28.2解直角三角形及其應用

28.2解直角三角形及其應用解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，，，.

④，h為斜邊上的高.注意：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.題型1：解直角三角形1.（2022?慶元縣校級開學）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A＝60°，AC＝4．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求AB的長．【分析】（1）由∠A和∠B互余，即可計算；（2）由∠A的余弦，即可求解．【解答】解：（1）∠B＝90°﹣∠A＝30°；（2）∵cosA＝，∴AB＝＝＝8．【點評】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．【變式11】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（可以使用計算器）（1）c＝8，∠A＝30°；（2）b＝7，∠A＝15°；（3）a＝5，b＝12．【分析】（1）利用直角三角形30度角的性質(zhì)求解即可．（2）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出a，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出c即可．（3）利用勾股定理求出c，再利用正切函數(shù)的定義求出∠A即可解決問題．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴a＝c＝4，∠B＝60°，∴b＝a＝4．（2）∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠B＝90°﹣15°＝75°，∵b＝7，∴a＝btan15°＝7×0.27≈1.9，c＝＝≈7.2．（3）∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，∴c＝＝＝13，∴tanA＝＝，∴∠A≈22.6°，∴∠B＝90°﹣22.6°＝67.4°【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式12】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解這個直角三角形．【分析】利用直角三角形兩銳角互余求出∠A，利用直角三角形30度角性質(zhì)求出BC，再利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝AB＝3，∴AC＝＝＝3．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.題型2：解非直角三角形2.（2022秋?嘉峪關(guān)校級期末）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，則cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解答】解：如圖，從圖形可知：AE＝4，CE＝2，由勾股定理得：AC＝＝2，cosA＝．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義的應用，主要考查學生的計算能力．【變式21】（2022秋?臨清市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC長．【分析】由銳角的正弦，余弦定義即可求解．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵cosC＝，∴DC＝AC?cosC，∴DC＝12cos30°＝6，∵∠C＝30°，∴AD＝AC＝6，∵sinB＝，∴AB＝，∴AB＝10，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴DB2＝102﹣62，∴DB＝8，∴BC＝DB+DC＝6+8．【點評】本題考查銳角的正弦，余弦定義，關(guān)鍵是作出BC上的高AD，構(gòu)造直角三角形．【變式22】（2021秋?淮陰區(qū)期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．【分析】過A作BC邊上的垂線，根據(jù)三線合一性質(zhì)，就可以求出AD的長，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)定義求解．【解答】解：作AD⊥BC與D，∵AB＝AC＝13，D是BC的中點，即BD＝5，∴AD＝＝12，∴sinB＝＝，cosB＝＝．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．題型3：解直角三角形與面積問題3.設a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B和∠C的對邊，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【分析】如圖過點A作b邊上的高AD，則在直角三角形ACD中，AD＝AC?sinC＝bsinC，所以△ABC的面積等于absinC．【解答】解：過點A作b邊上的高AD，則Rt△ACD中，AD＝AC?sinC＝bsinC，△ABC的面積等于absinC．故選：C．【點評】此題考查的是解直角三角形，關(guān)鍵是作高得直角三角形求出高，則得出面積．【變式31】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC邊上的高線．（1）求AD的長；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）由高的定義可得出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由AC的長及cosC的值可求出CD的長，再利用勾股定理即可求出AD的長；（2）由∠B，∠ADB的度數(shù)可求出∠BAD的度數(shù)，進而可得出∠B＝∠BAD，利用等角對等邊可得出BD的長，再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°．在Rt△ACD中，AC＝5，cosC＝，∴CD＝AC?cosC＝3，∴AD＝＝4．（2）∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴S△ABC＝AD?BC＝×4×（4+3）＝14．【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形及勾股定理，求出CD，AD的長；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，找出BD的長．【變式32】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，BC＝，AB＝4，tanC＝，求四邊形ABCD的面積．【分析】過B作BE⊥CD，垂足為E，可判斷出四邊形ABED為矩形，得到矩形對邊相等，在直角三角形BEC中，利用銳角三角函數(shù)定義得出BE與EC關(guān)系，再利用勾股定理求出BE與EC，進而求出DC的長，利用梯形面積公式求出四邊形ABCD面積即可．【解答】解：過B作BE⊥CD，垂足為E，∵AB∥DC，∠D＝90°，∴∠BEC＝∠D＝90°，∴AD∥BE，∴四邊形ABED為矩形，∴AB＝DE，AD＝BE，在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，BC＝，tanC＝，∴＝，設BE＝x，則有EC＝3x，根據(jù)勾股定理得：x2+9x2＝10，解得：x＝1，∴BE＝1，EC＝3，即DC＝DE+EC＝AB+EC＝4+3＝7，則S梯形ABCD＝×1×（4+7）＝5.5．【點評】此題屬于解直角三角形題型，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及梯形面積求法，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．題型4：解直角三角形與方案問題（選做）4.如圖，有一塊梯形空地ABCD可供停車，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝53°，AD＝1.6m，CD＝5.2m，現(xiàn)有一輛長4.9m，寬1.9m的汽車需要完全停入梯形區(qū)域，請你設計一種停車方案，并通過計算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】作AE⊥AB交CD于E，作EF⊥AE交BC于F，根據(jù)題意求出∠EFC＝53°和∠AED＝53°，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AE、EF的長，可以說明理由．【解答】解：如圖，作AE⊥AB交CD于E，作EF⊥AE交BC于F，∵∠B＝53°，∴∠EFC＝53°，∠AED＝53°，在Rt△ADE中，∠AED＝53°，AD＝1.6，∴AE＝1.6÷sin53°＝2，DE＝1.6÷tan53°＝1.2，CE＝CD﹣DE＝4，在Rt△EFC中，∠EFC＝53°，EC＝4，∴EF＝4÷sin53°＝5，∴AE＞1.9，EF＞4.9．【點評】本題考查了學生利用三角函數(shù)解決實際問題的能力以及矩形的性質(zhì)，要求學生把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．【變式41】為了解決停車難問題，交通部門準備沿12米寬60米長的道路邊規(guī)劃停車位，按每輛車長5米、寬2.4米設計停車后道路仍有不少于7米的路寬保證兩車可以雙向通過，如下圖設計方案1：車位長邊與路邊夾角為45°方案2：車位長邊與路邊夾角為30°（1）請計算說明，兩種方案是否都能保證通行要求？（2）計算符合通行要求的方案中最多可以停多少輛車？（3）請你畫示意圖設計一個滿足通行要求且停車更多的新方案，并計算出最多停放車輛數(shù)．【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)求得AB、AE的長，進而求得BE的長，即可判定方案是否能保證通行要求；（2）根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)求得方案2中的MB的長，即可求得此方案中最多可以停多少輛車；（3）如圖所示新方案，根據(jù)車的寬度即可計算出最多停放車輛數(shù)．【解答】解：（1）方案1：如圖，AB＝2.4×sin45°＝2.4×≈1.54米，AE＝5×sin45°＝5×≈3.5米，BE＝AB+AE≈5.04，∵12﹣5.04＝＜7，∴方案1不能保證通行要求；方案2：AB＝2.4×cos30°＝2.4×≈2.1米，AE＝5×sin30°＝5×＝2.5米，BE＝AB+AE＝2.1+2.5＝4.6，∵12﹣4.6＝7.4＞7，∴方案2能保證通行要求；（2）BC＝2.4×sin30°＝2.4×＝1.2米，MC＝5×cos30°＝5×≈4.3米，MB＝BC+MC＝1.2+4.3＝5.5，60÷5.5＝10.9（輛）．故方案2中最多可以停10輛車．（3）新方案如圖：60÷2.4＝25（輛）．故這個方案最多可以停放25輛車．【點評】本題考查了學生利用三角函數(shù)解決實際問題的能力以及矩形的性質(zhì)．這就要求學生把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．【變式42】如圖，為了求河的寬度，在河對岸岸邊任意取一點A，再在河這邊沿河邊取兩點B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC長為30m．（1）求河的寬度；（即求△ABC中BC邊上的高）（2）請再設計一種測量河的寬度的方案．（≈1.414，≈1.732）【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系設AD＝x，則BD＝x，進而求出即可；（2）可以利用相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）如圖所示：過點A作AD⊥BC于點D，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，∴∠CAD＝45°，則AD＝CD，設AD＝x，則BD＝x，故x+x＝30，解得：x＝45﹣15≈19，答：河的寬度為19米；（2）如圖，在河對岸找一點F，在河邊找到一點A，滿足AF與河垂直，畫一平行于河的線段AB，使∠B＝90°，找到DF與AB的交點C，則Rt△BCD∽Rt△ACF，有BC：AC＝BD：AF，∴AF＝，測出DB，AC，BC，即可求得河寬AF的值．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用以及相似三角形的應用，正確利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．題型5：解直角三角形與綜合5.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點D在BC延長線上，且滿足∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC是∠BAD的平分線，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OA，OC與AB相交于點E，如圖，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根據(jù)圓周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代換可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根據(jù)垂徑定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根據(jù)正弦定理可得sinB＝＝＝，即可算出CE的長度，根據(jù)勾股定理可算出BE＝的長度，設⊙O的半徑為r，則CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入計算即可得出答案．【解答】證明：（1）連接OA，OC與AB相交于點E，如圖，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；解：（2）∵AC是∠BAD的平分線，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sinB＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，設⊙O的半徑為r，則CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理及解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式51】（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余以及等量代換得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，進而得出EC是切線；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出OD、CD、AC、OC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EC，根據(jù)S陰影部分＝S△COE﹣S扇形進行計算即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半徑，∴EC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，設OD＝4x，則OC＝5x，∴CD＝＝3x＝AC，在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴＝，即＝，∴EC＝，∴S陰影部分＝S△COE﹣S扇形＝××4﹣＝﹣4π＝，答：AC＝3，陰影部分的面積為．【點評】本題考查切線的判定，扇形面積的計算以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及扇形、三角形面積的計算方法是正確解答的前提．【變式52】（2022·嵐山模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是圓上的兩點，且AC=BC，∠BAD的平分線AE交⊙O于點E，過E作（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接EC，交AB于點G，若已知AB=5，sin∠EAC=45【答案】（1）證明：如圖所示，連接OE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠OAE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEA=∠DAE，∴AD∥OE，∵EF⊥AD，∴EF⊥OE，∴EF為圓O的切線；（2）解：如圖所示，連接OC，過點O作OH⊥CE于H，∴∠COE=2∠CAE，∵OC=OE，∴∠COH=1∵AC=∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OGC+∠OCG=90°，又∵∠OCG+∠COH=90°，∴∠OGH=∠COH，∴CG=OC【解析】【分析】（1）連接OE，先證明AD//OE，再結(jié)合EF⊥AD，可得EF⊥OE，即可得到EF為圓O的切線；

（2）連接OC，過點O作OH⊥CE于H，先利用等角的余角相等可得∠OGH=∠COH，再利用銳角三角函數(shù)可得CG=OC題型6：解直角三角形與新定義6.通過銳角三角比的學習，我們已經(jīng)知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的我們可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如下圖在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=BC/AC.我們?nèi)菀字酪粋€角的大小與這個角的正對值也是互相唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：

（1）sad60o=_____________；sad90o=________________。

（2）對于0°<A<180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_____________。【答案】（1）根據(jù)正對定義，

當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，

則三角形為等邊三角形，

則sad60°=11=1．

根據(jù)正對定義，

當頂角為90°時，等腰三角形底角為45°，

則三角形為等腰直角三角形，

則sad90°=21=2

故答案為：1，2．

（2）當∠A接近0°時，sadA接近0，

當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．

于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．

故答案為：0＜sadA＜2．

（3）已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，

∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，

∴△BCD∽△ABC，

∴BCAC=CDBC，

∴BCBC+CD=CDBC【解析】【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答進而得出sad90°的值；

（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出等腰△ABC，構(gòu)造等腰三角形BCD，根據(jù)正對的定義解答．【變式61】定義：在△ABC中，∠C=30°，我們把∠A的對邊與∠C的對邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA=∠A的對邊∠C的對邊=BC已知：在△ABC中，∠C=30°．（1）若∠A=45°，求thiA的值；（2）若thiA=3，則∠A=°；（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H．在Rt△BHC中，sinC=BHBC=1在Rt△BHA中，sinA=BHAB=22，即AB=∴thiA=BCAB=（2）60（3）解：在Rt△ABC中，thiA=BCAB在Rt△BHA中，sinA=BHAB在Rt△BHC中，sinC=BHBC=1∴thiA=2sinA．【解析】【解答】（2）∵thiA=3，∴∠A=60°，故答案為：60；【分析】（1）如圖，作BH⊥AC，垂足為H．根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)值即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【變式62】對于一個三角形，設其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若x、y、z滿足x2+y2＝z2，我們定義這個三角形為美好三角形．（1）△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝80°，則△ABC（填“是”或“不是”）美好三角形；（2）如圖，銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝60°，AC＝2，⊙O的直徑是22，求證：△ABC是美好三角形；（3）已知△ABC是美好三角形，∠A＝30°，求∠C的度數(shù)．【答案】（1）不是（2）證明：連接OA、OC，∵AC＝2，OA＝OC＝2，∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠C＝60°，∴∠A＝75°，∵即三個內(nèi)角滿足關(guān)系：452+602＝5625＝752，∴△ABC是美好三角形；（3）解：設∠C＝x°，則∠B＝（150﹣x）°，若∠C為最大角，則x2＝（150﹣x）2+302，解得x＝78，若∠B最大角，則（150﹣x）2＝x2+302，解得x＝72，綜上可知，∠C＝78°或72°【解析】【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝60°∵402+602≠802，∴△ABC不是美好三角形；故答案為：不是；

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求得∠C＝60°，根據(jù)美好三角形的定義進行判斷，402+602≠802，因此△ABC不是美好三角形；

（2）連接OA、OC，根據(jù)勾股定理的逆定理，可判斷出△OAC是直角三角形，從而得出∠AOC＝90°，因此∠B＝45°，根據(jù)美好三角形的定義進行判斷，452+602＝5625＝752，因此△ABC是美好三角形；

（3）設∠C＝x°，則∠B＝（150﹣x）°，根據(jù)美好三角形的定義列方程分情況：

若∠C為最大角，則x2＝（150﹣x）2+302，解得x＝78，若∠B最大角，則（150﹣x）2＝x2+302，解得x＝72，綜上可知，∠C＝78°或72°解直角三角形的應用在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.題型7：解直角三角形的應用坡度與坡角7.（2022?徐州二模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為18m，它的坡角為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點B處9m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)；）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在背水坡改造的施工過程中，此處房屋是否需要拆除？【分析】（1）根據(jù)坡角的定義得出∠DAC的度數(shù)，進而得出∠DAB的度數(shù)；（2）根據(jù)AB的長度先求出AC的長，然后求出BC的長度，根據(jù)將背水坡改造成坡度為1：的斜坡AD，求出CD，然后求出BD的長度，判斷房屋是否需要拆除．【解答】解：（1）∵坡度為的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角為45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工過程中，此處房屋需要拆除．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．【變式71】如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732【分析】利用銳角三角函數(shù)，在Rt△CDE中計算出壩高DE及CE的長，通過矩形ADEF．利用等腰直角三角形的邊角關(guān)系，求出BF的長，得到壩底的寬．【解答】解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝，cos∠C＝∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），CE＝cos30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，∵四邊形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m在Rt△ABF中，∵∠B＝45°∴DE＝AF＝7m，∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）答：該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用．題目難度不大，求BF的長即可利用直角等腰三角形的性質(zhì)，也可利用銳角三角函數(shù)．【變式72】濟南市緯十二路的一座過街天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天橋底部正前方7米處（PB的長）有一文化墻PM，若新坡面下A處與文化墻之間需留下至少3米寬的人行道，問文化墻是否需要拆除？請說明理由．（約為1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如圖，利用坡度的定義得到tan∠CAH＝＝＝，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠CAH即；（2）另一條坡度定義得到tan∠CBH＝＝，所以BH＝CH＝6米，再利用＝得到AH＝6米，接著計算出AB≈4.392米，然后根據(jù)3+4.392＞7可判斷文化墻需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如圖，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH＝＝＝，∴∠CAH＝30°，即新坡面的坡角α為30°；（2）文化墻需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH＝＝，∴BH＝CH＝6米，∵＝，∴AH＝CH＝6≈10.392（米），∴AB＝AH﹣BH＝6﹣6＝4.392（米），∵3+4.392＞7，∴文化墻需要拆除．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．題型8：解直角三角形的應用仰角和俯角8.如圖，在城市改造時，要拆除建筑物AB，在離它21米遠的建筑物CD頂端C測得A的仰角45°，B的俯角30°，在點B的35米處有一文物，問：此文物是否在危險區(qū)內(nèi)？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進而可求出答案．【解答】答：文物不在危險區(qū)內(nèi)．解：在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，則CE＝EA，∵DB＝CE＝21m，∴DB＝EA＝21m，在Rt△CEB中，∠BCE＝30°，則tan30°＝，即BE＝ECtan30°，∴BE＝21×＝7m，∴AB＝AE+EB＝（21+7）m，∵AB＝（21+7）＜35，∴文物不在危險區(qū)內(nèi)．【點評】本題要求學生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．【變式81】計算：在一次數(shù)學社團活動課上，同學們測量一座古塔CD的高度，他們首先在A處安置測量器，測得塔頂C的仰角∠CFE＝30°，然后往塔的方向前進100米到達B處，此時測得塔頂C的仰角∠CGE＝60°，已知測量器高1.5米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度．（保留根號）【分析】先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共邊CE構(gòu)造等量關(guān)系，借助FG＝EF﹣GE＝100，構(gòu)造關(guān)系式求解．【解答】解：由題意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF＝90°．設CE＝x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE＝，∴EF＝＝＝x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE＝，∴GE＝＝＝x．∵FG＝EF﹣GE＝100，∴x﹣x＝100，解得x＝50．∴CD＝CE+ED＝50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，此類題目要求學生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．【變式82】（2022?羅城縣模擬）如圖，某測量隊采用無人機技術(shù)測量無法直達的A，B兩處的直線距離，已知在無人機的鏡頭O處測得A、B的俯角分別為45°和50°，無人機的飛行高度OC為238米，點A、B、C在同一直線上，求AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）．【分析】在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，可得OC＝AC＝238米，在Rt△OBC中，∠OBC＝50°，tan50°＝≈1.19，可求出BC，由AB＝AC+BC可得出答案．【解答】解：由題意可得∠OAC＝45°，∠OBC＝50°，∠ACO＝∠BCO＝90°，在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，∴∠AOC＝45°，∴OC＝AC＝238米，在Rt△OBC中，∠OBC＝50°，tan50°＝≈1.19，解得BC＝200，∴AB＝AC+BC＝238+200＝438（米）．答：AB的長度為438米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．題型9：解直角三角形的應用方向角9.游艇在湖面上以12千米/小時的速度向正東方向航行，在O處看到燈塔A在游艇北偏東60°方向上，航行1小時到達B處，此時看到燈塔A在游艇北偏西30°方向上，求此時游艇與燈塔的距離AB．【分析】將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并構(gòu)造出與實際問題有關(guān)的直角三角形，過點A作AC⊥OB交OB于C，則AC為所求的最短距離，即可得出答案．【解答】解：方法一：過點A作AC⊥OB交OB于C，則AC為所求，設AC＝x千米，由題意得：OB＝12千米，∠AOC＝30°，∠ABC＝60°，在Rt△ACO和Rt△ACB中：tan30°＝，tan60°＝，則OC＝x，BC＝x，而OC+CB＝x+x＝12，解得：x＝3．故AB＝＝＝6（千米），答：此時游艇與燈塔的距離AB為6千米．方法二：由題意得：OB＝12千米，∠AOB＝30°，∠ABO＝60°，則∠OAB＝90°，故AB＝OB＝6（千米），答：此時游艇與燈塔的距離AB為6千米．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題得以解決．【變式91】（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．【點評】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式92】已知海島A的周圍6km的范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在B處測得海島A在北偏東30°的方向；向正北方向航行6km到達C處，又測得該島在北偏東60°的方向，如果海輪不改變航向，繼續(xù)向正北航行，有沒有觸礁的危險？【分析】過點A作AD⊥BD于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用AD表示出CD及BD的長，再由BC＝6km即可得出AD的長．【解答】解：過點A作AD⊥BD于點D，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝60°，∴＝tan60°，即CD＝．同理，在Rt△ABD中，∵＝tan30°，∴BD＝，∴BC＝BD﹣CD＝﹣＝6，即﹣＝6，解得AD＝3＜6，∴如果海輪不改變航向，繼續(xù)向正北航行，有觸礁的危險．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022九下·定海開學考）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為a，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosa B．4sina C．4tana D．4【答案】A【解析】【解答】解：如圖，作AH⊥BC，

又∵AB=AC，

∴BC=2HC

∵HC=ACcosa=2cosa，

∴BC=2HC=4cosa.

故答案為：A.

【分析】作AH⊥BC，利用銳角三角函數(shù)定義求出HC長，再利用等腰三角形的性質(zhì)求BC長即可.2．如圖，從點D觀測建筑物AC的視角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE【答案】A【解析】【解答】如圖所示，根據(jù)視角的定義，建筑物AC兩端發(fā)出的光線在眼球內(nèi)交叉的角為∠ADC，故答案為：A．【分析】根據(jù)視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角，即可判斷．3．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O是△ABC的外接圓，則⊙O的半徑長為（）A．3 B．23 C．33 【答案】B【解析】【解答】如圖，過O點作OD⊥BC，交BC于點D，連接OB、OC，則OB=OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵OD⊥BC，∴BD=12BC=3，∠BOD=1∴在Rt△BOD中，BDOB即：3OB∴OB=23故答案為：B.【分析】如圖，過O點作OD⊥BC，交BC于點D，連接OB、OC，則OB=OC，根據(jù)題意，進一步分析可知在Rt△BOD中，BDOB4．數(shù)學實踐活動課中小明同學測量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，小明在坡底點E處測得建筑物頂端C處的仰角為45°，他沿著斜坡行走13米到達點F處，在F測得建筑物頂端C處的仰角為35°，小明的身高忽略不計.則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米【答案】D【解析】【解答】解：過點F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H則∠CFH＝35°，四邊形DGFH是矩形，∴HF＝DG，DH＝FG，∵斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，∴設FG＝x米，則EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，∴FG＝5，EG＝12，∵∠CED＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，設CD＝y(tǒng)米，則CH＝（y﹣5）米，Rt△CHF中，tan∠CFH＝CHHF即tan35°＝y(tǒng)?5y+12解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度約為44.7米；故答案為：D.【分析】過點F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H，設FG=x米，則EG=2.4x米，在Rt△FGE中，根據(jù)勾股定建立關(guān)于x的方程求解，則可求出FG和EG的長。再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=DE，設CD=y米，在Rt△CHF中，根據(jù)正切三角函數(shù)定義建立關(guān)于y的方程求解即可.5．如圖，某學校操場旗桿上高高飄揚著五星紅旗，數(shù)學小組想測量旗桿的高度，在離旗桿底部4米的A處，用高1.5米的測角儀DA測得旗桿頂點C的仰角為α，則旗桿的高度BC為（）米A．4sinα+1.5 B．4cosα+1【答案】C【解析】【解答】解：由圖可知四邊形ABED是矩形，則DE=AB，AD=BE，∵tan∴CE=tan∴BC=BE+CE=AD+CE=4tan故答案為：C.【分析】利用已知條件可證得四邊形ABED是矩形，利用矩形的性質(zhì)可證得DE=AB，AD=BE，利用解直角三角形表示出CE的長，然后根據(jù)BC=BE+CE，代入計算求出BC的長.二、填空題6．某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂?shù)狞cB處，已知點B到山腳的垂直距離為100m，則山的坡度為.【答案】3【解析】【解答】解：由勾股定理得AC=2002∴i=BC故答案為：33【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根據(jù)坡比i=BCAC7．如圖是攔水壩的橫斷面，堤高BC為5米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為米.【答案】5【解析】【解答】解：∵斜面坡度為1：2，BC=5，∴AC=10，則在Rt△ABC中，AB=AC故答案為：55【分析】坡度就是坡角的正切值，據(jù)此根據(jù)坡度結(jié)合BC的值可得AC的值，然后利用勾股定理求解即可.8.某斜坡坡角a的正弦值sina=12【答案】3【解析】【解答】解：∵sina=12∴a=30°；∴該斜坡的坡度為：tan故答案為：33【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值進行計算求解即可。9．如果一個直角三角形斜邊上的高將斜邊分成的兩條線段的長分別為2cm和8cm，那么這個直角三角形較短的一條直角邊的長是cm．【答案】2【解析】【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB=90°=∠CDB=∠CDA，BD=2，AD=8，∴∠ACD+∠BCD=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCD=∠CAD，∴∴∴CD=∴BC=所以較短的直角邊為：25故答案為：2【分析】先求出∠BCD=∠CAD，再求出BDCD三、解答題10．如圖，某校數(shù)學興趣小組的同學欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°，再沿著BA的方向后退20m至C處，測得古塔頂端點D的仰角為30°.求該古塔BD的高度（3≈1.732【答案】解：根據(jù)題意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD在Rt△BDC中，由tan∠BCD=BDBC，得又∵BCAB=AC，∴3BD?BD=20，∴答：該古塔BD的高度27.3m【解析】【分析】先根據(jù)題意得出：∠BAD、∠BCD的度數(shù)及AC的長，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BD的長.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解這個直角三角形.【答案】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵AB＝8，∴AC＝12由勾股定理得：BC＝AB2?AC2【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求