2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 第八講 解三角形應(yīng)用舉例配套課件

第八講解三角形應(yīng)用舉例2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第三章

三角函數(shù)、解三角形術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與 俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角測(cè)量中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°(續(xù)表)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】易混淆方位角與方向角的概念

(1)方位角是指北方向線按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角.(2)“方位角”與“方向角”的范圍：方位角大小的范圍是[0°，360°)，方向角大小的范圍是[0°，90°).

考點(diǎn)一距離問(wèn)題

[例1](2023年廈門(mén)市期末)一個(gè)人騎自行車(chē)由A地出發(fā)向正東方向騎行了4km到達(dá)B地，然后由B地向南偏東30°方向騎行了6km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向北偏東30°方向騎行了16km到達(dá)D地，則A，D兩地的距離為()

解析：如圖3-8-1，由題意可得AB＝4，BC＝6，CD＝16，∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，

圖3-8-1在△ACD中，由余弦定理可得故選B.答案：B

【變式訓(xùn)練】

(2023年種田地區(qū)校級(jí)期末)如圖3-8-2，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點(diǎn)A，B處分別測(cè)得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，則C，D間的距離為(

)圖3-8-2解析：因?yàn)椤螦BD＝60°，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB＝BD＝DA＝2，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，所以∠ACB＝30°，在△ACD中，∠CAD＝105°－60°＝45°，所以CD＝2，即C，D間的距離為2km.故選B.答案：B

考點(diǎn)二測(cè)量高度問(wèn)題

[例2](2023年開(kāi)封市期末)如圖3-8-3，為測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩圖3-8-3答案：C

【變式訓(xùn)練】

(2023年?yáng)|莞市校級(jí)月考)和諧鐘塔位于江西省贛州市章貢區(qū)贛州大橋東岸引橋南側(cè)，有四個(gè)直徑達(dá)12.8米的鐘面.小趙同學(xué)經(jīng)過(guò)和諧鐘塔時(shí)，想利用正弦定理的知識(shí)測(cè)量該鐘塔的高度.如圖3-8-4，他在該鐘塔塔底B點(diǎn)的正西處的C點(diǎn)測(cè)得該鐘塔塔頂A點(diǎn)的仰角為30°，然后沿著東偏南67°的方向行進(jìn)了180.8m后到達(dá)D點(diǎn)(B，C，D三點(diǎn)處于同一水平面)，且B點(diǎn)在D點(diǎn)北偏東37°的方向上，則該鐘塔的高度為_(kāi)_______m.(參考數(shù)據(jù)：取sin53°≈0.8)圖3-8-4解析：如圖D20，圖D20∠BCD＝67°，∠CDB＝90°－67°＋37°＝60°，則∠CBD＝180°－60°－67°＝53°.答案：113考點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題

[例3]在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.解：如圖3-8-5，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，圖3-8-5則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.【反思感悟】

(1)測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解. (2)方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【變式訓(xùn)練】

(2023年梅州市期末)十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的方位，便于船員確定位置，如圖3-8-6(1)所示，十字測(cè)天儀由桿AB和橫檔CD構(gòu)成，并且E是CD的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng)，十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖3-8-6(2)，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從A點(diǎn)觀察，滑動(dòng)橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，DE的影子恰好是AE.然后，通過(guò)測(cè)量AE的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角∠CAD(稱(chēng)為太陽(yáng)高度角)，最后通過(guò)查閱地圖來(lái)確定船員所在的位置.(1)(2)

圖3-8-6若在一次測(cè)量中，AE＝60，橫檔CD的長(zhǎng)度為30，則太陽(yáng)高度角的正弦值為()A.

417B.

817C.1317D.1517

解析：由題意知，AE垂直平分CD，答案：B⊙解三角形中的綜合問(wèn)題【反思感悟】

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