專題28.5銳角三角函數(shù)的應(yīng)用俯角仰角問題-2020-2021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典

20202021學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題28.5銳角三角函數(shù)的應(yīng)用—俯角仰角問題姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020?深圳模擬）如圖所示，從一熱氣球的探測器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）A．60m B．403m C．303m D．603m【分析】過A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD與Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BD和CD，再根據(jù)BC＝BD+CD即可求解．【解析】過A作AD⊥BC，垂足為D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，∴BD＝AD?tan30°＝30×33=103在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，∴CD＝AD?tan60°＝30×3=303（∴BC＝BD+CD＝103+303=403（即這棟高樓高度是403m．故選：B．2．（2020?長興縣模擬）如圖，小麗為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度．將測角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為32m的地面上，若測角儀的高度是1.5m，測得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°，則教學(xué)樓的高度約是（）A．20m B．57m C．18.5m D．17m【分析】作CE⊥AB于E，根據(jù)正切的定義求出AE，解答即可．【解析】作CE⊥AB于E，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AE∴AE＝CE?tan∠ACE＝32×3∴AB＝AE+EB=3233+1.5≈故選：A．3．（2019?羅湖區(qū)一模）如圖，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組測量校內(nèi)旗桿AB的高度，在C點(diǎn)測得旗桿頂端A的仰角∠BCA＝30°，沿旗桿方向向前走了20米到D點(diǎn)，在D點(diǎn)測得旗桿頂端A的仰角∠BDA＝60°，則旗桿AB的高度是（）A．10米 B．103米 C．2033米 D．15【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠DAC＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解析】由題意得，∠ADB＝60°，∠C＝30°，CD＝20，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝CD＝20，∴AB＝AD?sin∠ADB＝103（米），故選：B．4．（2020?濟(jì)寧模擬）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）A．160米 B．（60+1603）米 C．1603米 D．360米【分析】首先過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案．【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，在Rt△ABD中，BD＝AD?tan30°＝120×33=403在Rt△ACD中，CD＝AD?tan60°＝120×3=1203（∴BC＝BD+CD＝1603（m）．故選：C．5．（2020?高臺縣一模）如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是（）A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100(3【分析】在熱氣球C處測得地面B點(diǎn)的俯角分別為45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出AD的長，據(jù)此即可求出AB的長．【解析】∵在熱氣球C處測得地面B點(diǎn)的俯角為45°，∴BD＝CD＝100米，∵在熱氣球C處測得地面A點(diǎn)的俯角為30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD=2002-∴AB＝AD+BD＝100+1003=100（1+故選：D．6．（2020?黔南州）如圖，數(shù)學(xué)活動小組利用測角儀和皮尺測量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測角儀CD的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿AB的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）A．tan55°=6x-1 B．tan55°C．sin55°=x-16 D．cos55【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴sin55°=AEAD，cos55°=DEAD，故選：B．7．（2020?邢臺一模）如圖，已知點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BD方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，則在這個過程中，從A觀測點(diǎn)C的俯角將（）A．增大 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大【分析】根據(jù)俯角是向下看的視線與水平線的夾角解答即可．【解析】點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BD方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，則在這個過程中，從A觀測點(diǎn)C的俯角將增大，故選：A．8．（2018?長春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．800sinα米 D．800【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根據(jù)tanα=AC【解析】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα=AC∴AB=AC故選：D．9．（2020?肥城市四模）如圖，學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長度為10m，DE的長為5m，則樹AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．153 D．153-【分析】先根據(jù)CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解析】在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE=DE∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC=CDtan30°=103∴AB＝BC?sin60°＝103×32=故選：B．10．（2018?張家港市模擬）如圖，在水平地面上有一幢房屋BC與一棵樹DE，在地面觀測點(diǎn)A處測得屋頂C與樹梢D的仰角分別是45°與60°，∠CAD＝60°，在屋頂C處測得∠DCA＝90°．若房屋的高BC＝6米，則樹高DE的長度為（）A．36 B．62 C．33 D．66【分析】首先解Rt△ABC，求出AC，再解Rt△ACD，求出AD，再解Rt△DEA，即可得到DE的長．【解析】如圖，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，BC＝6m，∴AC=2BC＝62m∵在Rt△ACD中，∠DCA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝122米；∵在Rt△DEA中，∠AED＝90°，∠EAD＝60°，∴DE＝AD?sin60°＝66米，答：樹高DE的長度為66米．故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020?慶云縣模擬）小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B、C兩點(diǎn)的俯角分別為45°、35°．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m，求熱氣球離地面的高度233m．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70）【分析】作AD⊥BC交CB的延長線于D，設(shè)AD為x，表示出DB和DC，根據(jù)正切的概念求出x的值即可．【解析】作AD⊥BC交CB的延長線于D，設(shè)AD為x，由題意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴DB＝x，在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，∴tan∠ACD=AD∴xx+100解得，x≈233．所以，熱氣球離地面的高度約為233米，故答案為：233米．12．（2019秋?泰山區(qū)期末）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A，B在同一水平面上）．為了測量A，B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升900米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為30°，則A，B兩地之間的距離為9003米【分析】由題意知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝900米，由tan∠ABC=ACAB知AB【解析】由題意知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝900米，∵tan∠ABC=AC∴AB=ACtan∠ABC=故答案為：9003米．13．（2020?泰安二模）如圖，某無人機(jī)興趣小組在操場上開展活動，此時(shí)無人機(jī)在離地面30米的D處，無人機(jī)測得操控者A的俯角為30°，測得點(diǎn)C處的俯角為45°．又經(jīng)過人工測量操控者A和教學(xué)樓BC距離為57米，則教學(xué)樓BC的高度為（303-27）米．（點(diǎn)A，B，C，D【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F．根據(jù)題意可得AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．再根據(jù)四邊形BCFE是矩形知CF＝BE＝57﹣303．進(jìn)而可得教學(xué)樓BC的高度．【解析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F．由題意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°=DE即33∴AE＝303，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣303，∵四邊形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣303．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣303，∴BC＝EF＝30﹣57+303=（303-答：教學(xué)樓BC高約（303-27故答案為：（303-2714．（2020春?寶安區(qū)校級月考）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知乙樓的高CD是50m，則甲樓的高AB是503m（結(jié)果保留根號）．【分析】在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°，CD＝50，可求出AD，再在Rt△ABD中，由∠BDA＝45°，得AB＝AD即可．【解析】在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝50，∴AD=CDtan30°=50×在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝503（m），故答案為：503．15．（2020?赤峰）如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測得底部B的俯角是60°，此時(shí)無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為123米（結(jié)果保留根號）．【分析】根據(jù)題意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可分別求出CD和BD的長，進(jìn)而可得該建筑物的高度BC．【解析】根據(jù)題意可知：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，∴CD＝AD?tan30°＝9×33=在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，∴BD＝AD?tan60°＝93，∴BC＝CD+BD＝33+93=12答；該建筑物的高度BC為123米．故答案為：123．16．（2019秋?慶云縣期末）如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為1：3的坡面AD走了200米達(dá)到D處，此時(shí)在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC＝（100+1003）米（結(jié)果保留根號）．【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題；【解析】作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：3，AD＝200米，∴tan∠DAF=3∴∠DAF＝30°，∴DF=12AD=12∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE=BE∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×32=∴BC＝BE+EC＝100+1003（米）；故答案為：（100+1003）．17．（2020?遵化市一模）如圖，小明為了測量小河對岸大樹BC的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角是45°，沿斜坡走25米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為30°，且斜坡AF的坡比為1：2．則小明從點(diǎn)A走到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度為2米；大樹BC的高度為（33+5）【分析】過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，設(shè)BC為x米，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DK＝CH，CK＝DH，再利用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)求x的值即可．【解析】如圖，過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，則四邊形DHCK為矩形．故DK＝CH，CK＝DH，在直角三角形AHD中，DHAH=12，AD∴DH＝2米，AH＝4米，∴CK＝DH＝2米，設(shè)BC＝x米，在直角三角形ABC中，AC=BCtan∠BAC∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，在直角三角形BDK中，∵BK＝DK?tan30°，∴x﹣2＝（4+x）×3解得：x＝5+33，∴BC＝（5+33）米．答：大樹的高度為（33+5故答案是：2；（33+518．（2020?荊州模擬）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿低端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1：3，則大樓AB的高度為63+29【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH＝DE＝15米，EG＝DH，設(shè)BH＝x米，則CH=3x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝63米，得出BG、EG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝63+20（米），即可得出大樓【解析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如圖所示：則GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：3，∴BH：CH＝1：3，設(shè)BH＝x米，則CH=3x在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（3x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝63米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝63+20∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝63+20∴AB＝AG+BG＝63+20+9＝（63+29）故答案為：63+29三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020?泰州二模）如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為48°，此時(shí)小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：3，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，M、E、C、N在同一條直線上，（1）求BN的長度；（2）求條幅AB的長度（結(jié)果保留根號）．（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈710，tan48°【分析】（1）在Rt△BCN中，由tan∠BCN=BN（2）過點(diǎn)D作DH⊥AN于H，過點(diǎn)E作EF⊥DH于F，設(shè)EF＝k，DF=3k，由勾股定理求出k的值，則求出DF，EF，在Rt△ADH中，解直角三角形求出AH，則求出AN＝（20+103）米，由AB＝AN﹣BN【解析】（1）∵在Rt△BCN中，∠BCN＝48°，∴tan48°=BN∴BN＝tan48°×20=1110×20（2）過點(diǎn)D作DH⊥AN于H，過點(diǎn)E作EF⊥DH于F，∵在Rt△EDF中，tan∠EDF＝tan∠DEM＝1：3，設(shè)EF＝k，DF=3k∵DF2+EF2＝DE2，∴k2∴k＝10，∴EF＝10米，DF＝103米，∴DH＝DF+EC+CN＝（103+30在Rt△ADH中，tan∠ADH＝tan30°=3∴AH=33×DH＝（∴AN＝AH+EF＝（20+103）米，∵BN＝22米，∴AB＝AN﹣BN＝（103-2答：條幅的長度是（103-220．（2020?濰坊）某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無人機(jī)輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋AB是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋AB的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋AB的長度．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)在C處測得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，可得∠CAD＝∠MCA＝60°，∠CBD＝∠NCB＝45°，利用特殊角懂得三角函數(shù)求解即可．【解析】如圖示：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120（米），在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝120（米），∴AB＝AD+BD＝（403+120答：橋AB的長度為（403+12021．（2019秋?鄧州市期末）如圖①，在我國古建筑的大門上常常懸掛著巨大的匾額，圖②中的線段BC就是懸掛在墻壁AM上的某塊匾額的截面示意圖．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．從水平地面點(diǎn)D處看點(diǎn)C，仰角∠ADC＝45°，從點(diǎn)E處看點(diǎn)B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米，求匾額懸掛的高度AB的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，【分析】過C作CF⊥AM于F，過C作CH⊥AD于H，根據(jù)直角三角形的解法解答即可．【解析】過C作CF⊥AM于F，過C作CH⊥AD于H，則四邊形AHCF是矩形，所以AF＝CH，CF＝AH．在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝37°．BF＝BCcos37°＝0.8，CF＝BCsin37°＝0.6，在Rt△BAE中，∠BEA＝53°，所以AE=34在Rt△CDH中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝FA＝0.8+AB，∴AD＝AH+DH＝0.6+0.8+AB＝1.4+AB，∵AD＝AE+DE=34AB∴1.4+AB=34ABAB＝4，答：匾額懸掛的高度是4米．22．（2020?河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41（2）“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m．請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【分析】（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【解析】（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AEBE∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m；（2）∵“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m，∴本次測量結(jié)果的誤差為12.6﹣12.3＝0.3（m），減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．23．（2020?龍城區(qū)二模）如