2024屆山東省菏澤市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對于，，定義域是，不合題意；對于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.2.已知向量，且，則的值是（）A. B. C. D.6〖答案〗D〖解析〗因為，即，化簡，整理得，則，解得.故選：D.3.在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學(xué)決定報考三所高校，則恰有兩人報考同一高校的方法共有（）A.9種 B.36種 C.38種 D.45種〖答案〗B〖解析〗由題意，恰有兩人報考同一高校的方法共有種.故選：B.4.如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面 B.平面平面C.平面 D.平面內(nèi)存在與平行的直線〖答案〗C〖解析〗因為為正方體，設(shè)正方體邊長為2，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理解得平面的法向量，，故A不正確；，故B不正確；，，所以，又，所以平面，C正確；平面的一個法向量為，，故D不正確；故選：C.5.已知是等差數(shù)列，，在數(shù)列中，若是等比數(shù)列，則的值為（）A.6072 B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的公差為的公比為，則由題意可得，，即，解得，所以，根據(jù)已知又有：，則，得，所以，進而，故.故選：C.6.下列結(jié)論正確的是（）A.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)m的值是4C.50名學(xué)生在一模考試中的數(shù)學(xué)成績，已知，則的人數(shù)為20人D.已知隨機變量，若，則〖答案〗D〖解析〗對于A：新數(shù)據(jù)的總和為，與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，因為，而，即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯誤；對于B：因為回歸直線方程必經(jīng)過樣本中心點，所以，解得，故B錯誤；對于C：因為一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績，，所以，所以，所以的人數(shù)為人，故C錯誤；對于D：因為，所以，，解得，故D正確.故選：D.7.已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（）A2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由橢圓的離心率，雙曲線的離心率，可得，令，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過，即，則此時，即，則的最大值是.故選：B.8.已知函數(shù)，且，若在上有個不同的根，則的值是（）A.0 B. C. D.不存在〖答案〗B〖解析〗由，得，又，所以，即，若，則，當(dāng)，所以在上有4個不同的根，且，，即，所以．故選：B.二、多選題：本題共3小題，共15分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列選項正確的有（）A.若是方程的一個根，則B.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)為C.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A：若是方程的一個根，則方程的兩個根分別，所以，所以，故A錯誤；對于B：由題意可知，所以，所以向量表示的復(fù)數(shù)為，故B正確；對于C：設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)點在圓上，圓的圓心，半徑，則的幾何意義為原點到圓上點的距離，又，則的最大值為，C正確；對于D：因為，所以，，所以，D正確．故選：BCD.10.如圖，已知二面角的平面角大小為，垂足分別為，，若，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線與平面所成角的余弦值為B.點到平面的距離為C.平面與平面夾角的余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，過點作，使得，過點作，使得，連接，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，因為，則，所以即為的二面角，則，同理可得，且四邊形為矩形，又因為，且平面，則平面，因為平面，所以，又因為，平面，則平面，所以為直線與平面所成的角，因為，則，所以，所以，所以A正確；對于B中，由，且，平面，則平面，因為平面，所以，又因為，平面，則平面，由A項知，所以，即點到平面的距離為，所以B正確；對于C中，連接，過點作，垂足為，由B知平面，因為平面，所以，又因為平面，則平面，因為平面，所以，所以為的二面角，又因為，由，可得，所以，所以，所以C錯誤；對于D中，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由，取的中點為，取的中點為的中點為，連接，則平面，且平面，，因為平面，則，又因為平面，則平面，同理可得：平面，則四點共面，且，則，，所以，因為，所以，即外接球的半徑為，則外接球的表面積為：，所以D正確.故選：ABD.11.函數(shù)函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)與函數(shù)無公共點B.若，則C.D.所有滿足的點組成區(qū)域的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得函數(shù)與函數(shù)無公共點，A正確；對于B：若，則，則，，即，B正確；對于C：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，C錯誤；對于D：當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為，綜上點組成區(qū)域的面積為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，集合．則集合中所有元素之和為____________．〖答案〗5〖解析〗由題意，得，則集合中所有元素之和為.13.已知函數(shù)的圖象與圓有兩個交點，則的取值范圍為____________．〖答案〗〖解析〗，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)和圓的圖象，如圖：可知函數(shù)在處的切線方程為，圓在點處的切線方程為，則當(dāng)，即時，圓與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，當(dāng)，即時，圓與函數(shù)的圖象有兩個交點，可得的取值范圍為．14.已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側(cè)面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為____________．〖答案〗〖解析〗如圖：，可知四棱錐為正四棱錐，四邊形為邊長為2的正方形，棱錐的高為1，可知兩個挖去的四棱柱重合部分為兩個正四棱錐的組合體，四棱柱的底面是邊長為的正方形，則，同理可得，，則挖去部分的體積為，可得原正方體剩下部分的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知在中，的面積為．（1）求角的度數(shù)；（2）若是上的動點，且始終等于，記．當(dāng)取到最小值時，求的值．解：（1）設(shè)，則，又，因此，由為內(nèi)角，所以.（21）由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，顯然，則有，因此當(dāng)時，取到最小值，此時，即，所以的值.16.已知函數(shù)的圖象與軸交于點，且在處的切線方程為，記．（參考數(shù)據(jù)：）．（1）求的〖解析〗式；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最大值．解：（1）由題意與軸的交點，又，在點處的切線的斜率，在點處的切線方程為，即切線方程為（2）由（1）知，所以，，令得的變化情況列表如下，02+-減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和，，又，，的最大值為．17.甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩人輪流隨機抽題作答，答對積1分且對方不得分，答錯不得分且對方積1分，然后換對方抽題作答，直到有領(lǐng)先2分者晉級，比賽結(jié)束.已知甲答對題目的概率為，乙答對題目的概率為P，答對與否相互獨立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為.記甲乙兩人的答題總次數(shù)為.（1）求P；（2）當(dāng)時，求甲得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若答題的總次數(shù)為n時，甲晉級的概率為，證明：.（1）解：記“第i次答題時為甲”，“甲積1分”，則，，，，，，則，解得；（2）解：由題意可知當(dāng)n=2時，X可能的取值為0，1，2，則由（1）可知，，，X的分布列為：X012P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為.（3）證明：由答題總次數(shù)為n時甲晉級，不妨設(shè)此時甲的積分為，乙的積分為，則，且，所以甲晉級時n必為偶數(shù)，令當(dāng)n為奇數(shù)時，，則，又∵時，隨著m的增大而增大，∴.18.如圖，已知為拋物線的焦點，過的弦交曲線于點（與不重合）．（1）求證：點為弦的中點；（2）連并延長交拋物線于點，求面積的最小值．（1）證明：設(shè)直線，的中點為且，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，可得，所以中點的坐標(biāo)為，又由方程組，解得，即，所以點與重合，即為中點.（2）解：由（1）知直線，聯(lián)立方程組，解得，又由，所以，所以，令，則，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，面積取得最小值．19.定義二元函數(shù)，同時滿足：①；②；③三個條件．（1）求的值；（2）求的〖解析〗式；（3）若．比較與0的大小關(guān)系，并說明理由．附：參考公式解：（1）由條件②可得；由條件③可得．（2）由條件②）可得：，，，將上述個等式相加，得；由條件③可得：，，將上述個等式相加，得．（3）由（2），所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，上式取得等號，即時，均有，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以．山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對于，，定義域是，不合題意；對于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.2.已知向量，且，則的值是（）A. B. C. D.6〖答案〗D〖解析〗因為，即，化簡，整理得，則，解得.故選：D.3.在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學(xué)決定報考三所高校，則恰有兩人報考同一高校的方法共有（）A.9種 B.36種 C.38種 D.45種〖答案〗B〖解析〗由題意，恰有兩人報考同一高校的方法共有種.故選：B.4.如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面 B.平面平面C.平面 D.平面內(nèi)存在與平行的直線〖答案〗C〖解析〗因為為正方體，設(shè)正方體邊長為2，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理解得平面的法向量，，故A不正確；，故B不正確；，，所以，又，所以平面，C正確；平面的一個法向量為，，故D不正確；故選：C.5.已知是等差數(shù)列，，在數(shù)列中，若是等比數(shù)列，則的值為（）A.6072 B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的公差為的公比為，則由題意可得，，即，解得，所以，根據(jù)已知又有：，則，得，所以，進而，故.故選：C.6.下列結(jié)論正確的是（）A.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)m的值是4C.50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績，已知，則的人數(shù)為20人D.已知隨機變量，若，則〖答案〗D〖解析〗對于A：新數(shù)據(jù)的總和為，與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，因為，而，即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯誤；對于B：因為回歸直線方程必經(jīng)過樣本中心點，所以，解得，故B錯誤；對于C：因為一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績，，所以，所以，所以的人數(shù)為人，故C錯誤；對于D：因為，所以，，解得，故D正確.故選：D.7.已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（）A2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由橢圓的離心率，雙曲線的離心率，可得，令，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過，即，則此時，即，則的最大值是.故選：B.8.已知函數(shù)，且，若在上有個不同的根，則的值是（）A.0 B. C. D.不存在〖答案〗B〖解析〗由，得，又，所以，即，若，則，當(dāng)，所以在上有4個不同的根，且，，即，所以．故選：B.二、多選題：本題共3小題，共15分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列選項正確的有（）A.若是方程的一個根，則B.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)為C.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A：若是方程的一個根，則方程的兩個根分別，所以，所以，故A錯誤；對于B：由題意可知，所以，所以向量表示的復(fù)數(shù)為，故B正確；對于C：設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)點在圓上，圓的圓心，半徑，則的幾何意義為原點到圓上點的距離，又，則的最大值為，C正確；對于D：因為，所以，，所以，D正確．故選：BCD.10.如圖，已知二面角的平面角大小為，垂足分別為，，若，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線與平面所成角的余弦值為B.點到平面的距離為C.平面與平面夾角的余弦值為D.三棱錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，過點作，使得，過點作，使得，連接，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，因為，則，所以即為的二面角，則，同理可得，且四邊形為矩形，又因為，且平面，則平面，因為平面，所以，又因為，平面，則平面，所以為直線與平面所成的角，因為，則，所以，所以，所以A正確；對于B中，由，且，平面，則平面，因為平面，所以，又因為，平面，則平面，由A項知，所以，即點到平面的距離為，所以B正確；對于C中，連接，過點作，垂足為，由B知平面，因為平面，所以，又因為平面，則平面，因為平面，所以，所以為的二面角，又因為，由，可得，所以，所以，所以C錯誤；對于D中，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由，取的中點為，取的中點為的中點為，連接，則平面，且平面，，因為平面，則，又因為平面，則平面，同理可得：平面，則四點共面，且，則，，所以，因為，所以，即外接球的半徑為，則外接球的表面積為：，所以D正確.故選：ABD.11.函數(shù)函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)與函數(shù)無公共點B.若，則C.D.所有滿足的點組成區(qū)域的面積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得函數(shù)與函數(shù)無公共點，A正確；對于B：若，則，則，，即，B正確；對于C：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，C錯誤；對于D：當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為，綜上點組成區(qū)域的面積為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，集合．則集合中所有元素之和為____________．〖答案〗5〖解析〗由題意，得，則集合中所有元素之和為.13.已知函數(shù)的圖象與圓有兩個交點，則的取值范圍為____________．〖答案〗〖解析〗，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)和圓的圖象，如圖：可知函數(shù)在處的切線方程為，圓在點處的切線方程為，則當(dāng)，即時，圓與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，當(dāng)，即時，圓與函數(shù)的圖象有兩個交點，可得的取值范圍為．14.已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側(cè)面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為____________．〖答案〗〖解析〗如圖：，可知四棱錐為正四棱錐，四邊形為邊長為2的正方形，棱錐的高為1，可知兩個挖去的四棱柱重合部分為兩個正四棱錐的組合體，四棱柱的底面是邊長為的正方形，則，同理可得，，則挖去部分的體積為，可得原正方體剩下部分的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知在中，的面積為．（1）求角的度數(shù)；（2）若是上的動點，且始終等于，記．當(dāng)取到最小值時，求的值．解：（1）設(shè)，則，又，因此，由為內(nèi)角，所以.（21）由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，顯然，則有，因此當(dāng)時，取到最小值，此時，即，所以的值.16.已知函數(shù)的圖象與軸交于點，且在處的切線方程為，記．（參考數(shù)據(jù)：）．（1）求的〖解析〗式；（2）求的單調(diào)區(qū)間和最大值．解：（1）由題意與軸的交點，又，在點處的切線的斜率，在點處的切線方程為，即切線方程為（2）由（1）知，所以，，令得的變化情況列表如下，02+-減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以的單調(diào)增區(qū)間為，