河南省鄭州市普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段檢測(cè)（10月月考）數(shù)學(xué)試題

鄭州2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A. B. C.2 D.42.已知點(diǎn)，，則直線的一個(gè)方向向量可以為（）A. B. C. D.3.已知空間中有三點(diǎn)，，，則到直線的距離為（）A.1 B. C.3 D.24.設(shè)點(diǎn)，，直線過且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.以上都不對(duì)5.平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A.或 B.或C.或 D.或6.已知圓的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（）A. B. C. D.7.已知，，則滿足的的值是（）A. B.0 C.或0 D.或08.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B.直線必過定點(diǎn)C.過點(diǎn)，且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為D.斜率為，且在軸上的截距為3的直線方程為10.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（）A.B.點(diǎn)到平面的距離是2C.異面直線與所成角的余弦值為D.與平面所成角的正弦值為11.已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.與是共線向量 B.與共線的單位向量是C.與夾角的余弦值是 D.平面的一個(gè)法向量是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過點(diǎn)，在軸、軸上截距相等的直線方程是____________.13.圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為___________.14.已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）求經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，并且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線垂直；（2）到原點(diǎn)的距離等于1.16.（本小題15分）已知空間中的三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離.17.（本小題15分）過點(diǎn)作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn).（1）求的最小值，及此時(shí)直線的截距式方程；（2）求的最小値，及此時(shí)直線的截距式方程.18.（本小題17分）已知圓的方程為.（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；19.（本小題17分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點(diǎn).若，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；（Ⅲ）求直線平面所成角的正弦值.

鄭州學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷參考答案一、單選題1.【答案】C本題考查向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.依題意存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)向量相等得到方程組，解得即可.解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以故選：C2.【答案】C本題考查空間向量中直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題.解：，則直線的方向向量為.所以C符合題意.3.【答案】D本題考場(chǎng)空間點(diǎn)到直線的距離的求法，屬于基礎(chǔ)題.解：，，，，到直線的距離為.4.【答案】A本題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.畫出圖形，由題意得所求直線的斜率滿足或，用直線的斜率公式求出和的值，即可求解.解：如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，而，，所以或，故選：A.5.【答案】A本題考查兩條直線平行的判定，圓的切線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.設(shè)出所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出，即可求出直線方程.解：設(shè)所求直線方程為，由于該直線與圓相切，所以，所以，所以所求直線方程為：或.故選A.6.【答案】A本題主要考查圓的方程的求解，根據(jù)條件求出圓心和半徑是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求解半徑即可.解：直線與直線的交點(diǎn)為，所以圓的圓心為，設(shè)半徑為，由題意可得，即解得，故圓的方程為.故選：A.7.【答案】C本題考查兩條直線平行的判定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.利用兩條直線平行的條件，即可得出結(jié)論.解：∵直線，，，∴，∴或0.經(jīng)驗(yàn)證答案都滿足題意.故選C.8.【答案】A本題考查直線垂直性質(zhì)的運(yùn)用，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.利用直線垂直的性質(zhì)列出方程求出，再根據(jù)充要條件的定義判斷即可.解：∵直線與直線互相垂直，∴，∴，∴或，∴是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，故選：A.二、多選題9.【答案】ABC本題考查點(diǎn)斜式方程，斜截式方程，直線過定點(diǎn)問題，是較易題.由直線經(jīng)過象限可確定，的正負(fù)，由此知A正確；整理可求得中直線過定點(diǎn)，得B正確；由直線點(diǎn)斜式和斜截式方程定義可確定CD正誤.解：對(duì)于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限可得：，，∴在第二象限，A正確；對(duì)于B，由得：，則直線恒過定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由點(diǎn)斜式方程定義可知該直線方程為：，C正確；對(duì)于D，由斜截式方程定義可知該直線方程為：，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.【答案】BD本題考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.解：因?yàn)?，，所以，A錯(cuò)誤.在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合與兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知軸與平面垂直，所以為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離是，B正確.因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤.設(shè)與平面所成的角為，，則，D正確.11.【答案】CD本題考查空間向量的基本概念，共線向量，單位向量的概念，向量夾角的求法，平面法向量的求法，屬于中檔題.解：對(duì)于A，，，不存在實(shí)數(shù)，使得，所以與不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以與共線的單位向量為或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量，，所以，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量是，因?yàn)?，，所以，即，令，則，所以D正確，故選CD.三、填空題12.【答案】或【解析】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)，即截距都為零時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，，直線方程為，整理，得直線方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)，由截距式，設(shè)直線方程為，把代入，得.故答案為或.分類討論，當(dāng)直線過原點(diǎn)，即截距都為零，易得直線方程；當(dāng)直線不過原點(diǎn)，由截距式，設(shè)出直線方程，把點(diǎn)坐標(biāo)帶入，能求出結(jié)果.本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用.13.【答案】4解：∵圓心到直線的距離∴圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值是，故答案為：4.圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值是，從而可求.本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把所求的距離轉(zhuǎn)化為求圓心到直線的距離，要注意本題中的是滿足圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.14.【答案】本題考查了空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角和模，屬于中檔題.由夾角為鈍角，得到兩向量的數(shù)量積小于0，且兩向量不平行，建立不等式，解得結(jié)果.解：∵，，∴，，，設(shè)向量與的夾角為，∵與夾角為鈍角，∴，且，∴且，∴且，即的取值范圍是.故答案為.四、解答題15.【答案】解：（1）由于直線與直線不垂直故設(shè)所求直線為，故，因?yàn)榇酥本€與直線垂直，故，故，故所求直線為.（2）由于原點(diǎn)到直線的距離，故設(shè)所求直線為，故，解得或，故直線方程為：或.本題考查兩條直線垂直的判定及應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離，考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.（1）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用垂直直線的系數(shù)關(guān)系可求.（2）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用點(diǎn)到直線距離求解，即得解.16.【答案】解：因?yàn)?，，，所以，，?），，因?yàn)?，所以，整理得，解得或，所以的值為?（2）設(shè)直線的單位方向向量為，則.由于，所以，，所以點(diǎn)到直線的距離.【解析】本題考查空間向量垂直的坐標(biāo)表示，點(diǎn)線、線線距離的向量求法，是中檔題.（1）寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，求解即可；（2）求出直線的單位方向向量為，然后利用空間點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.17.【答案】解：（1）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為（，），則，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以（，），又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以的最小值為8，此時(shí)直線的截距式方程為.（2）由（1）可知，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，此時(shí)，，直線的截距式方程為.【解析】本題考查直線的截距式方程，兩點(diǎn)間距離公式，基本不等式，屬于中檔題.（1）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為（，），代入點(diǎn)結(jié)合基本不等式可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，則可推出，結(jié)合基本不等式可求出結(jié)果.18.【答案】解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線的方程是，與圓：相切，滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，即，直線與圓相切時(shí)，，解可得，此時(shí)，直線的方程為；所以，滿足條件的直線方程是或；（2）根據(jù)題意，若，則圓心到直線的距離，則直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程：，即，則，解得或，所以滿足條件的直線方程是或.【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓相切，相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.（1）根據(jù)題意，分直線的斜率存在與不存在2種情況討論，求出直線的方程，綜合即可得答案；（2）根據(jù)題意，分析可得圓心到直線的距離，即可得直線的斜率一定存在，設(shè)直線方程：，由點(diǎn)到直線的距離公式可得的值，即可得答案.19.【答案】解：（Ⅰ）證明：在四棱錐中，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，∵，分別是，的中點(diǎn)，四邊形是矩形，∴，，又∵為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（Ⅱ）解：設(shè)到平面的距離為，∵平面，平面，∴，又∵四邊形為矩形，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∴四邊形為矩形，∵為等腰直角三角形，∴是棱錐的高，∴四棱錐的體積，∵，，∴由余弦定理可得，∴，∴，∵四棱錐的體積=三棱錐體積的2倍=三棱錐體積，∴，∴，∴點(diǎn)到平面的距離為；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，點(diǎn)到平面