14.2.1 平方差公式 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)學(xué)案

第十四章整式的乘法與因式分解14．2乘法公式14．2．1平方差公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過(guò)程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征．2．靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題．重點(diǎn)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征．難點(diǎn)：應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題．自主學(xué)習(xí)教學(xué)備注：學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分一、知識(shí)鏈接1．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)_________另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積_______．2．計(jì)算：（1）(x＋1)(x＋3)＝_________________；（2）(x＋3)(x－3)＝________________；（3）(m＋n)(m－n)＝________________．課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)：平方差公式算一算：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①(x＋1)(x－1)=_______________；②(m＋2)(m－2)=_______________；③(2m＋1)(2m－1)=_______________；④(5y＋z)(5y－z)=_______________．想一想：這些計(jì)算結(jié)果有什么特點(diǎn)？要點(diǎn)歸納：平方差公式：(a+b)(a?b)=_________，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的__________．公式變形：1．(a-b)(a+b)=a2-b22．(b+a)(-b+a)=a2-b2填一填：(a-b)(a+b)aba2-b2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0．3x-1)(1+0．3x)練一練：口答下列各題：（1）(-a+b)(a+b)=_________． （2）(a-b)(b+a)=__________．（3）(-a-b)(-a+b)=． （4）(a-b)(-a-b)=．典例精析例1：計(jì)算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）（-x+2y)(-x-2y)．方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；（2）右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；（3）公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．針對(duì)訓(xùn)練利用平方差公式計(jì)算：（1）(3x－5)(3x＋5)； （2）(－2a－b)(b－2a)； （3）(－7m＋8n)(－8n－7m)．例2：計(jì)算：（1）102×98； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)．針對(duì)訓(xùn)練計(jì)算：（1）51×49； （2）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)．例3：先化簡(jiǎn)，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．例4：對(duì)于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？方法總結(jié)：對(duì)于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，一般先將整式化為最簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．例5：王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對(duì)李大媽說(shuō)：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？方法總結(jié)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)算式，解決問(wèn)題．二、課堂小結(jié)((a+b)(a-b)=a2-b2相同為a互為相反數(shù)的為b，-b當(dāng)堂檢測(cè)1．下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是()A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)2．計(jì)算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+13．兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和為5，邊長(zhǎng)之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．4．利用平方差公式計(jì)算：（1）(a+3b)(a-3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y)．5．計(jì)算：20202－2019×2021．6．利用平方差公式計(jì)算：（1）(a-2)(a+2)(a2+4)； （2）(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)．7．先化簡(jiǎn)，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2．拓展提升8．已知x≠1，計(jì)算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4，……（1）觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n為正整數(shù))；（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；（3）通過(guò)以上規(guī)律請(qǐng)你進(jìn)行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．

參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．乘相加2．（1）x2+4x+3（2）x2-9（3）m2-n2課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)：平方差公式算一算①x2-12②m2-22③(2m)2-12④(5y)2-z2要點(diǎn)歸納a2-b2平方差填一填：(a-b)(a+b)aba2-b2(1+x)(1-x)1x12-x2(-3+a)(-3-a)-3a(-3)2-a2(1+a)(-1+a)a1a2-12(0.3x-1)(1+0.3x)0．3x1(0.3x)2-12練一練（1）b2-a2（2）a2-b2（3）a2-b2（4）b2-a2典例精析例1解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；（2）原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2．針對(duì)訓(xùn)練解：（1）原式=(3x)2－52＝9x2－25；（2）原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；（3）原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2．例2解：（1）102×98=(100＋2)(100－2)=1002-22=10000–4=9996；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．針對(duì)訓(xùn)練解：（1）原式=(50＋1)(50－1)=502-12=2500–1=2499；（2）原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10．例3解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15．例4解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10．∵(10n2－10)÷10=n2-1，n為正整數(shù)，∴n2-1為整數(shù)，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．例5解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長(zhǎng)后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．當(dāng)堂檢測(cè)1．C2．A3．104．解：（1）原式=a2－(3b)2=a2－9b2；（2）原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2－32=4a2－9；（3）原式=(-2x2)2－y2=4x4－y2．5．解：原式=20202－(2020－1)(2020+1)=20202－(20202－12)=20202－20202+12=1．6．解：（1）原式=(a2-4)(a2+4)=a