測量誤差基本知識課件

測量誤差基本知識§3.1觀測誤差的分類

什么是誤差誤差（Error)Δ（真誤差）：觀測值L與真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一個量真正大小的絕對準(zhǔn)確的數(shù)值。人----觀測者感覺器官的鑒別力的局限儀器----測量儀器與測量方法給觀測結(jié)果帶來誤差客觀環(huán)境----客觀環(huán)境給觀測結(jié)果帶來的影響觀測條件：人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測條件，它們是引起觀測誤差的主要因素。多余觀測：觀測的個數(shù)多于未知量的個數(shù)

一、觀測誤差產(chǎn)生的原因：1、粗差：由測量人員粗心大意或儀器故障所造成的差錯，稱為粗差。2、系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對某一量進行多次的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。3、偶然誤差：在相同的觀測條件下，對某一量進行多次的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”。4、誤差處理原則：粗差——細心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性

在相同的觀測條件下，獨立地觀測了358個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為Li，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡稱誤差）為Δi=Li-X（i一1，2，…n）

對于每個三角形來說，Δi是每個三角形內(nèi)角和的真誤差，Li是每個三角形三個內(nèi)均觀測值之和，X為180°?，F(xiàn)將358個真誤差按每3″為一區(qū)間，以誤差值的大小及其正負號，分別統(tǒng)計出在各誤差區(qū)間內(nèi)的個數(shù)v，及相對個數(shù)v／358。誤差區(qū)間負誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)有界性：聚中性：對稱性：抵償性：偶然誤差的特性：*

k/d

實踐表明，對于在相同條件下獨立進行的一組觀測來說，不論其觀測條件如何，也不論是對一個量還是對多個量進行觀測，這組觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當(dāng)觀測的個數(shù)n愈大時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。偶然誤差的這種特性，又稱為統(tǒng)計規(guī)律性。

偶然誤差分布曲線σ2:方差σ:標(biāo)準(zhǔn)差

σ對偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683

σ愈小，曲線頂點愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。當(dāng)觀測次數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在各個區(qū)間的相對個數(shù)的變動幅度就愈來愈小。當(dāng)n具有足夠大時，誤差在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對個數(shù)就趨于穩(wěn)定。當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線，稱為誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為式中參數(shù)δ是觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）

§3.2衡量精度的指標(biāo)在一定的觀測條件下進行一組觀測，它對應(yīng)著一定的誤差分布。如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質(zhì)量好些，這時標(biāo)準(zhǔn)差σ的值也較?。环粗?，如果該組誤差值偏大，即誤差分布比較分散，則表示該組觀測質(zhì)量差些，這時標(biāo)準(zhǔn)差的值也就較大。因此，一組觀測誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測結(jié)果的精度。所以在評定觀測精度時，可用該組誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ的值。一、中誤差求σ值要求觀測個數(shù)n→∞，但這實際是不可能的。在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述公式：m稱為中誤差。這里的方括號表示總和，Δi（i=l，2…n）為一組同精度觀測誤差。標(biāo)準(zhǔn)差σ跟中誤差m的不同，在于觀測個數(shù)n上；標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測在n→∞時誤差分布的擴散特性，即理論上的觀測精度指標(biāo)，而中誤差則是一組同精度觀測在n為有限個數(shù)時求得的觀測精度指標(biāo)。所以中誤差實際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值（估值）；隨著n的增大，m將趨近于σ。在相同的觀測條件下進行的一組觀測，得出的每一個觀測值都稱為同精度觀測值。由于它們對應(yīng)著一個誤差分布，即對應(yīng)著一個標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估值即為中誤差。因此，同精度觀測值具有相同的中誤差。但是，同精度觀測值的真誤差卻彼此并不相等，有的差別還比較大，這是由于真誤差具有偶然誤差性質(zhì)的緣故。求一組同精度觀測值的中誤差m時，式中真誤差Δ可以是同一個量的同精度觀測值的真誤差，也可以是不同量的同精度觀測值的真誤差。在計算m值時注意取2－3位有效數(shù)字，并在數(shù)值前冠以“士”號，數(shù)值后寫上“單位”。例設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了10次觀測，試求這兩組觀測值的中誤差。σ對偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683

σ愈小，曲線頂點愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。有時，求得真誤差和容許誤差后，也用相對誤差來表示。例如，在本書以后要介紹的導(dǎo)線測量中，假設(shè)起算數(shù)據(jù)沒有誤差時，求出的全長相對閉合差也就是相對真誤差；而規(guī)范中規(guī)定全長相對閉合差不能超過1／2000或1／15000，它就是相對容許誤差。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對誤差。對于評定精度來說，有時利用中誤差還不能反映測量的精度。例如丈量兩條直線，一條長100m，另一條長20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說兩者測量精度相同呢？不能！而是前者優(yōu)于后者。為此，利用中誤差與觀測值的比值，即mi／Li來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1／N。上例為即前者的精度比后者高。二、相對誤差根據(jù)理論知道，大于中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6％，大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3‰左右。因此測量中常取兩倍中誤差作為誤差的限值，也就是在測量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。即Δ容=2m在有的測量規(guī)范中也有取三倍中誤差作為容許誤差的。三、極限誤差§3.3算術(shù)平均值及其中誤差設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為L1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故設(shè)以x表示上式右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，?X趨近于零，即也就是說，n趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值?，F(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。因為式中，1／n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為同精度觀測值中誤差的計算公式為而二、按觀測值的改正值計算中誤差以上利用觀