2024屆遼寧省大連市部分學校高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市部分學校2024屆高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為集合，若，則，即集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.3.某質(zhì)點的位移與運動時間的關(guān)系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點坐標為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標依次為，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.質(zhì)點在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D.質(zhì)點在內(nèi)走過的路程為〖答案〗C〖解析〗由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，所以，故A錯誤；令，所以，又，所以，因為，所以或.又，所以，所以.故B錯誤；由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象得該質(zhì)點在內(nèi)的路程為，故D錯誤.故選：C.4.已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設(shè)坐標原點為O，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓C：的圓心為，半徑為2，直線l的方程可化為，于是l過定點，且，顯然，即，又，因此，設(shè)，，顯然，則，其中，當時等號成立，此時，，符合條件，所以的最大值為．故選：D.5.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗等價于，令，則，所以是增函數(shù)，所以等價于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：B．6.已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.7.已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因為，，，所以即，，顯然在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.8.如圖，平行四邊形中，，.現(xiàn)將沿起，使二面角大小為120°，則折起后得到的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，過點作，過點作，兩直線相交于點，因為，，所以，⊥，則⊥，由于⊥，故即為二面角的平面角，則，過點作⊥于點，因為⊥，⊥，，平面，故⊥平面，因為平面，所以⊥，又，平面，則⊥平面，，取的中點，則外接球球心在平面的投影為，即⊥平面，連接，，則，過點作，交直線于點，則，，，由余弦定理得，設(shè)，則，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，外接球表面積為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注這八個數(shù)字，抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球，事件A表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.10.如圖所示，在直三棱柱中，若，，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐表面積為B.點在線段上運動，則的最小值為C.、分別為、的中點，過點的平面截三棱柱，則該截面周長為D.點在側(cè)面及其邊界上運動，點在棱上運動，若直線，是共面直線，則點的軌跡長度為〖答案〗ABC〖解析〗對于A：在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，所以，，所以，所以三棱錐表面積，故A正確；對于B：將沿旋轉(zhuǎn)與共面且位于的異側(cè)，如圖所示，，即點在線段上運動，則的最小值為，故B正確，對于C：延長、，設(shè)，連接交于點，連接，則過的截面為如圖所示四邊形，因為，是的中點，故是的中點，又為的中點，所以為的重心，，，所以截面周長為，故C正確，對于D：平面，共面，所以平面，又點在側(cè)面及其邊界上運動，平面平面，所以點的軌跡為線段，且，故點的軌跡長度為，故D錯誤.故選：ABC11.已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點的直線與C交于，兩點，點為點在上的射影，線段與軸的交點為，線段的延長線交于點，則（）A.B.C.直線與相切D.（為坐標原點）有最大值〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點為，準線為，則，所以，故A錯誤；設(shè)，則，所以，則直線的方程為，令，得，即，所以，則，故，故B正確；因為，所以直線的方程為，由，消去整理得，顯然，所以直線（）與相切，故C正確；設(shè)，，：，由，可得，顯然，所以，，所以，，所以，所以當時有最大值，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為，點P是正八邊形邊上的一點，則的最大值為_________.〖答案〗〖解析〗由題意知，每個三角形的頂角為，，作垂直的延長線于點M，根據(jù)正八邊形的特征知，，設(shè)與所成的角為，則，所以，由的最大值為，所以的最大值為.13.函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數(shù)的〖解析〗式為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示.區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點，即，因為，所以，解得.故.14.我國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設(shè)，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)邊長為，邊長為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡得，可得，不妨設(shè)，如圖，作，以為原點建立平面直角坐標系，在中，設(shè)，由余弦定理得，解得，故，，且設(shè)，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如下圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．（1）證明：；（2）若，分別為，的中點，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因為平面，所以，由題意可知，等腰梯形的高為1，故等腰梯形的面積為：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴為的三等分點，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）解：取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，∴．∵，分別為，的中點，∴，∴，∴四點共面．連接交于，連接，則二面角即二面角．∵平面，平面，∴，易知四邊形為正方形，則，∵，∴，又，平面，平面，∴平面．∵，∴平面，∵平面，平面，∴，．∴是二面角的平面角，在中，，，∴，∴，∴二面角的余弦值為.16.水平相當?shù)募?、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望.解：（1）甲第三輪獲勝的基本事件有：{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲在第i輪獲勝”，則；（2）設(shè)事件“第輪甲輪空”，則，，，；（3）設(shè)一輪比賽中甲勝的局數(shù)為，則，，，，，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，局勝的局數(shù)為:（局）.17.已知橢圓短軸長為2，橢圓上一點到距離的最大值為3．（1）求的取值范圍；（2）當橢圓的離心率達到最大時，過原點斜率為的直線與交于兩點，分別與橢圓的另一個交點為．①是否存在實數(shù)，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；②記與交于點，求線段長度的取值范圍．解：（1）設(shè)，由題知，，即，則，即，記，則在上的最大值為9，對稱軸為，①當，即時，，成立；②當，即時，，當且僅當，即時等號成立，可知不成立；綜上，；（2）由（1）得，，所以當時，離心率達到最大，此時，橢圓，①存在，理由如下，設(shè)，則，其中，即，，由，得，即，所以，，所以，，由，得，即，所以，，可得，所以，的斜率；②由①知，，由，，即，將代入橢圓方程得：，所以，的軌跡方程為，所以，線段長度的取值范圍為．18.已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項和為，且滿足（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前2k項和;（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項，按原來的順序成等差數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在，說明理由解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，因為，所以，即，因為，所以，即，解得，所以；（2）由（1）知，所以對于，有，，所以（），.（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)，下面說明理：若，則由，得，化簡得，此式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，不可能成立，若，則由，得，化簡得，令，則，所以,所以只有，此時，綜上，在數(shù)列中，僅存在連續(xù)三項按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)，19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有三個零點分別為，，，且，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有極值點；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的兩個極值點之間的距離不小于，求的取值范圍．解：（1）因為函數(shù)，又，，則，，因為是方程的兩根，則，，得，，所以．令解得：，當時，或，當時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，．（2）因為，，所以，即．又，，所以，，即．．于是，，．①當時，因，，而在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，設(shè)為，則在，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點；②當時，因為，，則在區(qū)間內(nèi)至少有一零點．設(shè)為，則在，，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值點．綜上得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有極值點．（3）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，則，也是導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，由（2）得，則，．所以由已知，，則兩邊平方得，得出，或，即，或，又，，所以，即．因為，所以．綜上分析，的取值范圍是，．遼寧省大連市部分學校2024屆高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為集合，若，則，即集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.3.某質(zhì)點的位移與運動時間的關(guān)系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點坐標為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標依次為，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.質(zhì)點在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D.質(zhì)點在內(nèi)走過的路程為〖答案〗C〖解析〗由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，所以，故A錯誤；令，所以，又，所以，因為，所以或.又，所以，所以.故B錯誤；由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象得該質(zhì)點在內(nèi)的路程為，故D錯誤.故選：C.4.已知圓C：，直線l：，若l與圓C交于A，B兩點，設(shè)坐標原點為O，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓C：的圓心為，半徑為2，直線l的方程可化為，于是l過定點，且，顯然，即，又，因此，設(shè)，，顯然，則，其中，當時等號成立，此時，，符合條件，所以的最大值為．故選：D.5.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗等價于，令，則，所以是增函數(shù)，所以等價于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：B．6.已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.7.已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因為，，，所以即，，顯然在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.8.如圖，平行四邊形中，，.現(xiàn)將沿起，使二面角大小為120°，則折起后得到的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，過點作，過點作，兩直線相交于點，因為，，所以，⊥，則⊥，由于⊥，故即為二面角的平面角，則，過點作⊥于點，因為⊥，⊥，，平面，故⊥平面，因為平面，所以⊥，又，平面，則⊥平面，，取的中點，則外接球球心在平面的投影為，即⊥平面，連接，，則，過點作，交直線于點，則，，，由余弦定理得，設(shè)，則，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，外接球表面積為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注這八個數(shù)字，抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球，事件A表示“取出球的編號為奇數(shù)”，事件B表示“取出球的編號為偶數(shù)”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥 B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥 D.事件C與事件D互為對立事件〖答案〗AB〖解析〗由題意抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.10.如圖所示，在直三棱柱中，若，，則下列說法中正確的有（）A.三棱錐表面積為B.點在線段上運動，則的最小值為C.、分別為、的中點，過點的平面截三棱柱，則該截面周長為D.點在側(cè)面及其邊界上運動，點在棱上運動，若直線，是共面直線，則點的軌跡長度為〖答案〗ABC〖解析〗對于A：在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，所以，，所以，所以三棱錐表面積，故A正確；對于B：將沿旋轉(zhuǎn)與共面且位于的異側(cè)，如圖所示，，即點在線段上運動，則的最小值為，故B正確，對于C：延長、，設(shè)，連接交于點，連接，則過的截面為如圖所示四邊形，因為，是的中點，故是的中點，又為的中點，所以為的重心，，，所以截面周長為，故C正確，對于D：平面，共面，所以平面，又點在側(cè)面及其邊界上運動，平面平面，所以點的軌跡為線段，且，故點的軌跡長度為，故D錯誤.故選：ABC11.已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點的直線與C交于，兩點，點為點在上的射影，線段與軸的交點為，線段的延長線交于點，則（）A.B.C.直線與相切D.（為坐標原點）有最大值〖答案〗BC〖解析〗拋物線的焦點為，準線為，則，所以，故A錯誤；設(shè)，則，所以，則直線的方程為，令，得，即，所以，則，故，故B正確；因為，所以直線的方程為，由，消去整理得，顯然，所以直線（）與相切，故C正確；設(shè)，，：，由，可得，顯然，所以，，所以，，所以，所以當時有最大值，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為，點P是正八邊形邊上的一點，則的最大值為_________.〖答案〗〖解析〗由題意知，每個三角形的頂角為，，作垂直的延長線于點M，根據(jù)正八邊形的特征知，，設(shè)與所成的角為，則，所以，由的最大值為，所以的最大值為.13.函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數(shù)的〖解析〗式為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示.區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點，即，因為，所以，解得.故.14.我國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設(shè)，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)邊長為，邊長為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡得，可得，不妨設(shè)，如圖，作，以為原點建立平面直角坐標系，在中，設(shè)，由余弦定理得，解得，故，，且設(shè)，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如下圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．（1）證明：；（2）若，分別為，的中點，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因為平面，所以，由題意可知，等腰梯形的高為1，故等腰梯形的面積為：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴為的三等分點，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）解：取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，∴．∵，分別為，的中點，∴，∴，∴四點共面．連接交于，連接，則二面角即二面角．∵平面，平面，∴，易知四邊形為正方形，則，∵，∴，又，平面，平面，∴平面．∵，∴平面，∵平面，平面，∴，．∴是二面角的平面角，在中，，，∴，∴，∴二面角的余弦值為.16.水平相當?shù)募?、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望.解：（1）甲第三輪獲勝的基本事件有：{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲在第i輪獲勝”，則；（2）設(shè)事件“第輪甲輪空”，則，，，；（3）設(shè)一輪比賽中甲勝的局數(shù)為，則，，，，，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，局勝的局數(shù)為:（局）.17.已知橢圓短軸長為2，橢圓上一點到距離的最大值為3．（1）求的取值范圍；（2）當橢圓的離心率達到最大時，過原點斜率為的直線與交于兩點，分別與橢圓的另一個交點為．①是否存在實數(shù)，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；②記與交于點，求線段長度的取值范圍．解：（1）設(shè)，由題知，，即，則，即，記，則