2023-2024學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.6.1應(yīng)用一元二次方程(一) 教案

2023--2024學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.6.1應(yīng)用一元二次方程(一)教案科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2023--2024學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.6.1應(yīng)用一元二次方程(一)教案設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課旨在幫助學(xué)生掌握一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，通過解決具體問題，深化對(duì)一元二次方程的理解，培養(yǎng)學(xué)以致用的能力。以教材2.6.1節(jié)中的應(yīng)用問題為例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提高分析問題、解決問題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更高層次的數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容選取與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們主動(dòng)探索，合作交流，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：學(xué)會(huì)從具體問題中抽象出一元二次方程模型，理解方程與實(shí)際情境之間的邏輯關(guān)系。

2.數(shù)學(xué)建模：能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)建模能力。

3.問題解決：在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)，分析問題，尋找解決方案，增強(qiáng)問題解決能力。

4.數(shù)學(xué)思維：通過解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

①掌握一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

②能從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，并解決問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)

①理解一元二次方程與實(shí)際問題的聯(lián)系，提高問題分析能力。

②熟練運(yùn)用一元二次方程的求解方法，解決實(shí)際問題，并檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材，提前預(yù)習(xí)2.6.1節(jié)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與一元二次方程應(yīng)用相關(guān)的實(shí)際案例，如運(yùn)動(dòng)軌跡、面積計(jì)算等問題的圖片或視頻，以便于學(xué)生直觀理解。

3.教學(xué)器材：無(wú)需特殊實(shí)驗(yàn)器材，準(zhǔn)備足夠的紙張、筆等書寫工具。

4.教室布置：將教室座位設(shè)置為小組討論形式，便于學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)。在黑板上提前列出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們?cè)谏弦徽聦W(xué)習(xí)了一元二次方程的求解方法，那么這些方程在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用呢？今天我們將一起探討一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.內(nèi)容探究

（1）案例引入

首先，我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。假設(shè)有一塊長(zhǎng)方形的菜地，長(zhǎng)比寬多5米，如果長(zhǎng)方形的面積是60平方米，那么這塊菜地的長(zhǎng)和寬分別是多少？

這個(gè)問題實(shí)際上就是一個(gè)一元二次方程的問題。我們先將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，設(shè)寬為x米，那么長(zhǎng)就是x+5米。根據(jù)題意，我們可以得到方程：x(x+5)=60。

（2）學(xué)生自主探究

請(qǐng)同學(xué)們嘗試用我們學(xué)過的方法解這個(gè)方程，并思考以下問題：

①這個(gè)方程屬于哪一類一元二次方程？

②你在解這個(gè)方程的過程中，遇到了哪些困難？

③解出的結(jié)果是否符合實(shí)際情況？

（3）小組討論

同學(xué)們，解完這個(gè)方程后，和你的小組成員分享一下你的答案和思路?？纯茨銈兊拇鸢甘欠褚恢?，如果有不同的地方，試著討論一下，找出正確答案。

（4）課堂講解

首先，我們將方程x(x+5)=60展開，得到x^2+5x-60=0。這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程。

然后，我們可以使用因式分解法來(lái)解這個(gè)方程。將x^2+5x-60分解為(x+10)(x-5)=0。

最后，我們得到x=-10或x=5。由于寬度不能為負(fù)數(shù)，所以寬度為5米，長(zhǎng)度為10米。

3.知識(shí)鞏固

下面，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子。請(qǐng)大家嘗試解決以下問題：

一個(gè)拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，且對(duì)稱軸為直線x=3，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是什么？

這個(gè)問題實(shí)際上也是一個(gè)一元二次方程的問題。我們可以通過已知的點(diǎn)A和對(duì)稱軸來(lái)求解。

4.課堂練習(xí)

現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立解決以下問題：

（1）一個(gè)正方形的面積是25平方厘米，求它的邊長(zhǎng)。

（2）一個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），且與y軸交于點(diǎn)（0，2），求這個(gè)拋物線的解析式。

（3）已知一個(gè)一元二次方程的解為x1=3，x2=-4，求該方程的解析式。

5.課堂小結(jié)

6.課后作業(yè)

（1）教材課后習(xí)題2.6.1節(jié)第1、2、3題。

（2）找一些生活中的實(shí)際問題，嘗試用一元二次方程來(lái)解決，并和同學(xué)分享你的成果。

同學(xué)們，今天的課就上到這里。希望大家能夠充分理解一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，把所學(xué)知識(shí)用到生活實(shí)踐中去。下節(jié)課，我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程的其他應(yīng)用。下課！學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.理解并掌握一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能夠從具體情境中抽象出一元二次方程模型。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用一元二次方程的求解方法，解決實(shí)際問題，并檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。

3.提高邏輯推理能力，通過分析實(shí)際問題，建立方程與實(shí)際情境之間的邏輯聯(lián)系。

4.增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力，能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用一元二次方程求解。

5.培養(yǎng)問題解決能力，面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能夠主動(dòng)運(yùn)用一元二次方程知識(shí)，尋找解決方案。

6.在小組討論和合作學(xué)習(xí)中，提高溝通與協(xié)作能力，學(xué)會(huì)傾聽他人意見，取長(zhǎng)補(bǔ)短。

7.通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

8.對(duì)一元二次方程產(chǎn)生更濃厚的興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

9.能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決教材課后習(xí)題及相關(guān)實(shí)際問題，鞏固所學(xué)內(nèi)容。

10.在生活中能夠發(fā)現(xiàn)一元二次方程的影子，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：學(xué)生在課堂上積極參與，主動(dòng)回答問題，表現(xiàn)出對(duì)一元二次方程應(yīng)用的興趣和求知欲。學(xué)生能夠認(rèn)真聽講，跟隨老師的教學(xué)思路，對(duì)所學(xué)知識(shí)有較好的吸收。

2.小組討論成果展示：小組討論過程中，學(xué)生能夠互相交流想法，共同解決問題。在成果展示環(huán)節(jié)，各小組能夠清晰地表達(dá)解題思路和答案，展現(xiàn)出良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通能力。

3.隨堂測(cè)試：通過隨堂測(cè)試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠掌握一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能熟練運(yùn)用求解方法解決相關(guān)問題。但也有一部分學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握不夠牢固，需要在課后加強(qiáng)練習(xí)。

4.課后作業(yè)完成情況：學(xué)生在課后能夠認(rèn)真完成作業(yè)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固。從作業(yè)完成情況看，學(xué)生對(duì)一元二次方程的應(yīng)用有更深入的理解和掌握。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，教師應(yīng)及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)，提高學(xué)生的自信心。對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師應(yīng)給予個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們彌補(bǔ)知識(shí)漏洞。同時(shí)，針對(duì)共性問題，教師在課堂上進(jìn)行講解和強(qiáng)調(diào)，確保學(xué)生掌握重點(diǎn)知識(shí)。

在教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋過程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)學(xué)生提問和發(fā)表觀點(diǎn)，營(yíng)造積極向上的學(xué)習(xí)氛圍。通過多元化的評(píng)價(jià)方式，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為教學(xué)提供有益參考。同時(shí)，教師要根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果調(diào)整教學(xué)策略，以提高教學(xué)質(zhì)量。課后作業(yè)1.請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)，解決以下實(shí)際問題：

（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是30厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

答案：設(shè)寬為x厘米，則長(zhǎng)為2x厘米。根據(jù)周長(zhǎng)公式，得2(x+2x)=30，即6x=30，解得x=5。所以寬為5厘米，長(zhǎng)為10厘米。

（2）一個(gè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和點(diǎn)（3，1），求該拋物線的解析式。

答案：設(shè)拋物線的解析式為y=ax^2+bx+c。根據(jù)題意，得到兩個(gè)方程：a+b+c=3和9a+3b+c=1。解得a=-1，b=4，c=-2。所以拋物線的解析式為y=-x^2+4x-2。

（3）已知一個(gè)一元二次方程的解為x1=2，x2=3，求該方程的解析式。

答案：根據(jù)一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系，得到方程的兩個(gè)因式：(x-2)(x-3)=0。展開后得到方程的解析式為x^2-5x+6=0。

（4）一個(gè)正方體的表面積是150平方厘米，求它的棱長(zhǎng)。

答案：正方體的表面積公式為6a^2，其中a為棱長(zhǎng)。根據(jù)題意，得到方程6a^2=150，解得a=5。所以正方體的棱長(zhǎng)為5厘米。

（5）某商品的原價(jià)為x元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，售價(jià)為0.8x元。如果第一次降價(jià)的折扣為10%，第二次降價(jià)的折扣為20%，求原價(jià)x。

答案：根據(jù)題意，得到方程0.8x=x*0.9*0.8。解得x=100。所以原價(jià)為100元。教學(xué)反思與改進(jìn)在這節(jié)課結(jié)束后，我進(jìn)行了深入的反思，思考了以下幾個(gè)方面的教學(xué)效果和需要改進(jìn)的地方。

1.學(xué)生參與度方面：我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在課堂上的參與度較高，積極回答問題和參與討論。但仍有部分學(xué)生表現(xiàn)較為沉默，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)一元二次方程的應(yīng)用還不夠自信。為了提高這部分學(xué)生的參與度，我計(jì)劃在未來(lái)的教學(xué)中增加更多的小組合作活動(dòng)，鼓勵(lì)他們更多地與同伴交流，共同解決問題。

2.教學(xué)方法方面：我采用了案例引入和小組討論的方式，希望學(xué)生能夠通過實(shí)際問題的解決來(lái)加深對(duì)一元二次方程的理解。但從學(xué)生的反饋來(lái)看，可能還需要更多的實(shí)際操作和直觀演示來(lái)幫助他們更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。因此，我計(jì)劃在下一節(jié)課中加入更多的互動(dòng)環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生上臺(tái)演示解題過程，或使用多媒體資源來(lái)直觀展示問題解決的過程。

3.知識(shí)鞏固方面：通過課后作業(yè)和隨堂測(cè)試，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)還存在一些困難。特別是在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力上，部分學(xué)生還有待提高。為了加強(qiáng)這一點(diǎn)，我打算在未來(lái)的教學(xué)中增加一些針對(duì)性的練習(xí)，特別是那些需要學(xué)生自己提出問題和解決問題的練習(xí)。

4.教學(xué)評(píng)價(jià)方面：我意識(shí)到評(píng)價(jià)方式需要更加多元化，不僅要關(guān)注學(xué)生的解題結(jié)果，還要關(guān)注他們的解題過程和思考方式。因此，我將設(shè)計(jì)更多的開放性問題，鼓勵(lì)學(xué)生展示他們的思考過程，并在評(píng)價(jià)中給予他們更多的反饋。

改進(jìn)措施：

-增加課堂上的互動(dòng)和小組合作活動(dòng)，特別是在問題解決的過程中，讓學(xué)生有更多機(jī)會(huì)表達(dá)自己的觀點(diǎn)。

-利用多媒體資源，如動(dòng)畫或?qū)嵨镅菔?，?lái)幫助學(xué)生更直觀地理解一元二次方程的應(yīng)用。

-設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的課后作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和解決問題。

-在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)，不僅僅關(guān)注答案的正確性，還要關(guān)注解題過程的邏輯性和創(chuàng)造性。

-定期收集學(xué)生的反饋，了解他們對(duì)教學(xué)方法的看法，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。板書設(shè)計(jì)①一元二次方程應(yīng)用

-實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

-方程與實(shí)際情境的