可得，在中，由正弦定理可得，在中，可知，則，在中，可知，在中，可知，所以.故〖答案〗為：；.14.已知，且，則的最小值為__________.〖答案〗1〖解析〗，注意到，如圖：設(shè)等邊三角形的邊長為1，分別為上的點，設(shè)，且，故,即，故，即，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.多年統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明如果甲?乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為，乙每局比賽獲勝的概率為.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最先獲得三局勝利者獲得冠軍）.（1）現(xiàn)在比賽正在進行，而且乙暫時以領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；（2）若本次決賽最終甲以的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號之和的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由于乙以1：0領(lǐng)先，那么甲在接下來的比賽中，第局連勝3局獲得冠軍，或第局比賽中丟失1局，直到第5局獲勝而獲得冠軍，所以甲獲得冠軍的概率；（2）甲以的大比分獲得冠軍，表明第五局一定是甲獲勝，前四局中甲?乙比賽結(jié)果為平，即前四局比賽中，甲丟失了2局，分別是第1，2局；或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局，所以的取值為，34567.16.已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且其前項和.（1）證明：是等差數(shù)列，并求；（2）如果，求數(shù)列的前項和.（1）證明：當時，或，因為，所以，，兩式相減得，因為，所以，故是首項為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）解：由（1）知，，，則，，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，，，，為正三角形.（1）證明：在平面上的射影為的外心（外接圓的圓心）；（2）當二面角為時，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖所示，因為在梯形中，，又三角形為正三角形，所以.在平面上的射影為，即平面，連接，由，為公共邊，有，所以，即為的外心.（2）解：等腰梯形中，取中點，